1、專題7.2 等差數列及其前n項和新課程考試要求1.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式；2.了解等差數列與一次函數.3. 掌握等差數列前 n 項和公式及其應用；4.會用數列的等差關系解決實際問題.核心素養本節涉及所有的數學核心素養：邏輯推理、數學運算、數學抽象、數學建模等.考向預測1.利用方程思想進行基本量的計算.2.等差、等比數列的綜合問題.3.復習中注意:(1)方程思想在數列計算中的應用;(2)等差數列的通項公式、前n項和公式的綜合應用.【知識清單】知識點一等差數列的有關概念1.定義：等差數列定義：一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等

2、差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.2.等差數列的通項公式：；說明：等差數列（通常可稱為數列）的單調性：為遞增數列，為常數列， 為遞減數列.3.等差中項的概念：定義：如果，成等差數列，那么叫做與的等差中項,其中 .，成等差數列.4.要注意概念中的“從第2項起”如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列5.注意區分等差數列定義中同一個常數與常數的區別知識點二等差數列的前n項和等差數列的前和的求和公式：.知識點三等差數列的相關性質1.等差數列的性質：（1）在等差數列中，從第2項起，每一項是它相

3、鄰二項的等差中項；（2）在等差數列中，相隔等距離的項組成的數列是等差數列， 如：，；，；（3）在等差數列中，對任意，；（4）在等差數列中，若，且，則,特殊地，時，則，是的等差中項.（5）等差數列被均勻分段求和后，得到的數列仍是等差數列，即成等差數列.（6）兩個等差數列與的和差的數列仍為等差數列（7）若數列是等差數列,則仍為等差數列2設數列是等差數列，且公差為，（）若項數為偶數，設共有項，則； ；（）若項數為奇數，設共有項，則(中間項)；.3.,則,.4.如果兩個等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是兩個原等差數列公差的最小公倍數5.若與為等差數列

4、，且前項和分別為與，則.6等差數列的增減性：時為遞增數列，且當時前n項和有最小值時為遞減數列，且當時前n項和有最大值【考點分類剖析】考點一 ：等差數列的基本運算【典例1】（2020·全國高考真題（文）記為等差數列的前n項和若，則_【典例2】（2019·江蘇高考真題）已知數列是等差數列，是其前n項和.若，則的值是_.【典例3】（2021·上海民辦南模中學高三三模）已知等差數列的各項均為正整數，且，則的最小值是_.【規律方法】1活用方程思想和化歸思想在解有關等差數列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解即等差數列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量

5、，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算2.特殊設法:三個數成等差數列，一般設為；四個數成等差數列，一般設為.這對已知和,求數列各項,運算很方便.3.等差數列的前n項和公式若已知首項和末項，則，或等差數列an的首項是，公差是，則其前項和公式為.【變式探究】1.數列an是等差數列，a1=1，a4=8，則a5=（ ）a 16 b -16 c 32 d 3132.（2021·全國

6、高二課時練習）已知等差數列an的前n項和為sn，a4+a7+a10=9，s14-s3=77，則使sn取得最小值時n的值為_.3.（2018·北京高考真題（理）設an是等差數列，且a1=3，a2+a5=36，則an的通項公式為_考點二：等差數列的判定與證明【典例4】（2021·全國高考真題（理）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個成立數列是等差數列：數列是等差數列；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分【典例5】（2019·浙江高考模擬）設sn為數列an的前n項和，且 s28，（i）求a1，a2并證明數列 為等差數

7、列；（ii）若不等式對任意正整數 n 恒成立，求實數l的取值范圍【規律方法】1.等差數列的四種判斷方法(1) 定義法：對于數列，若(常數)，則數列是等差數列；(2) 等差中項：對于數列，若，則數列是等差數列;(3)通項公式：(為常數,) 是等差數列;(4)前項和公式：(為常數, ) 是等差數列;(5)是等差數列是等差數列.2.提醒：（1）判斷時易忽視定義中從第2項起，以后每項與前一項的差是同一常數，即易忽視驗證a2a1d這一關鍵條件.（2）若判斷一個數列既不是等差數列又不是等比數列，只需用驗證即可（3）形如an1的數列可轉化為等差數列求解：可用列舉觀察法求解；也可用變形構造法（倒數差）求解（）

8、見【變式探究】2）.【變式探究】1. （2020·全國高三其他（理）數列中，則（ ）a2019b2020c4039d40402（2021·河北衡水中學高三其他模擬）已知數列的前項和為，滿足(，為常數)，且，則_；設函數，則數列的前17項和為_.考點三 等差數列的性質及應用【典例6】（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（文）已知數列是等差數列，若，則（ ）a5b4c9d7【典例7】（2021·北京高考真題）和是兩個等差數列，其中為常值，則（ ）abcd【溫馨提醒】等差數列的性質主要涉及“項的性質”和“和的性質”，因此，要注意結合等差

9、數列的通項公式、前n項和公式求解【變式探究】1(2019·武漢調研)在等差數列an中，前n項和sn滿足s7s245，則a5()a7 b9c14 d182.（2021·全國高二課時練習）設數列an是等差數列，且a2=-6，a8=6，sn是數列an的前n項和，則（ ）as4<s5bs4=s5cs6<s5ds6=s5考點四 等差數列的前n項和公式的綜合應用【典例8】【多選題】（2021·全國高三其他模擬）等差數列的前項和為，已知，則（ ）ab的前項和中最小c的最小值為-49d的最大值為0【典例9】（2019·北京高考模擬（文）等差數列滿足，則a5=

10、_；若，則n=_時，an的前n項和取得最大值【典例10】（2021·全國高考真題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值【規律方法】1.要注意等差數列前n項和公式的靈活應用，如等2求等差數列前項和的最值，常用的方法：（1）利用等差數列的單調性或性質，求出其正負轉折項，便可求得和的最值當，時，有最大值；，時，有最小值；若已知，則最值時的值（）則當，滿足的項數使得取最大值，(2)當，時，滿足的項數使得取最小值.（2）利用等差數列的前n項和：(為常數, )為二次函數，通過配方或借助圖像，二次函數的性質，轉化為二次函數的最值的方法求解；有時利

11、用數列的單調性（,遞增；，遞減）；3. 利用數列中最大項和最小項的求法：求最大項的方法：設為最大項，則有；求最小項的方法：設為最小項，則有.只需將等差數列的前n項和依次看成數列，利用數列中最大項和最小項的求法即可.4.在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用.【變式探究】1.（2020·浙江湖州高一期末）設公差為d的等差數列的前n項和為，若，則_，取最小值時，_2.（2019·浙江高三期末）記等差數列的前n項和為，若，則_；當取得最大值時，_3.（2021·湖北省直轄縣級行政單位·高三其他模擬）已知等差數列的通項公式為，當且僅當時，數列的前n項和

12、最大.則當時，_.考點五 等差數列與傳統文化【典例11】（2020·全國高考真題（理）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）a3699塊b3474塊c3402塊d3339塊【典例12】（2021·重慶高三三模）我國古代著名的數學專著九章算術有一段敘述：今有良馬與駑馬發長安至齊，行程一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日減半里；駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復還迎駑馬，則二馬（ ）日后相逢a10b11c12d13【變式探究】1（2021·四川成都市·石室中學高三三模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理” ，講的是關于整除的問題（如7被3除余1：1被2除余1）.現有這樣一個整除問題：將1到100這100個正整數中能被2除余1且被3除余1的數按從小