1、1拋物線拋 物 線y2=2px(P0)丄y(2= 2pxP0)丄x(y1V.2=2pyP0)x2(py=-2py)0)IlO-=7：7Q!x0 xFl定義平面內與一個定點 F 和一條定直線 1 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點 F 叫 做拋物線的焦點，直線 1 叫做拋物線的準線。M|MF點 M 到直線 1 的距離范圍x K0,廠RX蘭0, y Rx R, y K0 x R,y蘭0對稱性關于 x 軸對稱關于 y 軸對稱隹占八、 、 八、 、（-2,0）（0,子）|（0 七）焦點在對稱軸上頂點0(0,0)離心率e=1準線 方程PX =2pX =2Pp準線與焦點位于頂點兩側且到頂點的距離相等。頂點

2、到準線的距離_P2焦點到準線的距離P焦半徑A(xi, yi)AF = %+ 衛2AF=治+衛2AF= y衛2AF=力+衛22焦點弦長IABI(Xi+X2)+p(X1+X2)+ P(% +y2)+ P_(如 +y2)+p焦點弦AB 的幾條性質A(X yjBg y2)f_A(Jx1,yx1)NX2, y2以 AB 為直徑的圓必與準線 1 相切若 AB 的傾斜角為口，則|AB二一2sin a若 AB 的傾斜角為a，貝AB=仝一cos a2P以X1X2 yiy2 P411AF +BFAB2+ = =AF BF AF *BF AF *BF p切線 方程yy =p(x+x)yy = P(XX)xx = p

3、(y + y)xx = -p(y+y)1. 直線與拋物線的位置關系直線“門，拋物線 2-,y = kx + b0，直線I與拋物線相交，兩個不同交點；=0,直線I與拋物線相切，一個切點；v0，直線I與拋物線相離，無公共點。(3)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定)(4)2. 關于直線與拋物線的位置關系問題常用處理方法直線 I :y = kx b拋物線- ，(P0)3聯立方程法：4y =kx +b2 22；2n k X +2(kb p)x+b =0y =2px設交點坐標為A(x1,y1),B(x2, y2)，則有 0 ,以及x1x2,x1x2，還可進一步求出y1y2二k

4、% b kx2b二k(Xjx2) 2b22yiy2=(kxjb)(kx2b) = k x1x2kb(x1x2) b在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如 a.相交弦 AB 的弦長AB = G +k2捲一x2=心 +k2寸(論+ x2)2-4論x2*72 =Jl+占J(yi+丫2)2-4%丫2= Ji + k設交點坐標為A(xi,yi)，B(X2,y2)，代入拋物線方程，得2 2yi=2pxiy2=2px2將兩式相減，可得(yiy2)(yiy?) =2p(xi-x?)yi- y2 _2pxi-X2yiy2b.在涉及中點軌跡問題時，設線段 AB 的中點為M(x0, y0)，m2 _2

5、p _ 2p _ pXi-X2yiy22y0y即kAB，y。同理，對于拋物線x2=2py(p=0)，若直線l與拋物線相交于 A、B 兩點，點b.中點&二丁點差法：yoyiy22ABga.在涉及斜率問題時,2pyiy25M（xo,y。）是弦 AB 的中點，則有kAB二空竺二竺二竺2p 2p p（注意能用這個公式的條件：1）直線與拋物線有兩個不同的交點，2）直線的斜 率存在，且不等于零）一、拋物線的定義及其應用例 1、設 P 是拋物線 y2= 4x 上的一個動點.（1）求點P到點A-1,1）的距離與點P到直線 x= 1 的距離之和的最小值;（2）若 B（3,2），求 | PB + | PF

6、F 的最小值.例 2、（2011 山東高考）設 M（x0, y0）為拋物線 C：x2= 8y 上一點，F 為拋物線C 的焦點，以 F 為圓心、|FM 為半徑的圓和拋物線 C 的準線相交，貝 U y0 的取值 范圍是（）A.（0,2）B. 0,2 C.（2,+x） D.2，）二、拋物線的標準方程和幾何性質例 3、拋物線 y2= 2px（p0）的焦點為 F，準線為 I，經過 F 的直線與拋物線交于 A、B 兩點，交準線于 C 點，點 A 在 x 軸上方，AKLl，垂足為 K,若| Bq 二 2| BF|，且|AF| = 4,則厶 AKF 的面積是（）A. 4B. 3 3 C . 4 3 D . 8

7、例 4、過拋物線 y2= 2px（ p0）的焦點 F 的直線交拋物線于點 A、B,交其準線 I于點 C,若| Bq 二 2| BF，且| AF 二 3 則此拋物線的方程為（）6A y2二 3xB. y2= 9x.y2二 9x.y2=3x7三、拋物線的綜合問題例 5、(2011 江西高考)已知過拋物線 y2= 2px(p0)的焦點，斜率為 2 2 的直線 交拋物線于 A(xi，yi)，B(x2，y2)( Xi0)上, M 點到拋物線 C 的焦點 F 的1距離為 2,直線 I : y 二於+ b 與拋物線 C 交于 A, B 兩點.(1)求拋物線 C 的方程；若以 AB 為直徑的圓與 x 軸相切，

8、求該圓的方程.OA+入OB，求入的值.B，過點 F 作兩條斜率存在且互相垂直的直線12與軌跡 C 相交于點D,E,求ADEB11, 12，設 11與軌跡 C 相交于點 A,的最小值8練習題1.已知拋物線 X2= ay 的焦點恰好為雙曲線 y2-x2= 2 的上焦點，貝 U a 等于 （ ）A. 1B. 4C . 8D. 162.拋物線 y = 4x2上的一點 M 到焦點的距離為 1,則點 M 的縱坐標是（）3. （2011 遼寧高考）已知 F 是拋物線 y2= x 的焦點，A, B 是該拋物線上的兩點,|AF + |BF 二 3,則線段 AB 的中點到 y 軸的距離為（）4.已知拋物線 y2二

9、 2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是（ ）A.相離B相交 C .相切D.不確定5.（2012 宜賓檢測）已知 F 為拋物線 y2= 8x 的焦點，過 F 且斜率為 1 的直線交拋物線于 A、B 兩點：,則 IIFA-|FB|的值等于()A . 4.2B . 8 C.8 2D.166 .在 y = 2x2上有一點 P,它到 A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P 的坐標是()A. ( 2,1)B . (1,2) C.(2,1)D.( 1,2)7. （2011 陜西高考）設拋物線的頂點在原點，準線方程為 x = 2，則拋物線的方程是（）A . y2= 8x B .

10、y2= 8xC. y2= 4xD . y2= 4x8.（2012 永州模擬）以拋物線 x2= 16y 的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切 的圓的方程為_.9.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 y 軸，拋物線上一點 q 3，m）到焦點的距離是 5，則拋物線的方程為 _A.1716B.1516C.1615D.花A.B. 1C.D.4910 .已知拋物線 y2= 4x 與直線 2x+ y 4= 0 相交于AB 兩點，拋物線的焦點為F,那么|FA| +|FB| =1011.過拋物線 y2 = 4X 的焦點作直線交拋物線于 A(X1, yl) , B(X2, y 2)兩點,若 x1 + x2 = 6,那

11、么| AB 等于_12. 根據下列條件求拋物線的標準方程：拋物線的焦點是雙曲線 16 x2- 9y2= 144 的左頂點；過點 P(2 , - 4).13 .已知點 A( 1,0) , B(1 , - 1)，拋物線 C: y2= 4x, O 為坐標原點，過點A的動直線 I 交拋物線 C 于 M, P 兩點，直線 MB 交拋物線 C 于另一點 Q 若向量OMOPn的夾角為才， 求 POM 勺面積.11參考答案：一、拋物線的定義及其應用例 1、(1)如圖，易知拋物線的焦點為 F(1,0)，準線是 x = 1.由拋物線的定義知：點 P 到直線 x= 1 的距離等于點 P 到焦點 F 的距離.于是，問

12、題轉化為：在曲線上求一點 P,使點 P 到點A1,1)的距離與點 P 到 F(1,0)的距離之和最小.顯然，連結 AF 交曲線于 P 點，則所求的最小值為| AF , 即為 5.(2)如圖，自點 B 作 BQ 垂直準線于 Q,交拋物線于點 P1,則|P1Q 二| P1F|.則有| PB + | PF | P1B| + |P1Q = | BQ = 4.即 | PB + | PF 的最小值為 4.例 2、解析：圓心到拋物線準線的距離為 P,即 p= 4,根據已 知只要|FM4 即 可.根據拋物線定 I FM = yo+ 2 由 y0+ 24,解得 y02,故 y0 的取值范圍是(2 ,+ x).二

13、、拋物線的標準方程和幾何性質例 3、設點 A(X1, y1)，其中 y10.由點 B 作拋物線的準線的垂線，垂足為 B.則有| BBI 1| BF| = | BB| ;又 | CB = 2| FB，因此有 | CB = 2| BB| , cos/ CBB =丨 口門=,/丨丨BC2nnpCBB=.即直線 AB 與 x 軸的夾角為.又| AF| = | AK| = X1+ $ = 4,因此 y1 14sin 扌=2 寸 3,因此 AKF 的面積等于 | AK| y1=4X厶/3 = 43.例 4.分別過點 A、B 作 AA、BB 垂直于 I,且垂足分別為 A、B1,由已知條件| Bq=2| BF

14、| 得| Bq=2| BB|, ZBCB=30，又 | AA|=| AF|=3,二 | AC| = 2| AA| = 6, | CF| = | ACf | AF| = 6 3 = 3, F 為線段 AC 的中點.故 13點 F 到準線的距離為 p = JAA|= 2，故拋物線的方程為 y2= 3x.三、拋物線的綜合問題例 5、(1)直線 AB 的方程是 y = 2 2(x 舟舟) )，與 y2= 2px 聯立，從而有 4x2 5px5p+ p = 0,所以：X1+ X2= ，由拋物線定乂得：| AE| = X1+ X2+ p= 9,所以 p = 4,從而拋物線方程是 y2= 8x.122 2

15、2由 P = 4,4x 5px+ p= 0 可簡化為 x 5x + 4 = 0,從而 Xi= 1, X2= 4, y2 2, y2= 4 2,從而 A(1 , 2 2) , B(4,42);設OC= (X3, y3)= (1 , 2 2) + 入(4,42) = (4 入 + 1,42 入2 2).又 y3= 8x3,即22(2 入一 1)2= 8(4 入 + 1).即(2 入1)2=4 入+ 1.解得入=0,或入=2.例 6設動點 P 的坐標為(x, y),由題意有. x 1 一2+y2 | x| = 1.化簡得y2= 2x + 2|x|.當 x0 時，y2 = 4x；當 x0)和 y= 0

16、(x8+4X2 k2k2=16.當且僅當 k2=占，即 k = 1 時，ADEB取最小值 16.| MF = 1-ppo-(2)= 1+ 2 = 2,解得 p= 2,故所求拋物線 C 的方程為 y= 4x.y= k x 11).由丄 4x,得 k2x2 (2 k2+4)x+ k2= 0.(7聯立132y = 4x依題意應有= 64+ 32b0,解得 b 2.設 A(X1, yj , B(X2,崗，則1+y2p例 7、(1)拋物線 y = 2px(p0)的準線為 x= 2，由拋物線定義和已知條件可知1y= 2x+b,9消去 X 并化簡整理得 y+ 8y 8b= 0.14Xi+ X2yi+y=8,

17、yiy2= 8b,設圓心 Q(Xo, y)，則應用 x= 2, yo 2 = 一 4.因為以 AB 為直徑的圓與 x 軸相切，所以圓的半徑為 r |yo| 4.又 | AB= pXi X2- yi y2“- V 1 + 4y1y25 yi+y22 4yiy2 5 64+ 32b- 8所以 | AE| 2r 5 64 + 32b 8,解得 b= 5.48所以 Xi+ X22b 2yi+ 2b 2y?4b+ 16=5,242422則圓心 Q 的坐標為(石,4).故所求圓的方程為(X-5) + (y + 4) 16.練習題：1. C.解析：根據拋物線方程可得其焦點坐標為(0 ,彳),雙曲線的上焦點為

18、(0,2),a依題意則有 4 =2解得a=8.2y1x = 4,其準線方程為 y 花.設 M(X0, y0)，則1由拋物線的定乂，可知 16y0= 1?y0=3. C.解析：根據拋物線定義與梯形中位線定理，得線段 AB 中點到 y 軸的距離11315為：2(| AF+|BF)4= 24=44. C解析：設拋物線焦點弦為 AB,中點為 M 準線 I,A、B 分別為 A、B 在直1線 I 上的射影，則|AA| | AF| , |BB| | BF|，于是 M 到 I 的距離 d =別 AA| +1 1| BB|) 2(| AF| + | BF|)AB 半徑，故相切.yx 2,5. C.解析：依題意

19、F(2,0)，所以直線方程為 y x 2 由2c，消去斜8xy 得 x2 12x + 4 0.設 A(X1, yj , B(X2,討 2，則 II FA| | FB| |( X1+ 2) (X22. B.解析：拋物線方程可化為1515+ 2)| | X1 X2| (X1+ X2)2 4x1X2 144 16 8 2.166.B.解析： 如圖所示， 直線 I 為拋物線 y 二 2X2的準線， F 為其 焦點，PN 丄 I , AN 丄 I ,由拋物線的定義知，|PF 二|PN ,：|AP + |PF| =|Ap+ |PN |AN|，當且僅當AP、N 三點共線時取等號 P 點的橫坐標與 A 點的橫坐標相同即為 1，貝 U 可排除 A、C、D.答案：B7.B.解析：由準線方程 x = 2，可知拋物線為焦點在 x 軸正，半軸上的標準 方程，同時得 P = 4，所以標準方程為 y2 = 2px= 8x8.解析：拋物線的焦點為 F(0,4)，準線為 y= 4,則圓心為(0,4)，半徑 r =8.所以，圓的方程為 x2+ (y 4)2= 64.9.解析：設拋物線方程為 x2= ay(a 0)，則準線為 y = |.vQ( 3，m)在拋物a線上， 9 = am 而點 Q 到焦點的距離等于點 Q 到準線的距離，二| m-(才| = 5