1、專(zhuān)題25 正方形問(wèn)題1正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2正方形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸；（5）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等。3正方形的判定判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：一是先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰

2、邊相等的矩形是正方形。二是先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角。即有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。4正方形的面積：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)為b ，s=【例題1】（2020臺(tái)州）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每塊大正方形地磚面積為a，小正方形地磚面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形abcd則正方形abcd的面積為 （用含a，b的代數(shù)式表示）【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019·廣西賀州）如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)e是cd的中點(diǎn)，af平分bae交bc于點(diǎn)f，將ade繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得abg，則cf的長(zhǎng)為 【例題2】（2020青島）如圖，在

3、正方形abcd中，對(duì)角線ac與bd交于點(diǎn)o，點(diǎn)e在cd的延長(zhǎng)線上，連接ae，點(diǎn)f是ae的中點(diǎn)，連接of交ad于點(diǎn)g若de2，of3，則點(diǎn)a到df的距離為 【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形abcd中，ab1，點(diǎn)e，f分別在邊bc和cd上，aeaf，eaf60°，則cf的長(zhǎng)是（）abc1d【例題3】（2020湘西州）如圖，在正方形abcd的外側(cè)，作等邊三角形ade，連接be，ce（1）求證：baecde；（2）求aeb的度數(shù)【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019湖南株洲）如圖所示，已知正方形oefg的頂點(diǎn)o為正方形abcd對(duì)角線ac、bd的交點(diǎn)，連接ce、dg（1）求證：dogcoe；（

4、2）若dgbd，正方形abcd的邊長(zhǎng)為2，線段ad與線段og相交于點(diǎn)m，am，求正方形oefg的邊長(zhǎng)一、選擇題1（2020河南）如圖，在abc中，acb90°，邊bc在x軸上，頂點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為（2，6）和（7，0）將正方形ocde沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)e落在ab邊上時(shí)，點(diǎn)d的坐標(biāo)為（）a（32，2）b（2，2）c（114，2）d（4，2）2（2020湖州）七巧板是我國(guó)祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，流行于世界各地由邊長(zhǎng)為2的正方形可以制作一副中國(guó)七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平行四邊形或矩形，則這兩個(gè)圖形中，中國(guó)七巧板和日本七巧板能拼成的個(gè)數(shù)分別是（）a1

5、和1b1和2c2和1d2和23（2020溫州）如圖，在rtabc中，acb90°，以其三邊為邊向外作正方形，過(guò)點(diǎn)c作crfg于點(diǎn)r，再過(guò)點(diǎn)c作pqcr分別交邊de，bh于點(diǎn)p，q若qh2pe，pq15，則cr的長(zhǎng)為（）a14b15c83d654（2020南京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)p在第一象限，p與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過(guò)矩形aobc的頂點(diǎn)c，與bc相交于點(diǎn)d若p的半徑為5，點(diǎn)a的坐標(biāo)是（0，8）則點(diǎn)d的坐標(biāo)是（）a（9，2）b（9，3）c（10，2）d（10，3）5.（2020天津）如圖，四邊形obcd是正方形，o，d兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，0），（0，6），點(diǎn)c在第一象限，則

6、點(diǎn)c的坐標(biāo)是（）a（6，3）b（3，6）c（0，6）d（6，6）二、填空題6（2020連云港）如圖，將5個(gè)大小相同的正方形置于平面直角坐標(biāo)系中，若頂點(diǎn)m、n的坐標(biāo)分別為（3，9）、（12，9），則頂點(diǎn)a的坐標(biāo)為 7（2020紹興）如圖1，直角三角形紙片的一條直角邊長(zhǎng)為2，剪四塊這樣的直角三角形紙片，把它們按圖2放入一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形中（紙片在結(jié)合部分不重疊無(wú)縫隙），則圖2中陰影部分面積為 8（2020天水）如圖，將正方形oefg放在平面直角坐標(biāo)系中，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)e的坐標(biāo)為（2，3），則點(diǎn)f的坐標(biāo)為 9（2020德州）如圖，在矩形abcd中，ab=3+2，ad=3把a(bǔ)d沿ae折疊，使點(diǎn)d恰

7、好落在ab邊上的d處，再將aed繞點(diǎn)e順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到a'ed，使得ea恰好經(jīng)過(guò)bd的中點(diǎn)fad交ab于點(diǎn)g，連接aa有如下結(jié)論：af的長(zhǎng)度是6-2；弧d'd的長(zhǎng)度是5312；aafaeg；aafegf上述結(jié)論中，所有正確的序號(hào)是 10（2020攀枝花）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形abcd中，點(diǎn)e、f分別是bc、cd的中點(diǎn)，de、af交于點(diǎn)g，af的中點(diǎn)為h，連接bg、dh給出下列結(jié)論：afde；dg=85；hdbg；abgdhf其中正確的結(jié)論有 （請(qǐng)?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號(hào)）11（2020咸寧）如圖，四邊形abcd是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)e是邊bc上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)b，c重合），aef

8、90°，且ef交正方形外角的平分線cf于點(diǎn)f，交cd于點(diǎn)g，連接af，有下列結(jié)論：abeecg；aeef；dafcfe；cef的面積的最大值為1其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）12（2020河南）如圖，在邊長(zhǎng)為22的正方形abcd中，點(diǎn)e，f分別是邊ab，bc的中點(diǎn)，連接ec，fd，點(diǎn)g，h分別是ec，fd的中點(diǎn)，連接gh，則gh的長(zhǎng)度為 三、解答題13（2020遵義）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形abcd中，點(diǎn)e為對(duì)角線ac上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)e與點(diǎn)a、c不重合），連接de，作efde交射線ba于點(diǎn)f，過(guò)點(diǎn)e作mnbc分別交cd、ab于點(diǎn)m、n，作射線df交射線ca于點(diǎn)g（1）求證：efde；（2）當(dāng)af2時(shí)，求ge的長(zhǎng)14（2019湖南湘西州）如圖，在正方形abcd中，點(diǎn)e，f分別在邊cd，ad上，且afce（1）求證：abfcbe；（2）若ab4，af1，求四邊形bedf的面積15.（2020湖北仙桃模擬）如圖，e，f分別是正方形abcd的邊cb，dc延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且becf，過(guò)點(diǎn)e作egbf，交正方形外角的平分線cg于點(diǎn)g，連接gf求證：（1）aebf；（2）四邊形begf是平行四邊形16（2019山東泰安）如圖，四邊形abcd是正方形，efc是等腰直角三角形，點(diǎn)e在ab上，且cef90°，fgad，垂足為點(diǎn)c（1）試