1、題九 平面向量講義9.3 三角形四心及面積問題題型一. 三角形四心考點1.重心1已知abc和點m滿足ma+mb+mc=0若存在實數(shù)m使得am=m(ab+ac)成立，則m（）a1b12c13d14【解答】解：因為ab+ac=am+mb+am+mc=2am+mb+mc，又ma+mb+mc=0，所以mb+mc=ma=am，則ab+ac=2am+am=3am，所以am=13(ab+ac)，所以m=13，故選：c2已知o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足op=oa+（ab|ab|sinb+ac|ac|sinc）0，+），則點p的軌跡一定通過abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d垂心【

2、解答】解：|ab|sinb=|ac|sinc設(shè)它們等于t，op=oa+1t（ab+ac）而ab+ac=2ad1t（ab+ac）表示與ad共線的向量ap而點d是bc的中點，所以即p的軌跡一定通過三角形的重心故選：c3已知點p是abc所在平面內(nèi)，且使得|pa|2+|pb|2+|pc|2取得最小值的點，則點p是abc的（）a重心b外心c垂心d內(nèi)心【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)oa=a，ob=b，oc=c，op=p，則|pa|2+|pb|2+|pc|2=(ap)2+(bp)2+(cp)2=3p22（a+b+c）p+（a2+b2+c2），當(dāng)p=13（a+b+c）時，上式取得最小值，此時p是abc的重心故選：a

3、考點2.內(nèi)心1o是平面上一定點，a，b，c是平面上不共線的三個點，動點p滿足op=oa+(ab|ab|+ac|ac|)，0，+)，則p的軌跡一定通過abc的內(nèi)心【解答】解：由于o是平面上一定點，a，b，c是平面上不共線的三個點，動點p滿足op=oa+(ab|ab|+ac|ac|)，0，+)，即p在bac的平分線上，所以p的軌跡一定通過abc的內(nèi)心故答案為：內(nèi)2已知o是abc所在平面上的一點，a、b、c所對的邊的分別為a，b，c，若aoa+bob+coc=0，則o是abc的（）a重心b垂心c外心d內(nèi)心【解答】解：ob=abao，oc=acaoaoa+bob+coc=aoa+b（abao）+c（a

4、cao）bab+cac（a+b+c）ao而 aoa+bob+coc=0，（a+b+c）ao=bab+cac即 ao=ba+b+cab+ca+b+cac記ab=cn1，ac=bn2，其中n1、n2分別表示ab、ac方向上的單位向量則 ao=bca+b+c（n1+n2）由該式可以看出ao位于bac的角平分線上，故知o只能為內(nèi)心，即角平分線交點故選：d考點3.外心1設(shè)p是abc所在平面內(nèi)的一點，若ab(cb+ca)=2abcp，且|ap|=|cp|則點p是abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d垂心【解答】解：取ab的中點d，則ca+cb=2cd，ab(cb+ca)=2abcp，即2abcd=2abcp，a

5、b（cdcp）0，即abpd=0，p在ab的中垂線上，papb，又apcp，p為abc的外心故選：a2設(shè)p是abc所在平面內(nèi)的一點，若ab(cb+ca)=2abcp且ab2=ac22bcap則點p是abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d垂心【解答】解：如圖所示，取ab的中點d，則cb+ca=2cd，ab（cb+ca）2abcp，即2abcd=2abcp，ab（cdcp）=abpd=0，即abpd，p在ab的中垂線上，又ab2=ac22bcap（ab+ac）（abac）2bcap，（ab+ac）cb=2bcap，即cb（ab+ac）2cbap，點p也在bc的中垂線上，點p是abc的外心故選：a考點4.

6、垂心1已知o為abc所在平面上一點，且oa2+bc2=ob2+ca2=oc2+ab2，則o一定為abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d垂心【解答】解：oa2+bc2=ob2+ca2，oa2+（ocob）2=ob2+（oaoc）2，即oa2+ob2+oc22ocob=oa2+ob2+oc22ocoa，即ocob=ocoa，即oc（oboa）=ocab=0，即ocab，同理，obac，oabco是abc的垂心故選：d2o是平面上一定點，a，b，c平面上不共線的三個點，動點p滿足op=oa+(ab|ab|cosabc+ac|ac|cosbca)，r，則p的軌跡一定通過abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d垂心【

7、解答】解：如圖所示，過點a作adbc，垂足為d點則bcab|ab|cosabc=|bc|ab|cos(b)|ab|cosabc=|bc|，同理bcac|ac|cosacd=|bc|，動點p滿足op=oa+(ab|ab|cosabc+ac|ac|cosbca)，rap=(ab|ab|cosabc+ac|ac|cosacd)，rapbc=(bcab|ab|cosabc+bcac|ac|cosacd)=(|bc|+|bc|)=0，apbc，因此p的軌跡一定通過abc的垂心故選：d題型二. 面積問題奔馳定理1已知點o為三角形abc內(nèi)一點，oa+2ob+3oc=0，則sabcsaoc=3【解答】解：如圖

8、，取bc中點d，ac中點e，連接oa，ob，oc，od，oe；oa+2ob+3oc=(oa+oc)+2(ob+oc) =2oe+4od =0 oe=2od；d，o，e三點共線，即de為abc的中位線；de=32oe，ab2de；ab3oe；sabcsaoc=3故答案為：32在abc中，d為三角形所在平面內(nèi)一點，且ad=13ab+12ac，則sbcdsabd=（）a16b13c12d23【解答】解：由已知，在abc中，d為三角形所在平面內(nèi)一點，且ad=13ab+12ac，點d在平行于ab的中位線上，且為靠近ac邊，從而有sabd=12sabc，sacd=13sabc，sbcd=(11213)sa

9、bc=16sabc，有sbcdsabd=13故選：b3若點m是abc所在平面內(nèi)一點，且滿足|3amabac|=0，則abm與abc的面積之比值為13【解答】解：如圖，取bc的中點為d，則ab+ac=2ad，|3amabac|=0，3amabac=0，3am=2ad，am=23ad，|am|=23|ad|，sabm=23sabd=23×(12sabc)=13sabc，sabmsabc=13故答案為：134平面上o，a，b三點不共線，設(shè)oa=a，ob=b，則oab的面積等于（）a|a|2|b|2(ab)2b|a|2|b|2+(ab)2c12|a|2|b|2(ab)2d12|a|2|b|2

10、+(ab)2【解答】解：soab=12|a|b|sina，b=12|a|b|1cos2a，b =12|a|b|1(ab)2|a|2|b|2 =12|a|2|b|2(ab)2；故選：c5已知點a（1，1），b（3，0），c（2，1）若平面區(qū)域d由所有滿足ap=ab+ac（12，01）的點p組成，則d的面積為3【解答】解：設(shè)p的坐標(biāo)為（x，y），則ab=（2，1），ac=（1，2），ap=（x1，y+1），ap=ab+ac，x1=2+y+1=+2，解之得=23x13y1=13x+23y+112，01，點p坐標(biāo)滿足不等式組123x13y12013x+23y+11作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的平行四邊形cdef及其內(nèi)部其中c（4，2），d（6，3），e（5，1），f（3，0）|cf|=(43)2+(20)2=5，點e（5，1）到直線cf：2xy60的距離為d=|2×516|5=355平行四邊形cdef的面積為s|cf|×d=5×355=3，即動點p構(gòu)成的平面區(qū)域d的面積為3故答案為：36設(shè) p、q為abc內(nèi)的兩點，且ap=25ab+15ac，a