1、湖北大學本科畢業論文（設計）目 錄緒論.11 分數階微分的基本理論.11.1 分數階微積分.21.2 分數階微積分的定義.31.3 分數階微積分的性質.51.4 各種定義之間的聯系與區別.61.5 一些初等函數的分數階微積分.81.6 分數階微積分的物理意義.101.7 分數階微積分在自然中的存在.112 分數階微積分的應用.122.1 醫學圖像處理.122.2 天氣和氣候的研究.132.3 地震奇異性分析.14參考文獻.15致謝.16分數階微積分及其應用摘 要分數階微積分作為整數階微積分的推廣，其概念早已提出，近300年來，分數階微積分這一重要數學分支漸成體系，它是研究分形分析的重要工具被應

2、用于許多工程計算中。本文給出了分數階微積分的一些性質及其推導過程，并給出一些初等函數的分數階微積分,及其應用。【關鍵詞】分數階微積分 分數階微分 分數階積分 圖像增強 模板 應用Fractional calculus and its applicationsAbstractFractional Calculus as extention of integral calculus, its concept has long been proposed, for nearly 300 years, fractional calculus of this important branch of ma

3、thematics that had gradually become the system , it is the study of fractal analysis tools are used in many engineering calculations .in his paper, some properties of the fractional calculus and the derivation process of the fractional calculus are given, Besides some elementary functions of fractio

4、nal calculus and its applications.【Key Words】Fractional Calculus Fractional derivatives Fractional integrals image enhancement applications1湖北大學本科畢業論文（設計）緒論分數階微積分是微積分的一個分支，它對函數進行分數階微分積分，如對函數求1/2階導數。分數階微積分(Fractional Calculus)是相對傳統意義上的整數階微積分提出來的。普通的微積分運算，如一階微分、二階微分、一階積分、高階積分等都是在積分運算次數為整數情況下的微積分運算，而分數

5、階微分，顧名思義，就是將通常意義下的整數階微積分運算推廣到運算階次為分數的情況。例如：對xn求1/2階導數; 分數階微積分就可以看作是整數階微積分運算的推廣。值得注意的是，其實將上述這種非整數階的微積分稱之為“分數階微積分”或“分數階演算”是一種不嚴格的命名，其中的“分數”是一個不準確的歸類。因為指數v可以被推廣到有理分數、無理數甚至復數，所以從嚴格數學意義上講，它應該被稱為“非整數階微積分”或“非整數階演算”。但是由于歷史的原因，“分數階微積分”或“分數階演算”的命名己經成為習慣用法。分數階微積分的概念雖然早就提出來了，但是由于對分數階微分方程的求解缺乏相應的數學工具，所以它在工程中的應用一

6、直到上世紀后期才有研究。實際系統中有許多是分數階的而不是整數階的，之所以將它們作為整數階系統來考慮是由于其復雜性。然而隨著分數階微積分理論的發展，對于分數階微積分在實際系統中的應用開始了研究。分數階微積分是一個古老而新鮮的概念。早在整數階微積分創立的初期，就有一些數學家，如Lhospital、Leibniz等開始考慮它的含義。然而，由于缺乏應用背景支撐等多方面的原因，它長期以來并沒有得到較多的關注和研究。隨著自然科學和社會科學的發展、復雜工程應用需求的增加，尤其是20世紀七八十年代以來對分形和各種復雜系統的深入研究，分數階微積分理論及其應用開始受到廣泛關注。進入21世紀以來，分數階微積分建模方

7、法和理論在高能物理、反常擴散、復雜粘彈性材料力學本構關系、系統控制、流變性、地球物理、生物醫學工程、經濟學等諸多領域有了若干非常成功的應用，凸顯了其獨特優勢和不可代替性，其理論和應用研究在國際上已成為一個熱點。近年來分數階微積分被廣泛的應用于反常擴散、信號處理與控制、流體力學、圖像處理、軟物質研究、地震分析、粘彈性阻尼器、電力分形網絡、分數階正弦振蕩器、分形理論、分數階PID控制器設計。但是由于分數階微積分具有歷史依賴性與全域相關性，增加了分數階導數方程的數值計算復雜性。特別是在信息科學領域中，一些新穎的應用被相繼地實現，如系統建模、曲線擬合、信號濾波、模式識別、圖像邊界提取、系統辨識、系統穩

8、定性分析等等。 分數階微積分的非局域性質，導致分數階導數控制方程數值模擬的計算量和存儲量隨問題規模的增大而增加得比相應整數階方程快得多，一些計算整數階方程十分有效的數值方法對分數階方程也完全失效。而且，目前大多數的分數階微積分方程模型還是唯象模型，其內在的物理和力學機理還不是很清楚，有待進一步的深入研究。同時一些學者提出的短期記憶方法只對很少一些情況有效，并不具有普適性。因而長時間歷程問題的解決任重道遠。在原有算法基礎上開發出時間空間混合的分數階導數方程的算法和軟件。一種數學工具要在工程中有廣泛的應用，那么就必須有成熟的算法與軟件，像有限元的計算模擬軟件就有很多，所以有限元才能在工程界有如此廣

9、泛的應用。分數階導數的定義還不完善，現在分數階導數的定義有多種，至今還沒有一個完善到大多數學者能夠接受的定義。1 分數階微分的基本理論1.1 分數階微分目前通常使用的分數階微積分記法是： 如果對于自變量為 x的函數 y = f ( x)，自變量取值范圍為( a , b )區間，在該區間上，對函數 f ( x )的v階分數階微積分記為：其中微積分階次v是分數，若 v > 0,v R則稱為分數階微分。如果v< 0, 則稱為分數階積分。對于連續函數,依據整數階導數的定義，它的一階導數定義為： （1.1）依據相同的定義，可以推出二階導數的定義式： （1.2）根據（1.1）和（1.2）我們得

10、知：更一般的，n階導數的一般定義可以記為：，其中為二項式系數，現在，讓我們考慮一般化分數階在表達式中的情況：公式中：p,n是兩個任意的整數。顯然對于pn,我們有 ，因為在這種情況下，開始的分子中所有的系數在p之后都等于零。讓我們考慮p為負值的情況。為方便起見，我們定義為：因此我們有如果用-p代替p可以寫作：，其中p是一個正整數。如果n是一個固定的數，那么當h0時，的極限趨近于零。當時，為了渠到一個非零的極限，我們必須假設n，我們可以令h=(t-a)/n，其中a是一個實常數，并且考慮到的極限可能為無限或有限值，我們可以表示為：我們可以推導出一般的表達式為：=1.2分數階微積分的定義當分數階微積分

11、階次v取自然數n時(n Z)，即v = n時，表示為通常意義下的整數階微分；v = n時表示整數階積分。由此可見，分數階微積分是整數階微積分的推廣，整數階微積分可以看成是分數階微積分的特例。在分數階微積分理論發展過程中，出現了很多種函數的分數階微積分的定義，如由整數階微積分直接擴展而來的 Cauchy 積分公式，Grünwald-Letnikov分數階微積分定義、Riemann-Liouville 分數階微積分定義以及 Caputo 定義等。關于分數階導數的定義，許多數學家各自從不同角度入手，給分數階導數分別以不同的定義。其定義的合理性與科學性已在實踐中得以檢驗。這個數學分支的發展已

12、在實際問題中，得到了廣泛的應用。本文這部分重點將分析各種不同的定義，也說明各種定義之間的區別與聯系。1.2.1 Cauchy 積分公式該公式由整數積分直接擴展而來其中為包含 單值和解析開區域的光滑曲線， (+ 1)為 Gamma 函數，它也是第二類歐拉積分，在分數階微積分的運算中有著非常重要的作用。完全的函數是以Euler極限的形式給出，如下面所示：常用的函數的形式是積分變換形式： 1.2.2 Grunwald-Letnikov 分數階微積分定義 =1.2.3 Riemann-Liouville 分數階微積分定義=0 << 1，且為初值，特別地，D左右側的下標分別表示積分的下、上界

13、限。還可以定義出分數階微分，假設分數階 n 1< n，則定義其分數階微分為1.2.4 Caputo 分數階微分定義其中，m 為整數，0 < v< 1。類似地，Caputo 分數階積分定義為，<0對很廣一類實際函數來說，Grunwald-Letnikov 分數階微積分定義及 Riemann-Liouville 分數階微積分定義是完全等效的，1.3 分數階微積分的性質對上述所有分數階微積分的定義形式，都有如下幾條共同性質:(1) 解析函數的分數階導數對和都是解析的。(2) =為整數時，分數階微分與整數階微分與整數階微分的值完全一樣，且 =。(3) ，1為整數時，=0 .(4

14、) 分數階微積分算子是線性的，亦即對任意常數 x,y，有 . （5） 分數階微積分算子滿足交換律 .（6） 當N>0且N為整數，為分數時 . （7），且，則 .證明：（2）當=為整數時，明顯可得分數階微分與整數階微分與整數階微分的值完全一樣；相當于整數階微積分，也就相當于沒有做運算，所以依然等于，（也可根據定義式帶入求解）.（3） ， . （4）由的微分算子是線性的，即有= = . （5）由定義易得知. （6）令且為大于的最小整數則 ，即證. （7） .1.4 各種定義之間的聯系與區別從最初提出分數階微積分的概念開始，許多數學家從不同的分析角度入手，結合實際問題的應用，分別給出了分數階微

15、積分的不同定義，這就是目前對于分數階微積分存在多個運算定義的原因。在這眾多的定義之間，存在著一定的區別和聯系，或者在某些條件下它們之間可以進行相互轉換。目前最為常用的分數階微積分定義應當是 Riemann-Liouville 分數階微積分定義。用Grunwald-Letnikov分數階導數定義分數階向后分差2是不方便的。計算得到的表達式中因為有整數的原因，所以表面上看是比較好一些；單對于非整數的情況顯然不適合計算。因為其表達式中所要求的函數必須是m次以上連續可微，其所能表達的分數階導數的定義也包含在Riemann-Liouville 分數階微積分定時的使用情況之中。因此， 因此，如果我們考慮函

16、數，當t>0時，才在m+1階可微且連續，那么Grunwald-Letnikov分數階導數定義：又因為 =由 ，可得 =由上式可知，對于整數階微積分運算，即微積分階次v = n Z時，Riemann-Liouville(R-L) 定義與 Grünwald-Letnikov(G-L) 定義計算所得到的結果一致。對于運算階次為分數階 v ( n 1 < v < n)時，在假設函數 f ( x )滿足具有 m+ 1階連續導數，并且m 至少取 m = n 1的條件下，Grünwald-Letnikov 定義與 Riemann-Liouville 定義等價。但他們在相

17、當廣的一類函數中還是相等的，Riemann-Liouville 分數階微積分定義是Grunwald-Letnikov分數階微積分定義的推廣而Caputo 分數階微分定義：=（），式子中n為大于a的最小正整數：為函數的階導數。將其與Riemann-Liouville分數階定義相比，Caputo定義將函數的整數階導數的運算轉移到了積分內部，改為對的求導，運用分部積分公式，可以轉變為如下形式： 其式子的右端第一項為整數階導數的初始條件，這在某一方面就增加了定義式的適用性。因此它在物理學的流體學和力學中對于問題的求解相比其他定義而言比較方便。當時，及分數階導數靠近整數階導數： （n為自然數）比較Cap

18、uto定義式子與Riemann-Liouville定義式，兩式的區別在于對微分與積分順序的不同，前面是積分在內而后面則是積分在外。從對函數的要求來看，Caputo定義式的更嚴格，它需要函數n階可微。與Grunwald-Letnikov定義擴展到Riemann-Liouville定義的思維方式相似，Caputo定義也是對Grunwald-Letnikov定義的另一種改進。對于函數的正的非整數階導數，先進行階導數，再進行階積分。前者對常數的求導是有界的(為 0)，而后者求導是無界的，Caputo 定義更適用于分數階微分方程初值問題的描述。Caputo定義式最主要的優點是分數階微分方程的初始條件，對

19、Caputo定義采取了與整數階微分方程一樣的形式，加強了在端點值時的限制。1.5 一些初等函數的分數階微積分（i）常數C 的分數階微積分： (ii) 指數函數ex的分數階微積分:(iii) (A)正弦函數的分數階微積分: (B)余弦函數的分數階微積分:明顯，當上面幾個式子中的p為整數時，其積分結果可驗證與整數階微積分結果相同，只是積分的下界不一致。表1-5-1是一些函數半階導數和半階積分半階積分函數半階微分表 1-5-11.6 分數階微積分的物理意義對于整數階微積分理論而言，有著明確的物理意義與幾何意義解釋，然而對于分數階微積分，目前仍然沒能找到一種明確的物理與幾何解釋。分數階微積分缺少物理與

20、幾何意義的解釋這個問題從一開始就被人們所注意，直到 1974 年在美國 New Haven 召開的第一屆分數階微積分國際會議上再次被人們提出，隨后的多次國際會議也被提出進行討論，仍然沒能得到滿意的結果。許多科學家分別從不同的角度，對該問題進行了深入探討研究，取得了眾多的研究結果，對于分數階微積分的物理與幾何意義做出了部分解釋。但是多數解釋是從一些分數階微積分特例中得到，普適性不強，并不能很好地完全解釋分數階微積分的物理意義與幾何意義。該問題仍然是一個亟待解決的富有挑戰性的問題。以下將介紹一種關于分數階微積分物理意義與幾何意義解釋，該觀點是Igor Podlubny 教授在 2001 年提出的。

21、其解釋是基于多種分數階微積分定義所做出，其中也包括了 Riemann-Liouville 分數階微積分的定義，這里對該觀點進行簡單闡述。首先介紹兩個不同的時間的概念：個人時間 和宇宙時間T 。宇宙時間是均勻的、等間隔的流逝的時間，也叫做絕對時間，記為T ，個人時間 是非均勻的時間。兩種時間表示可以如圖 所示： （i） 絕對時間T （ii）個人時間上圖為兩種時間示意圖，圖（i）為絕對時間，其每個時間間隔都是均勻的，等間隔流失的。圖（ii）為個人時間，明顯可看出每個時間間隔是非均勻的。可以這樣理解，如果有某個觀測者甲對一運動物體進行觀測，他使用時鐘進行記時，但是這個時鐘由于某種故障而越走越慢，每個

22、時間間隔都比上一個時間間隔要長，那么觀測者 甲擁有一個自己并不知道的錯誤的計時時間 。另一個觀測者乙同樣對該運動的物體進行觀測，但是他的時間是宇宙時間T ，每個時間間隔都是均勻的。兩個時間的轉換關系為。設觀測者 甲(擁有個人時間)對運動物體測出的速度為 ，那么他將測出該運動物體運行的距離為：那么，對于同一個運動物體，觀測者乙(擁有宇宙時間T )測出的該物體運動的距離為：實際上，該運動物體運動的距離應該是觀測者B 測量出來的距離，即另外，考慮分數階微積分的 Riemann-Liouville 分數階積分定義： （1.6.1）如果將式中的函數 看作物體運動的速度，絕對時間T 與個人時間滿足關系 T

23、 = 如式（1.6.1）所示中的函數看作物體運動的速度，絕對時間T 與個人時間 滿足關系如式(1.6.1)所示。則 Riemann-Liouville 定義下的分數階積分運算其物理意義就是：在個人時間測度上，所觀測的運動物體以速度 實際走過的距離 ，記為：類似地對分數階微分運算分析其物理意義，同樣使用 Riemann-Liouville 分數階微分定義。根據物體的運動速度是該物體移動距離的一階導數關系，可得：也就是說，觀測者乙測量到物體的速度就是函數的階Riemann-Liouville 微分。這就是 Riemann-Liouville 定義下的分數階微分運算的物理解釋。1.7 分數階微積分在

24、自然中的存在分數階微積分現象在自然界中是存在的，比如生物的神經電脈沖信號等。能否找到自然界中的某種物質或材料，或者通過實際的電子電路實現分數階微積分，一直是眾多科研工作者研究的問題。能否在自然界中找到一種材料或器件，它的某種電氣或物理特性與分數階微積分特性相同，這樣就可以利用該物質的這一特性進行分數階微積分的有效運算，從而避免了較為繁瑣的模擬或數字電路實現。另一方面，如果該材料存在，那么也能證明分數階微積分確實蘊含在自然界中，人們有必要對分數階微積分的獨特特性進行深入研究和認識。如果自然界中確實存在著具有分數階微積分特性的材料，那么同時也肯定了分數階微積分的存在，其性質不同于通常的整數階微積分

25、特性，如果此時仍使用整數階微積分特性進行分析，是達不到預期效果的。2 分數階微分的應用分數階導數在很多領域都有應用，下面拿與生活聯系比較緊密的氣候研究、醫學圖像處理、地震分析為例進行進一步地闡述與說明。2.1 醫學圖像處理醫學圖像一般是指為了清楚地看到病人內部的局部器官病變情況而通過一定的設備儀器得到的圖片，例如CT、B超等圖片。由于設備，技術等方面的原因，得到的醫學圖像有可能模糊不清。圖像的不清晰對臨床診斷帶來很大的麻煩。所以要考慮怎樣處理，可以得到更清晰的醫學圖像。由于分數階微分的階數是可以連續變化的，因此在圖像處理的過程中可以通過調節微分算子的階數，在適當增加高頻信息的同時又保留一定的低

26、頻信息以達到圖像增強的目的，這是整數階微分算子不能實現的。圖像增強的方法分為兩大類：空域增強法和頻域增強法。空域增強法是對圖像的像素直接進行處理。頻域增強法主要是將圖像在頻域里進行圖像平滑和銳化濾波等，然后進行反變換以達到圖像增強的方法。目前圖像增強的算法主要有：直方圖均衡化，直方圖規定化，直方圖映射變換灰度變換，鄰域平均法，低通濾波法，多圖像平均法，高通濾波法，微分銳化法和同態圖像增強法。文中用的圖像增強的方法屬于空域中的微分增強法。從前面知道分數階導數的G-L定義如式(1)。將一元函數的持續期按等間隔等分，由此可以推導出一元函數分數階微分的差分表達式：+將一元的分數階微積分的表達式推到二元

27、函數，令二元函數的分數階微積分的表達式在x方向和y方向的形式如下：如此，由此式，可以得到作用到二維圖像上的分數階微積分在x,y方向的模板。為了可以簡化運算，使得掩模操作更加方便，可以將x,y方向的模板疊加在一起，并且從模板中可看出，x,y的作用中心點并不一致，可以將作用點選作為模板中心，然后又考慮到傾斜方向上其他因素的影響，可以加上適當的系數，得到了新的微分模板。同此也可以得到分數階積分的模板，顯然a的值便變為負數。為了使處理之后的每個像素的灰度值不變化，一邊保持原本圖像的大概包絡，將模板中的每個系數都除以4+2-6a。用模板對已有的圖像進行濾波處理，令m(p,q)為模板中方位為（p，q）的元

28、素，f（x,y）是模板作用于圖像的中心像素，f（x+p,y+q）是離中心f（x,y）距離（p，q）的點，將得到模板的映射規則：移動模板，使其可以作用到圖片中的每一個元素，到達曾強圖像的目的。當元素距離圖片邊緣小于兩個點位的距離時，模板不能完全的覆蓋到圖片上，此時將其忽略，可以不進行運算。采用的微分階數都是正數，圖像的細節和邊緣就變得更明顯，原圖比較模糊的地方得到了明顯的改善，但是在當階數大到一定程度時就會出現明顯的銳化現象，圖像質反而降低。由此可以看出，文中設計的微分增強掩模在階數0.20.6時，增強效果比較明顯。當微分階數為負數的時候，設計的掩模就可以看成是積分掩模，其對圖像具有平滑去噪的效

29、果，當獲得的圖像具有一定噪聲的時候，就可以通過對負階數的選取，從而得到去噪后的圖像。下面分別運用空間濾波的分數階微分算子(階數=05)、巴特沃斯算子、拉普拉斯算子對人腦的CT圖像進行增強，結果如圖3所示。從圖中的比較可以看出，經過拉普拉斯算子處理過的圖像出現了明顯的銳化現象，經過巴特沃斯濾波后圖像增強效果并不理想，而通過設計的掩模對圖像處理后明顯對細節進行了加強，同時，可以根據不同需求，調節分數階微分階數以得到符合醫學上面需要的圖片。分數階微分掩模有很好的圖像增強功能，同時可以通過改變微分的階數，來適當增強高頻信息的同時保留一定的低頻信息以滿足不同的要求，需要注意的是，當微分階數過大時將會出現

30、明顯的銳化現象。與其它空間濾波算子的效果比較，可以看出，分數階微分算子彌補了傳統圖像增強算子不能通過改變參數來得到連續變化的增強效果。當微分階數為負數時，分數階微分算子就成了分數階積分算子，也可以通過調節積分階數，以得到平滑效果不同的平滑圖像，因此，該算子可以將分數階微分和積分進行統一，在結構簡單的同時也具有很強的靈活性。同時作為一個新興的圖像處理方法，分數階微積分還具有更大的發展空間。2.2 天氣和氣候的研究我們都知道沒有一天天氣是一樣的，而氣候的預測也不可能提到日程上來研究。這說明天氣和氣候的研究是比較困難的。天氣和氣候雖然遵從流體力學規律，但是卻顯示出隨機性，研究天氣和氣候之間的關系必須引入分數階的導數和積分，從物理上講不外乎說明天氣和氣候的隨機程度是不相同的。為此提出氣候的q(0 q1） 階微商是天氣。此時引入天氣和氣候之間的橋梁分數階導數，這為天氣與氣候的研究帶來很大的方便。現在從分數階微分基本定義出發，可以作用于二維醫學圖像的分數階微分掩模，掩?？梢愿鶕D像的需求進行增強。通過實驗證明，這個方法可以有效完成對醫學圖像的處理,并且彌補了傳統方法不能連續改變處理效果的缺點，是一種簡單可行并且效果較好的圖像增強方法。2.3地震奇異性分析我們知道傳統的地震解釋主要是觀測地震資料的振幅及相位的變