1、機械科學與工穫學院本科生畢業設計（論文）翻譯資料中文題目：接觸力學英文題 目:con tact mecha nics學生姓名：李昊瞳學號：41121209班級：12專業：工程力學 指導教師：旦接觸力學英 k丄.johnson 著劍橋大學出版 劍橋大學聯合出版社岀版特蘭平頓街，皮特建筑,劍橋cb2 1rp紐約37東57號街ny10022,美國斯坦福德路10號，奧克利街，墨爾本3166,澳大利亞 劍橋大學1985年出版1985首次出版英國劍橋大學出版社印刷國會圖書館目錄卡號碼：84-11346序言接觸力學這門學科可以說是在1882年，由h. hertz發表了他的經典論 文論彈性固體的接觸開始的。當

2、時的赫茲只有24歲，在柏林大學做 helmholtz的研究助手。他對這個問題的興趣起因于對玻璃透鏡間光學干涉 的實驗。他所提出的問題是，透鏡在使它們相互接觸的力的作用下所發生的 彈性變形對干涉條紋圖有沒有顯著的影響。通過觀察圖4. 1所示的那些干涉 條紋，就很容易想象橢圓接觸面的假設是怎樣提岀來的。接著，他在靜電位 理論方面的知識使他通過比擬法證明，接觸壓力的橢圓球體-赫茲分布將在 兩個物體中產牛與所提出問題的橢圓接觸面相協調的彈性位移。赫茲于1881年一月向柏林物理學會報告了他的理論。當吋與會成員很 快就察覺到它在技術上的重要性，并勸說赫茲在專業雜志上發表第二篇論 文。然而直到本世紀初期，由

3、于受到在鐵路，船用減速齒輪以及滾動接觸軸 承方面的工程發展的促進，理論方面的發展才在文獻中出現。赫茲理論局限于無摩擦表面及理想彈性固體。木世紀后半葉，在接觸力 學方面的進展主要與消除這些限制有關。適當處理接觸物體交界處的摩擦， 就能將彈性理論以更符合實際的方式推廣到滑動接觸以及滾動接觸。同時， 塑性理論及線性粘彈性理論的進展使我們能夠研究罪彈性物體接觸處的應 力和變形。令人驚奇的是，雖然接觸力學在技術上很重要，但關于它的書卻不多。 1953年由galin所寫的彈性理論中的接觸問題用俄文出版了。該書歸納 了 muakhelishv訂i在彈性接觸力學方面的先驅性工作。在這同一領域屮由 gladew

4、ell所作得新近的，詳盡的論述，經典彈性理論中的接觸問題于 1980年出版了。這些書不包括滾動接觸，并局限于理想彈性固體。非彈性固 體接觸的分析分散在專門雜志中，或在塑性理論的書中做了簡單的描述。然 而，本書的目的是對非協調表面間接觸力學的大多數問題作一介紹。表面互 不協調的物體最初是在一個點或一條線上接觸，甚至在載荷作用下，與物體 本身的尺寸相比，接觸面的尺寸通常也很小。在這些情況中，接觸應力構成 局部應力集中，對它的研究與兩個物體內的應力無關。赫茲很清楚的意識到 了這一事實。他寫道：“我們能夠將我們的注意力限制于每一個物體中非常 接近接觸點的那一部分，因為這里的應力與發生在其他各處的應力相

5、比非常 大，因為他們依賴于作用在物體其他部分上的力的程度最小?！绷硪环矫妫?表面相互協調一致的物體可能會在一塊面積上接觸，這個接觸面的大小可以 與這兩個物體的有效尺寸相比。于是，接觸應力就變成整個物體內一般應力 分布的一部分，而不能從中分離出來。我們將不設計這類協調的接觸問題。本書是工程師寫的，主要為職業工程師使用。數學處理方法盡可能的適 合工程學學士的水平。所采用的分析方法是，通過基本“點力”解的簡單疊 加來得出應力分布，即green函數法。復勢及積分變換在彈性接觸應力理論 的現代進展中起了重要作用，本書中僅附帶的提到。在這方面，有數學修養 的讀者將會發現gladwcll的書是對第二到五章的

6、有價值的補充。這是一本使用者的書，而不是一本科教書。材料按照應用分為：靜態接 觸、滑動、滾動以及撞擊。而不是按照通常的學科分為彈性、塑性以及粘彈 性問題。在表面力的作用下彈性半空間中的應力及變形是求解彈性接觸問題 的理論基礎，在第二章及第三章中對這些問題作了論述，并將所得出的結果 用在全書屮。對于定性理解以后各章來說這幾章并不是必要的，可以作為附 錄看待，在我自己對接觸力學的研究中（這些研究導致了這本書），我特別感謝 r. d.mindlin.他在切向力對彈性接觸的影響方面所作的先驅性工作激起了 我對這個題目的早期興趣。我也很感激d. taboro他的揭示實驗及對表面相 互作用的物理理解引岀了

7、很多復雜的接觸問題。同事們閱讀并改進了這本書的好幾章，他們在這些領域中的知識及經驗 大大超過了我自己。他們是博士。s. l. grassie博士閱讀了全部手稿， 并對改進敘述作了很多有價值的建議。然而，只有我對所有的錯誤負責。并 口如果讀者將他所發現的錯誤通知我的話，我將非常感謝。圖是由a. bailey先生精心繪制的，手稿是由高頻率打字的。最后，我 的妻子在各方面做了幫助，沒有她的耐心和鼓勵，這本書是不會完成的。 k. l. johnson 劍橋1984目錄前言第一章點接觸的運動以及力1.1框架參考1.2表面相對運動一一滑動滾動以及旋轉1.3力在接觸點的傳輸1.4表面牽引力1.5例(1)漸開

8、線齒輪(2)角接觸球軸承 第二章行加載的彈性半空間內2. 1彈性半空間2.2法向集中力2.3切向集屮力2.4分散的法向和切向牽引2.5均勻分布的牽引力2.6三角分布的牽引力2.7負載部位的規定取代2.8剛性平板穿孔的凹陷2.9與y軸平行的牽引力第三章點加載的彈性半空間內3.1“布西涅斯克”和“切瑞蒂”的潛在功能3.2法向集中力3.3作用于多邊形區域的壓力3.4作用于圓形區域的壓力3.5作用于橢圓區域的壓力3.6切向集中力3.7橢圓和圓形區域內的單向切向牽引力3. 8軸對稱的牽引力3.9扭轉載荷彈性固體的一般接觸一赫茲理論 第四章彈性固體的法向接觸-赫茲理論4.1幾何光滑，不符合表面的接觸4.

9、2彈性接觸的赫茲理論4.3彈性基本模型第五章不符合赫茲一般接觸理論的彈性體5. 1接觸邊緣的應力狀態5.2鈍的楔形和錐形5. 3符合表面5.4界面摩擦力的影響5.5彈性體之間的附著力5.6圓柱體之間的接觸5.7各向異性和不均勻的材料5.8層狀物體，板和殼5.9數值方法第六章非彈性固體的一般接觸6.1塑性屈服的起始6.2剛性和完全塑性固體z間的接觸6.3彈塑性凹陷6.4塑性凹痕的卸載，周期性加載和殘余壓力6.5線性粘彈性材料6. 6非線性彈性和潛變第七章正切和滑動加載7. 1非相容彈性體的滑動7. 2彈性體的初始滑動7.3法向力和切向力的同時變化7.4振蕩力7.5彈性球體的接觸扭轉7.6剛性和塑

10、形物體z間的滑動第八章彈性體之間的旋轉接觸8. 1微小滑動和潛變8.2具有不同彈性性質的自由滾動體& 3彈性圓柱體的牽引滾動& 4三維物體的牽引滾動和自旋8. 5在協調的溝槽中滾動的球8.6滾動中的瞬態特性8.7滾動接觸的彈性基礎模型& 8充氣輪胎第九章非彈性體的滾動接觸9.1彈性滯后9.2彈塑性材料、安定9.3剛性圓柱在理想塑性半空間上的液壓9.4粘彈性體的滾壓接觸9. 5滾壓摩擦第十章碾壓及潤滑10. 1在輾轆之間的彈性板條10.2薄板條屮塑性流動的開始10.3板條的塑性輾壓10. 4軋輾的潤滑第十一章動力效應及撞擊11. 1固體中的應力波11.2彈性半空間的動力加

11、載11.3接觸共振11.4彈性撞擊11.5非彈性撞擊11.6移動載荷-高速滑動及滾動 第十二章熱彈性接觸12. 1引言12. 2傳導半空間中的溫度分布12.3半空間的定常熱彈性變形12.4不同溫度物體間的接觸12.5摩擦發熱和熱彈性失穩 第十三章粗糙表面13. 1真實接觸和表觀接觸13.2規則波狀表面的接觸13.3隨機粗糙表面的特點13.4名義平坦粗糙表面的接觸13.5粗糙曲面的彈性接觸 附錄：某些常用積分的柯西主值光滑非協調接觸表面的幾何特性 赫茲彈性接觸應力公式 線接觸屮表面下的應力線性打滑系數參考文獻第一章1. 1參考標架本書研究當兩個固體的表面接觸時所產生的應力和變形。我們區別協調接觸

12、 與非協調接觸。如果兩個固體的表面在無變形時精確的或者相當接近的貼合在一 起，那么稱這個接觸是協調的。平的滑動軸承和軸頸軸承是協調接觸的例子。具 有不相似外形的物體稱為非協調的，當無變形地接觸時，它們將首先在一個點或 一條線相碰，分別稱為點接觸和線接觸。例如在滾珠軸承中，滾珠與底圈為點接 觸，而在滾柱軸承中，滾柱與底圈為線接觸。當物體的外形在一個方向是協調的, 而在垂肓方向不協調時，就會產牛線接觸。與物體木身的尺寸相比，非協調物體 之間的接觸面積是很小的。應力高度集中在靠近接觸面的區域內，并口不人受遠 離接觸面的物體形狀的影響。這些就是我們在本書屮主要考慮的情況。工程實際中所遇到的表面接觸點常

13、常經歷復雜的運動，并要傳遞力與力矩。 例如在一對齒輪之間的接觸點，他本身在空間中運動，與此同時在該點上，兩個 表面還會以滾動和滑動相結合的方式做相對運動。在這預備性的一章中，我們首 先定義一個參考標架，出現在任何特殊情況下的力與運動都可以用此標架來描 述。這種方式使接觸力學的問題公式化，并能與技術細節無關地進行研究。進而, 它很便于將這種研究的結果廣泛應用于各類工程問題中。由小的可以忽略的力導致接觸的非協調表面在一個單獨的點處相碰。我們取 該點0為坐標系oxyz的坐標原點。圖1. 1所示的上下兩個物體分別以下標1和 2表示。選07軸與兩表面在。處的公法線一致，于是x-y平面是兩平面的切平 面，

14、有事稱為密切面。為了方便，如果可能的話ox軸及oy軸的方向與表面輪廓 的對稱軸一致。當兩圓柱形物體軸線平行的接觸時，就會產牛線接觸。它似乎構成了一種特 殊情況。在橫截面中，他們的外形是非協調的；但在包含圓柱軸線的平面中，沿 著解除線它們是協調的。然而，這種重要情況包括在如下的一般性分析中：我們 選擇x軸位于橫截面內，選y軸平行于圓柱的軸。在此標架中，兩表面的未變形形狀由以下函數確定zl = f(x, y) z2 = /2(x, y)因而，在加載之前他們之間的間隔由下式給岀h = z + z2-/(x, y)1.2表面的相對運動-滑動、滾動、和自旋物體在任一瞬時的運動可以用物體中任意選擇的參考點

15、的線速度矢量與物 體的角速度矢量一起來確定。如果我們現在取每一物體中的參考點與給定瞬時的 接觸點o 致，那么物體1有線速度vl以及角速度1,物體2有線速度v2和角 速度2,上面確定的參考標架以接觸點的線速度vo移動并口以角速度0移動， 并且以角速度0旋轉，以便維持它相對于整個接觸點處公法線及切平面的方位。 在參考標架內，兩個物體在o點的線速度為vl = vl-vov2 = v2 u0(1.2)角速度為col = ill-£10g)2 = q2q0(1. 3)我們現在考慮vlv2, wl及w2的笛卡爾分量。如果接觸是連續的 ,則表面既不會分離也不會重疊。他們沿公法線的速度必須相等，即

16、5=y 丄以 1 = % = 0(1-4)現在定義滑動在。點處兩表面之間的相對線速度，并用表示0 = 0】-巧 h vi vi(1.5)定義滾動為兩物體位丁切平面內的相對角速度，滾動角速度分量為a3 二3磯一 3升二° .廠最后，定義自旋運動為繞公法線的相對角速度即(1.6)接觸表面的任何運動必須滿足連續接觸的條件14,并看作是滑動，滾動自旋的組合，例如，車輛的輪子通常作無滑動或者自旋的滾動。當它拐彎時就會引 起自旋。如果它因輪子被制動而滑行，它就作無滾動的滑動。1. 3在接觸點處傳遞的力通過接觸點由一個表面傳向另一個表面的合力可分解為沿公法線作用的法 向力p （通常必須是壓力）及在

17、切平面內由摩擦所維持的切向力q。q的數值必 須小于或在極限情況下，等于摩擦力，即(1.8)式屮“為極限摩擦系數。將q分解為平行于ox及oy軸的分量qx和qy。在純滑動接觸中，切向力在與滑動速度相反的方向上達到它的極限值。由此得(1.9)在名義接觸點上傳遞的力具有壓縮可變形固體的效果，因而他們造成在有限 大面積上接觸。于是除了傳遞力之外，通過接觸還可能傳遞合力矩。（圖1.2） 定義該力矩的的分量mx my為滾動力矩。它們提供了對滾動的阻力，通常稱為滾 動摩擦。在大多數實際問題中，它們小的可以忽略。第三個分量mz繞公法線作用。它是由接觸面內的摩擦引起的，稱為自旋力 矩。當旋轉伴隨著滾動時，由自旋力

18、矩所消耗的能量與由滾動力矩所消耗的能量 結合在一起形成了總的滾動阻力。此吋，定義自由滾動是恰當的。我們將用這一術語來描述沒有自旋，并且在接觸點處切向力q為0的滾動。如果忽略滾動阻力和軸承摩擦，這就是無動力及 無剎車的車輪的情況.與驅動或制動輪相反，驅動輪和制動輪在它們與道路或軌 道的接觸點處傳播相當大的切向力。1.4表面力剛才討論的力及力矩是通過交界面處的表面力在接觸面上傳遞的。法向力（壓力）用p表示，切向力（由摩擦力引起）用q表示。圖12給出了作用在下 部表面上的這些力的正向。盡管此吋關于接觸面s上的p和q的分布還不知道, 但由總體平衡有乞(1-11)對非協調接觸，接觸面近似位于x-y平面中

19、,忽略輕微的翹曲,于是有j" pyds9 jtfr j* pxds（尹一婦（1.13）當物體具有嚴密協調的曲面吋（例如深槽滾珠軸承），接觸面明顯地翹曲偏離切 平面，必須修正mx, my的表達式1. 12以便計入與剪力qxqy有關的項。處理這種 問題的例子在后面& 5中給出。為了說明本章提出的研究運動學和靜力學的辦法，我們將簡要考慮工程實際中的 兩個例子。15例漸開線正齒輪 圖1.3（a）表示一對漸開線正齒輪的嚙合情況。輪子繞中心cl, c2旋轉，八“門 線是產生漸開線輪廓的公切線，p是齒節點。輪齒接觸于。點，取該點為參考坐 標系的原點。(a)(叭圖13漸開域正齒輪輪酋的接觸兩

20、齒輪通過o點的公法線與ili2重合，取其為z軸。z軸位于切平面中， 并取在圖示的旋轉平面內。接觸點沿路徑1112以速度vo運動。兩齒輪上與o重合的點具有與徑向線 clo及c2o垂直的速度vl和v2.因為接觸的路徑是直的，所以參考標架并不旋轉。 齒輪以角速度-譏及w2旋轉圖13b表示了參考標架內的速度。由于接觸的連續性，應用式1.4得v icosa = v 2cos = fo3】(ci / 1 =昇 2)因此，滑動速度等于滾動角速度乘以節點離開齒節點的距離。從漸進弧到漸 遠弧，滑動的方向發生變化，在齒節點處產生純滾動。我們注意到，在嚙合周期中的某一給定瞬時，滾動及滑動運動可以用兩個半 徑為i l

21、o和i2o的圓盤來模擬，這兩個圓盤繞位于il及i2處的固定中心以角速 度-wl和+w2來旋轉。這是最早由merritt (1935)設計的，在簡單的實驗室實驗 中齒輪輪齒接觸條件的圓盤設計為基礎。因為漸開線輪齒在o處的曲率半徑與圓 盤的半徑相同，所以在給定接觸載荷下的接觸應力也由圓盤機械模擬。對和似性 的明顯偏離起因于以穩恒運動代替輪齒接觸的周期性質，這種穩恒運動僅體現了 嚙合周期中某一瞬吋的情況。= (5 + aj15)aw v2=v jsinctf2sinj9= c9j(97i)o2(oz2)=?“(尸人卜 op) g>i( p11oz1)av(oj 4- g>2)op例2向心

22、推力滾珠軸承圖1. 1給岀了通過向心推力滾珠軸承的一個軸向橫截面，展示了一個典型的 滾珠。內外座圈及隔離環分別以角速度繞軸承旋轉。為了使標準參考標架靜止, 我們從座圈速度中減去隔離環速度。于是3 = 02,如=0。 2（巧圖14向心推力滾珠輪承,表明滾蛛（3）與內座霸（1）在6處接觸，與并座感（2）花6處接觸雖然經常假定兩接觸點ol和o2位于滾珠直徑的相對頂端，但通常它們并不如此。在圖1.4中，有意將它們偏離直徑，因而兩個坐標系將不會共線。如 果滾珠在兩接觸點處無滑動的滾動，則滾珠的旋轉軸必須位于yz平面內。然而 它在此平面內的方向有待確定。在圖1. 4a中將它畫在一個任意方向上，與olyl

23、夾角，軸oiyi及ooyo與軸承軸在3點及b點相交，交角分別為h及bo 由于無滑動故類似地在0。點因此消去s后得出(1.17)如果接觸點是直徑方向的相對點，則按觸角6及與比相等，因而如匚譏。只有那樣，座圈速度之比(1.17)式才與滾珠旋轉軸的方 向無關。我們現在考察在0處的自旋運動。自旋角速度為仏0 u = 0和一=a)】sinai gsin 切(as)i = 5(一tgi )(1-18)從這個表達式我們看到如果滾珠的旋轉軸通過軸承軸上的a點，則在oi點 的自旋運動將為0.類似的，要使oo點沒有自旋，則滾珠的旋轉軸必須與軸承軸 相交于b點。為了使在兩個接觸點都沒有自旋，要么兩條切線與軸承軸平行

24、，要么將oi 及oo安排的使oiyi及ooyo與軸承軸相交于一個共同的點上，這后一情況可以 在錐形滾珠軸承中達到，但是在向心推力滾珠軸承中絕不會發生。現在我么考慮作用在1.4b所示滾珠上的力。假定軸承承受純粹的軸向載荷，因 而每一滾珠承受的載荷相同。每一個接觸點都傳遞法向力和切向力。滾珠與隔離 環z間的壓力及摩擦在兩點引入了 x方向的小的切向力，在本例屮將它們忽略。 滾動摩擦力矩也忽略，單自旋力矩在控制滾珠旋轉軸的方向中起了很重要的作 用。在高速旋轉時，滾珠受有相當大的離心力fc及回轉力矩mg 考慮滾珠的平衡，取繞oioo線的力矩得出a>jrcosi (1-17)仝£_ /?i

25、cosg>1/?°c0 昭（山）=5半民tg0i(1-18)（臥）尸化）。 （1.19）但是接觸點oi與oc的位置及滾珠軸的方向不能僅僅由靜力學確定。為了進一步 分析，必須知道切向力及自旋力矩如何與oioc點的滾動及自旋運動相聯系。這 個問題將在第八章考慮。第二章彈性半空間的線載荷2.1彈性半空間非協調彈性接觸物體必然在尺寸比未變形表面的曲率半徑小的面積上接觸， 接觸應力在接觸區域附近高度集中，其強度隨著離接觸點的距離而迅速減小，因 而實際所關心的區域位于接觸交界面附近。要物體本身的尺寸與接觸面的尺寸相比很大，則在此區域中的應力就不人依 賴于物體遠離接觸區的形狀，也不依賴于支撐

26、物體的相切方式。通過將每一個物 體看作是以表平面為界的半無限彈性固體即彈性半空間，就能非常近似的計算應 力。在彈性接觸的應力理論中兒乎普遍采用這種理想化模型。在此理想化模型中, 具有任意表面輪廓的物體在尺寸上被看作是半無限的，并具有一個平表面。這種 理想化使邊界條件簡化，并可利用關于彈性半空間所建立的大彈性體理論。所以在本章屮，我們將研究在一個窄帶上一維受載的彈性半空間屮的應力和 變形。在我們的參考標架中，邊界面是xy平面，z軸指向固體內部。受載荷的 窄帶與y軸平行，在x方向的寬度為a+b.它承受法向及切向力。這些力僅是x 的函數。我們將假定線載荷在半空間中產牛的平面應變狀態。為了使平面應變的

27、假設是正確的，固體的厚度與受載區的寬度相比很小。這 是一種非常不現實地情況。圖2. 1以橫截面表示了彈性半空間，表面力在區域的作用上作用于表面，而 表面的其余部分無力作用。需要求出整個固體中所有點的應力分量，以及任何點 離開其未變形位置的彈性位移分量ba19關于彈性方程的推導讀者可參看timoshenko及goodicr的彈性理論一書,為了方便起見，將它們歸納如下。在整個固體內，應力分量必須滿足平衡方程(2d)相應的應變及必須滿足協調條件其中，應變由卞式與位移相聯系duxdu.du , dux"芮'*嚴芮十芮在平面應變條件下e, = 06=v（6 + 6） 因此，聯系應力與應

28、變的hooke定律可以寫為(2.2)(2.3)(2.4)護6 譏1 + »）41-g(1如果按下式定義應力函數4（孫z）dxdz(2.6)那么，只要0（孫幻滿足雙調和方程畐+期孵"器卜0（2.7）則平衡方程（2,1）.協調方程（22）及hooke定律（2.5）都被滿足° 此外還必須滿足邊界條件對圖21所示笑半空間，這些條 件如下。在邊界£ = 0上，在受載區之外，表面上沒有應力。即&屬=亍” =0> x<zb 9x>a（2.8）在受載區內羅、，一斥*“（29）f =g（步）j和應的應變必須滿足協調條件此外還必須滿足邊界條件，對圖

29、2.1所示的半空間，這些條件如下。為了確定一個特殊的求解問題，四個量中的兩個必須在受載區中給定。在不 同的接觸問題中岀現了各式各樣的組合。例如，如果一個剛性沖頭被壓面與彈性半空間相接觸，則法向位移由沖頭的已知外形給定。如果交界面是無摩擦的，則 第二個邊界條件是剪力為0另一方面。如果表面在交界面處無滑動的粘附于 表 面作用所產生的話沖頭，則切向位移被給定，而qx有待確定。如果沖頭在半空 間的表面上以摩擦系數滑動，就產生了特殊的邊界條件，只有u是給定的，而第 二個邊界條件由下面的關系式提供在某些情況中，采用柱坐標是方便的，現在將概述一下關于應力分量應變分 量及徑向與周向位移的相應方程應力函數03,

30、0）必須滿足雙調和方程（2.10）式中（2.11）磊&劈）由下式將應變與位移相聯系（2.12）我們現在將進一步討論與彈性接觸應力理論有關的特殊問題的解。22法向集中力在此第一個問題中，我們研究沿y軸分布的，每單位長度為p的集中力，垂 肓于表面作用所產牛的應力。該載荷可以看作是由一個沿y軸被壓至與半空間接 觸的刀刃所產生的載荷。p圖2.2flamant(1892)首先解決了這個問題。在這里使用極坐標是方便的。解由下 面的應力函數給出0(八 atb sin 0(2.13)此應力系稱為指向作用點的簡單徑向分布，除了在原點外，法向應力趨近0, 并且剪應力等于0.在遠離力的作用點處，應力接近于0

31、.因而滿足所有的邊界條 件。我們注意到應力的強度按1/r減小，在o點處，理論上的無限大應力顯然是 由于假定載荷沿著一條線集中的結果，令作用在半徑為r的半圓上的應力豎育分 量等于所作用的力p，就可得到常數a,于是j cos ord = j 2 4 cosx0 d 0 an我們注意到，在過。點的直徑為d的原周上，將2. 15的徑向應力分布轉換 到直角坐標，就得到了相應的應力分量2pn (f十旳2(216c)(2.16 b)8 cos 9 =rr為了得岀固體在載荷作用下的變形，我們將式2. 14 2.15給岀的應力帶入胡克定律，便可得到應變。由應變可得到位移ur t 1 duh十 一 =j 25r

32、r d0卩(1十”)-e(2.17 a)(2.17e)(2.17c)從這三個式子，按照timoshenko和goodier對平面應力采用的方法我們得 到ur =(1 二卩2)-tce(1 一吧(1+“ nep0sin0(2,18 a)p.indlnr 十譏】；町 2fsim xe兀e_(1 二2門$+町 £尸0cos0tc jl+企空0竺psi胡+71 rjctsir)0中 cr如果固體不傾斜，因而在z軸上的點只有oz軸位移，那么c二0有込.*=斫“詩=一(12»)(1 十 v)尸2b(2.19 a)認嗎=一込丹”十 c (2.19 6)表面的變形形狀示于2. 2屮，由于應

33、力在o點的奇異性，可以預料在那點 的位移無限大，由于按對數變化，給取值帶來了一些困難，為了克服這一困難， 必須考慮物體的實際形狀與尺寸，以及它們的支承方式。該問題將在5. 6中討論 瓦歸魯=冠門歸一芻=一丄2fln(n)/r)23切向集中力y軸上每個單位長度的集中切向力q,在0點切向作用于表面，如圖2. 3所示， 它產生一個徑向應力場，該應力場類似于由法向力所引起的應力場，但旋轉了 90° ,如果我們從力的作用線起度量，則應力的表達式就與法向力作用時的表達 式相同即(2.20)(2.21 a)(2,21 b)(2.21 c)這些式子與宙法向力所引起的表面位移式相似，力前方的整個表面被

34、壓下了與q 成正比的一個數值，而q后方的表面上升了相同的數值，表面的切向位移也隨著 離開o點的距離按對數變化，對此位移所選的基準點決定常數c的值2.4法向集中力通常除了法向壓力之外，接觸表面還因摩擦而傳遞切向力。圖2. 4表示了在 窄帶上受到任意分布的法向壓力及切向力作用的彈性半空間，我們希望求出在固 體屮的任一點a引起的應力分量，及在固體表面上任一點c處的位移。bc (xr 0) "3在表面上b處，作用在寬度為ds的元面積上的力?？梢哉J為是垂直作用于 表面的，數值為pds的集中力，以及切向作用于表面的數值為qds的集中力。由 這些力引起的a點處的應力由式子給出，其中x-s代替x.在

35、受載區上積分后給 出由全部px及qx分布所產牛的a點的應力分量，于是6 _£j 十 （a；j32p跖j _b （ 一3尹十護尸（2.23 a）_2z c°p（8）ds2z?g（s）（h s）ds5 兀） b （a s）2 十/2 亓飛（r s）'+'（2.23 b）_2zzp（s）© 嘗）ds2z fa工sdsr”_tc j -j y（4t 5）s z22打 j-d x-s）2-z21如果是已知px和qx的分布，則即使封閉形式的積分可能很困難，應力也可以估 算。通過對式2. 19a以及2. 22b中的位移原點處的階躍變化，使得必須將2. 24 內波

36、形括號中項的積分范圍分割。如果我們決定確定表面的位移梯度，而不是絕 對值，則這些方程將呈現簡單的多的形式，并且也是對計算更有用的形式。這種 方法也去除了在常數clc2中所包含的關于位移基準點的不確定性，在波形括號 屮的項可以對積分限x求導，其它積分可以在積分號內求導給出3帖(1_2呼七)決(巧昵=2(1護 dx ite止1“ +(1_2 叮(1+±1(巧x 6(2.25b)梯度為表面上的切向應變分量，梯度為變形表面的實際斜率。廳工=了加=一魚龍)(2.26)因而在任意的表面壓力分布下，表面處的切向及法向正應力應該是壓應力并 口相等。這種狀況限制了表面層在法向接觸壓力的作用下塑性屈服的

37、趨勢。2. 5均勻分布力(a)法向壓力當窄帶上壓力均勻，并且沒有剪應力時，就得到分布力的最簡單例子。在式2. 23 中，可將常壓力p拿出積分號之外，并且q處處為0.進行積分并用圖2. 5的記 號，我們得到a =呂2( 0】一0?) (sin20> sin2i)p(cos20】一cos20*)(2.27 a)(2.27 b)(2,27 c)6 =52(01 i) + (sin2&i sin2&ft一務(a -sin a)(2.29)主剪應力的值為n=vsina(b)以這種形式表示后顯然可見，常主應力及常切應力的等值線是一族經過 olo2的圓，如圖所示，并由圖4. 6b的光彈

38、條紋證明。沿著半圓，主剪應力達到 均勻的最大值。主應力跡線是一族焦點為clc2的共焦橢圓及共焦雙曲線，如圖 27b所示。最后注意到，當rl及r2變的與3相比很大時，我們剛才討論的應 力系數就接近于由在o點處的集中法向力引起的應力。為了確定表面上的位移，我們用式2.25.對于位于受載區之內的點，假定原 點不橫向移動，于是(1epx(2.30 a)現在2(1-y2) ca d& ne j x s該積分需要說明：被積函數在x處具有奇異性并改變符號。積分必須在這兩 部分上進行。所得的結果稱為積分的柯西主值。即5 心二仁"d合 d s -a x 8 j x s j 8x二ln(”一 l

39、n(8 = ln(a + «) ln(a此式與2. 30b相同。式2. 30b和2. 30d中的常數相等，并由此對法向位移所選的基準點來確定。假如x二+-c時u二0,則法向位移示于圖2. 8中。(b)切向力由作用在窄帶上的均勻分布切向力引起的應力及表面位移可以用同樣的方 式得到。由2. 23令px二0,我們得到nrx/t2) - (cos 2- cos 2 oz)<2.31 a)crz j(cos 2 0】一cos 2 0?)(2.312 /rrr>= 2« 仇02)+ (sin 2 01 sin 2 gj (2.3】<*) a jie屮+ 分“。觀察關于

40、一般表面位移形式的2.24發現，在現在的問題中，表面位移可以 直接從2. 30給出的位移得到，2. 30是由均勻法向壓力引起的位移。用下標分別 表示由法向及切向力的類似分布所引起的位移。我們看到，只要在每一種情況中 以相同的點為基準點，則有(瓦)廠(耳片(2.32a)(兀人二一(斫人(2.32 b)式給出了由均勻分布法向力及切向力引起的彈性半空間屮的應力分布將集 中法向或者切向力所引起的應力分量相加就得到這些應力分布。另一種辦法是通 過將適量的應力函數導岀應力。雖然用這種計算方法比較簡單，但是除了經驗和 直覺之外，還沒有一種得到適當應力函數的直接方法。在這個時候，考察p及q在均勻載區邊緣處的不

41、連續對那些點處的應力以及 位移的影響都是有益的，首先考慮法向載荷的情況。從式2. 27中可以看到，應 力是處處存在的。但有一個跳躍，從區域之外的0跳到區域之內的p。也有一個 跳躍，從表面的0跳到表面下的票p/tio由式2. 30b給出的表面位移也是處處 有限的，但表面斜率在兩點理論上變成無限大。在切向受載區的邊緣處，q的不 連續性明顯不同的結果。在2.31a屮，對數項導致了無限大的值，如圖所示，給 出的表面法向位移是連續的。但斜率不連續。在受振蕩摩擦力的作用的表面的疲 勞破壞中，奇異性所包含的應力集中無疑起了作用。圖2.92. 6三角形分布力我們考慮另一個分布載荷的實例。如圖所示，法向及切向從

42、表面處的0均勻 增加到0處的最大值即護(巧二夕-|腐|)十(2.33)0 2.10(2.34)這些三角形分布力為5. 9所描述的二維接觸應力分析的數值方法提供了基礎。 當把這些表達式帶入到2. 23時，積分是直接的，因而可以求得固體中任意點a 處的應力，由法向壓力引起的應力cr.u-(龍一+ (事 + 町弘一2xln(rirt/r，)(2.35 a)<rg=-*(ra)9x + (x + a)0t2 名0(2.35 6)rri =(爲十 0, 2 0)(235 c由切向力引起的應力為na"一験zb（2.36 b）（右一a）久+ （ + a冷一2 xd+2 sin （rjr/r2

43、）（236 c）表面位移可以從2. 25中求得。僅由法向壓力p作用，在受載區之內的點上有在受載區z外的點上整個表面的法向位移由2, 37c給岀在受載區之外的點上詢=干$二2誓1 +卩）譬對繪0整個表面的法向位移由下式給出du9 （1-v1） dx jze朝心）牛（十）叭半）+ （ar_a）21d（”虧a ） 2 01n（/aq+c（2.37c）與剪應力的三角形分布類似，并根據2. 32所表示出的類比性得出。 考察2. 35和2. 36中的應力分布我們看到，應力分量都是有限并ii連續的。變 形表面的斜率也是處處有限的。這種情況與上一節討論的不同，在那里，拉壓力 在受載區邊緣上不連續。2. 7在受

44、載區域上給定的位移迄今為止我們討論了在受載區域上受給定的分布表面力作用的彈性半空間 內的應力和變形。因為在受載區之外表面力為0,因此在這些情況中的邊界條件 相當于給定力在半空間全部邊界上的分布。然而在大多數接觸問題中，位移或者 位移與表面力的組合在接觸區內是給定的，而在接觸區之外表面力明確的為0. 在這一節中，我們將把注意力轉向這些混合邊值問題。將我們必須處理的邊界條件的不同組合進行分類是有益的，在所有情況中， 都認為半空間的表面在受載區之外是不受力的。并且在固體內部，在遠離受載中心的r處，應力應該按照1/r減小，在接觸區內有四類邊界條件。第一類：力都是給定的。這些是前一節中討論過的條件。應力

45、及表面位移可 以分別計算。第二類：給定法向位移及切向力，或者給定切向位移及法向壓力 這類問題中的第一種情況非常普遍的出現在無摩擦的表面接觸中，其中q處處為 0,位移由兩個接觸表面變形之前的輪廓給定。第二種情況出現于，在全部或者 部分接觸面上無滑動，且法向力己知，須求表面間的摩擦力第三類：給定法向及切向位移。當外形已知的表面作無交界面間的滑動的接 觸時，就出現這些邊界條件。須求法向力及切向力的分布第四類：給定法向位移，而力有關系式，其中u是摩擦系數，這類邊界條件 顯然出現于滑動接觸的固體，由他們的已知外形給定。應該注意到，在受載區不同的部分上的邊界條件可以屬于不同的類型。例如, 兩接觸物體可以在

46、交界面上某一部分上滑動，第四類邊界條件對此適用，而在交 界面的其余部分上無滑動，在那里，邊界條件是第三類的。為了用公式表示在區間上給定位移的彈性半空間的二維問題，我們采用 2. 25在位移已知的情況下，2. 38是對未知力的調和積分方程。在積分限內，有 一個奇異點，因而稱他們為奇異積分方程。顯著地推進了它們在彈性理論中的應 用。這一學科分支的進展超岀了本書的范圍。我們將只引用直接有關的結果。 當邊界條件是第二類時，每一方程都取下面的形式(2.39)式中gx是已知函數，它由已知力分量及已知位移梯度分量的組合形成。fx 是未知的力分量。這是第一類奇異積分方程，它提供了求解本書討論的大多數的 二維彈

47、性接觸問題的基礎。其一般解的形式為厭）問：.儀皿護匹兀*(了 + b)(a h)w(2-40)fa)dslimit（2.43）（2.44） 2.11磯9）二不（0） 阪：（*）=（饑 + l）bx*匚啓"=諾務 o.+ i）b”"（2.45）人罰"佇導晉8（2在本例屮我們假定，沖頭上的載荷足以通過整個沖頭面上的正值壓力而維持接 觸。如果n是奇數，則沖頭的外形及由式2. 48給出的壓力分布對于中心線是對 稱的，并且壓力載荷的作用線將偏心，結果產生一個力矩（2.49）最后，從2. 48的壓力表達式能很明顯的看岀，通常壓力在沖頭邊緣處上升至理 論上的無限大值。現在我們考慮第三及第四類邊界條件。當邊界位移的兩個分量 都給定吋，通過將所求的表面力表示為單個的復函數fx)px) + i?(x)(2.50)能將積分方程2. 38組合起來,于是將2. 38a 2. 38b相加，我們得到(l-2v)(l + 0 億3-矚)e(2<51)3“(1一2»)(1 + »)(2.52)f(x) + ¥j：22&g