1、正弦定理教學案例一、教學內容分析本節內容安排在普通高中課程標準實驗教科書·數學必修 5（人教 A 版）第一章，正弦定理第一課時， 是在高二學生學習了三角等知識之后， 顯然是對三角知識的應用； 同時，作為三角形中的一個定理， 也是對初中解直角三角形內容的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。根據實際教學處理，正弦定理這部分內容共分為三個層次：第一層次教師通過引導學生對實際問題的探索， 并大膽提出猜想； 第二層次由猜想入手， 帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法” 、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式

2、； 第三層次利用正弦定理解決引例， 最后進行簡單的應用。 學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、 發現和證明， 感受“觀察實驗猜想 證明應用” 這一思維方法， 養成大膽猜想、 善于思考的品質和勇于求真的精神。二、學情分析對普高高二的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度， 因此思維靈活性受到制約。根據以上特點， 教師恰當引導， 提高學生學習主動性， 多加以前后知識間的聯系， 帶領學生直接參與分析問題、 解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。三、設計思想本節課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中， 在教師

3、的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以 “正弦定理的發現和證明 ”為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會， 讓學生通過個人、 小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動， 在知識的形成、發展過程中展開思維， 逐步培養學生發現問題、 探索問題、解決問題的能力和創造性思維的能力。四、教學目標1讓學生從已有的幾何知識出發 , 通過對任意三角形邊角關系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理， 掌握正弦定理的內容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解

4、斜三角形的兩類基本問題。2通過對實際問題的探索，培養學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力， 增強學生的協作能力和交流能力， 發展學生的創新意識， 培養創造性思維的能力。3通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇于探索、善于發現、不畏艱辛的創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的興趣。4培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。五、教學重點與難點教學重點： 正弦定理的發現與證明；正弦定理的簡單應用。教學難點： 正弦定理的猜想提出過程。教學準備： 制作多媒體課件

5、，學生準備計算器，直尺，量角器。六、教學過程：1、設置情境利用投影展示：如圖 1，一條河的兩岸平行，河寬 d=1km，因上游突發洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭 A 處囤積的重要物資及人員用船轉運到正對岸的碼頭 B 處或其下游 1 km 的碼頭 C 處。已知船在靜水中的速度 vl = 5 kmh，水流速度 v2=3 kmh。BCA圖 12、提出問題師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮一下有關的問題，將各自的問題經小組 ( 前后 4 人為一小組 ) 匯總整理后交給我。待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的 5 個問題：(l) 船

6、應開往 B 處還是 C處？(2) 船從 A 開到 B、C分別需要多少時間？(3) 船從 A 到 B、 C的距離分別是多少？(4) 船從 A 到 B、 C時的速度大小分別是多少？(5) 船應向什么方向開，才能保證沿直線到達 B、C？師：大家討論一下，應該怎樣解決上述問題？大家經過討論達成如下共識：要回答問題 (l) ，需要解決問題 (2) ，要解決問題 (2) ，需要先解決問題 (3) 和(4) ，問題 (3) 用直角三角形知識可解， 所以重點是解決問題 (4) ，問題 (4) 與問題 (5) 是兩個相關問題，因此，解決上述問題的關鍵是解決問題 (4) 和(5) 。師：請同學們根據平行四邊形法則

7、， 先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生：船從 A 開往 B 的情況如圖 2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小 v及 vl 與 v2 的夾角 ：生：船從 A 開往 C的情況如圖 3， AD = v1= 5 ， DE=AF = v2 =3，易求得 AED= EAF= 450，還需求 及 v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。BCBCDEDEv 1 vv1vA v2FA v2 F圖 2圖3師：請大家想一下，這兩個問題的數學實質是什么？部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。師

8、：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這 4 個元素之間的數量關系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。生：如果另一邊的對角已經求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這 4 個元素的數量關系，則第三邊也可求出。生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這 4 個元素之間的數量關系，也能求出第三邊和另一邊的對角。師：同學們的設想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數量關系，或者三條邊與一個角間的數量關系， 則兩個問題都能夠順利解決。 下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？3、

9、解決問題師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。師：請各小組研究在 RtABC中，任意兩邊及其對角這 4 個元素間有什么關系？多數小組很快得出結論：asinA = b sinB = c sinC 。師： asinA = b sinB = c sinC 在非 Rt ABc中是否成立？眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗。若有一個不成立，則否定結論；若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非 Rt ABC，用量角器和

10、刻度尺量出各邊的長和各角的大小， 用計算器作為計算工具， 具體檢驗一下， 然后報告檢驗結果。幾分鐘后，多數小組報告結論成立，只有一個小組因測量和計算誤差，得出否定的結論。教師在引導學生找出失誤的原因后指出：此關系式在任意 ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。生：想法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。生：因為要證明的是一個等式，所以應先找到一個可以作為證明基礎的等量關系。師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值： 1、三角形的面積不變； 2、三角形同一邊上的高不變； 3、三角形外接

11、圓直徑不變。師：據我所知，從AC+CB=AB出發，也能證得結論，請大家討論一下。生：要想辦法將向量關系轉化成數量關系。生：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。生：還要想辦法將有三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。生：因為兩個垂直向量的數量積為 0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量 ( 如向量 AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數量積。師：同學們通過自己的努力，發現并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關系， 請大家留意身邊的事例， 正弦定理能夠解決哪些問題。七、教學總結在本課的教學中， 教師立足于所創設的情境， 通過學生自主探索、 合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。創設數學情境是這種教學模式的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學模式主張以問題為連線組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，因此，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵。教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數