1、專(zhuān)題7.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和新課程考試要求1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù).3. 掌握等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式及其應(yīng)用；4.會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等.考向預(yù)測(cè)1.利用方程思想進(jìn)行基本量的計(jì)算.2.等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題.3.復(fù)習(xí)中注意:(1)方程思想在數(shù)列計(jì)算中的應(yīng)用;(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的有關(guān)概念1.定義：等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等

2、差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說(shuō)明：等差數(shù)列（通常可稱(chēng)為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列.3.等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng),其中 .，成等差數(shù)列.4.要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列5.注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等差數(shù)列的前和的求和公式：.知識(shí)點(diǎn)三等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)1.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相

3、鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列， 如：，；，；（3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則,特殊地，時(shí)，則，是的等差中項(xiàng).（5）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列.（6）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列2設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則； ；（）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則(中間項(xiàng))；.3.,則,.4.如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個(gè)原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)5.若與為等差數(shù)列

4、，且前項(xiàng)和分別為與，則.6等差數(shù)列的增減性：時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最小值時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最大值【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一 ：等差數(shù)列的基本運(yùn)算【典例1】（2020·全國(guó)高考真題（文）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和若，則_【答案】【解析】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.【典例2】（2019·江蘇高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是_.【答案】16.【解析】由題意可得：，解得：，則.【典例3】（2021·上海民辦南模中學(xué)高三三模）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均

5、為正整數(shù)，且，則的最小值是_.【答案】5【解析】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，公差，從而表示出，根據(jù)其單減性，求得最小值.【詳解】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，故為正整數(shù)，關(guān)于d單減，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不符；故的最小值為5，故答案為：5【規(guī)律方法】1活用方程思想和化歸思想在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過(guò)建立方程(組)獲得解即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見(jiàn)題型，解決此類(lèi)問(wèn)題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未

6、知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算2.特殊設(shè)法:三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為.這對(duì)已知和,求數(shù)列各項(xiàng),運(yùn)算很方便.3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若已知首項(xiàng)和末項(xiàng)，則，或等差數(shù)列an的首項(xiàng)是，公差是，則其前項(xiàng)和公式為.【變式探究】1.數(shù)列an是等差數(shù)列，a1=1，a4=8，則a5=（ ）a 16 b -16 c 32 d 313【答案】d【解析】因?yàn)閍4=8，所以a1+3d=8，又因?yàn)閍1=1，所以d=73，可得a5= a1+4d= 313，故選d.2.（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a4+a7+

7、a10=9，s14-s3=77，則使sn取得最小值時(shí)n的值為_(kāi).【答案】5【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)a4+a7+a10=9，s14-s3=77，求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍4+a7+a10=9，s14-s3=77，所以，解得所以，所以當(dāng)時(shí)，sn取得最小值，故答案為：53.（2018·北京高考真題（理）設(shè)an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則an的通項(xiàng)公式為_(kāi)【答案】an=6n-3【解析】a1=3，3+d+3+4d=36，d=6，an=3+6(n-1)=6n-3.考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判定與證明【典例4】（2021·全國(guó)高考真題（理）已

8、知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立數(shù)列是等差數(shù)列：數(shù)列是等差數(shù)列；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】答案見(jiàn)解析【解析】選作條件證明時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；選作條件證明時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選作條件證明時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列.【詳解】選作條件證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，所以.選作條件證明：因?yàn)椋堑炔顢?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列.選作條件證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)椋裕獾没?/p>

9、；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.【典例5】（2019·浙江高考模擬）設(shè)sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且 s28，（i）求a1，a2并證明數(shù)列 為等差數(shù)列；（ii）若不等式對(duì)任意正整數(shù) n 恒成立，求實(shí)數(shù)l的取值范圍【答案】（i），見(jiàn)證明（ii）【解析】（i），得 .，則，兩式相減得，即 得，即，故數(shù)列為等差數(shù)列.（ii）由（i）可得 ，由得對(duì)任意正整數(shù)恒成立，令， .【規(guī)律方法】1.等差數(shù)列的四種判斷方法(1) 定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2) 等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項(xiàng)公式：(為

10、常數(shù),) 是等差數(shù)列;(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù), ) 是等差數(shù)列;(5)是等差數(shù)列是等差數(shù)列.2.提醒：（1）判斷時(shí)易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2a1d這一關(guān)鍵條件.（2）若判斷一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用驗(yàn)證即可（3）形如an1的數(shù)列可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解：可用列舉觀察法求解；也可用變形構(gòu)造法（倒數(shù)差）求解（）見(jiàn)【變式探究】2）.【變式探究】1. （2020·全國(guó)高三其他（理）數(shù)列中，則（ ）a2019b2020c4039d4040【答案】b【解析】分析：根據(jù)題中所給的條件，類(lèi)比著寫(xiě)出，兩式相減可得，從而可得數(shù)列隔項(xiàng)成等差數(shù)

11、列，即其偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，利用題中條件求得，利用通項(xiàng)公式求得，得到結(jié)果.詳解：，得，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.故選：b.2（2021·河北衡水中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足(，為常數(shù))，且，則_；設(shè)函數(shù)，則數(shù)列的前17項(xiàng)和為_(kāi).【答案】 17 【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得，由可得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，又，所以，即，再首尾相加求和即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故.由題意得，所以，同理，.又易得，所以數(shù)列的前17項(xiàng)和為.故答案為：；17考點(diǎn)三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例6】（2021·黑龍江哈爾濱市·

12、哈爾濱三中高三其他模擬（文）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（ ）a5b4c9d7【答案】a【解析】本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)、求出，最后通過(guò)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故選：a.【典例7】（2021·北京高考真題）和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，則（ ）abcd【答案】b【解析】由已知條件求出的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由已知條件可得，則，因此，.故選：b.【溫馨提醒】等差數(shù)列的性質(zhì)主要涉及“項(xiàng)的性質(zhì)”和“和的性質(zhì)”，因此，要注意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解【變式探究】1(2019·武漢調(diào)研)在等差數(shù)列an中，前n項(xiàng)和sn

13、滿(mǎn)足s7s245，則a5()a7 b9c14 d18【答案】b【解析】解法一因?yàn)樵诘炔顢?shù)列an中，s7s245，所以a3a4a5a6a75a545，所以a59，故選b.解法二設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)樵诘炔顢?shù)列an中，s7s245，所以，整理得a14d9，所以a59，故選b.2.（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2=-6，a8=6，sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則（ ）as4<s5bs4=s5cs6<s5ds6=s5【答案】b【解析】(方法一)利用首項(xiàng)和公差求解；(方法二)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】(方法一)設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，

14、 則有解得從而有s4=-20，s5=-20，s6=-18.從而有s4=s5.(方法二)由等差數(shù)列的性質(zhì)知a5+a5=a2+a8=-6+6=0，所以a5=0，從而有s4=s5.故選：b考點(diǎn)四 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用【典例8】【多選題】（2021·全國(guó)高三其他模擬）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（ ）ab的前項(xiàng)和中最小c的最小值為-49d的最大值為0【答案】bc【解析】由已知條件先計(jì)算出和，然后計(jì)算的值對(duì)a進(jìn)行判斷；求出的表達(dá)式，計(jì)算出最小值即可對(duì)b進(jìn)行判斷；求出的表達(dá)式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出最小值判斷c選項(xiàng)；求出的表達(dá)式對(duì)d進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，則解得，a錯(cuò)誤；，當(dāng)n=5

15、時(shí)取得最小值，故b正確；，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，且，所以最小值為-49，c正確；，沒(méi)有最大值，d錯(cuò)誤故選：bc【典例9】（2019·北京高考模擬（文）等差數(shù)列滿(mǎn)足，則a5=_；若，則n=_時(shí)，an的前n項(xiàng)和取得最大值【答案】4 6 【解析】等差數(shù)列滿(mǎn)足，所以，即，所以，所以 令，解得，所以的前6項(xiàng)和取得最大值故填：4，6【典例10】（2021·全國(guó)高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值【答案】(1)；(2)7.【解析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得

16、前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【規(guī)律方法】1.要注意等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如等2求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，常用的方法：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值當(dāng)，時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；若已知，則最值時(shí)的值（）則當(dāng)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取最大值，(2)當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取最小值.（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：(

17、為常數(shù), )為二次函數(shù)，通過(guò)配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時(shí)利用數(shù)列的單調(diào)性（,遞增；，遞減）；3. 利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法：求最大項(xiàng)的方法：設(shè)為最大項(xiàng)，則有；求最小項(xiàng)的方法：設(shè)為最小項(xiàng)，則有.只需將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和依次看成數(shù)列，利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法即可.4.在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.【變式探究】1.（2020·浙江湖州高一期末）設(shè)公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_，取最小值時(shí)，_【答案】3 4 【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以 ，解得 ，所以，因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，由，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.故答

18、案為:;.2.（2019·浙江高三期末）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_；當(dāng)取得最大值時(shí)，_【答案】0 1009或1008 【解析】，故當(dāng)取得最大值時(shí)，或，故答案為：0，1009或1008 3.（2021·湖北省直轄縣級(jí)行政單位·高三其他模擬）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大.則當(dāng)時(shí)，_.【答案】【解析】首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)即可求解.【詳解】解：由題意可知，解得，又，則，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案為：20.考點(diǎn)五 等差數(shù)列與傳統(tǒng)文化【典例11】（2020·全國(guó)高考真題（理）北京天壇的圜丘壇為古代祭天

19、的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）a3699塊b3474塊c3402塊d3339塊【答案】c【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：c【典例12】（2021·重慶高三三模）我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專(zhuān)著九章算術(shù)有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，行程一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日減半里；駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，則二馬（ ）日后相逢a10b11c12d13【答案】c【解析】根據(jù)題意通過(guò)已知條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和