1、2020年中考數學一輪復習培優訓練：四邊形1如圖1，已知等腰rtabc中，e為邊ac上一點，過e點作efab于f點，以為邊作正方形，且ac3，ef（1）如圖1，連接cf，求線段cf的長；（2）將等腰rtabc繞點旋轉至如圖2的位置，連接be，m點為be的中點，連接mc，mf，求mc與mf關系2如圖將正方形abcd繞點a順時針旋轉角度（0°90°）得到正方形abcd（1）如圖1，bc與ac交于點m，cd與ad所在直線交于點n，若mnbd，求；（2）如圖2，cb與cd交于點q，延長cb與bc交于點p，當30°時求daq的度數；若ab6，求pq的長度3在菱形abcd中，

2、abc60°，點p是對角線bd上一動點，將線段cp繞點c順時針旋轉120°到cq，連接dq（1）如圖1，求證：bcpdcq；（2）如圖2，連接qp并延長，分別交ab、cd于點m、n求證：pmqn；若mn的最小值為2，直接寫出菱形abcd的面積為 4如圖，在梯形abcd中，adbc，c90°，ad2，bc5，dc3，點e在邊bc上，tanaec3，點m是射線dc上一個動點（不與點d、c重合），聯結bm交射線ae于點n，設dmx，any（1）求be的長；（2）當動點m在線段dc上時，試求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的定義域；（3）當動點m運動時，直線bm與直線a

3、e的夾角等于45°，請直接寫出這時線段dm的長5如圖1，已知直角梯形abco中，aoc90°，abx軸，ab6，若以o為原點，oa，oc所在直線為y軸和x軸建立如圖所示直角坐標系，a（0，a），c（c，0）中a，c滿足|a+c10|+0（1）求出點a、b、c的坐標；（2）如圖2，若點m從點c出發，以2單位/秒的速度沿co方向移動，點n從原點出發，以1單位/秒的速度沿oa方向移動，設m、n兩點同時出發，且運動時間為t秒，當點n從點o運動到點a時，點m同時也停止運動，在它們的移動過程中，當2sabnsbcm時，求t的取值范圍：（3）如圖3，若點n是線段oa延長上的一動點，nch

4、koch，cnqkbnq，其中k1，nqcj，求的值（結果用含k的式子表示）6在等邊三角形abc中，點d是bc的中點，點e、f分別是邊ab、ac（含線段ab、ac的端點）上的動點，且edf120°，小明和小慧對這個圖形展開如下研究：問題初探：（1）如圖1，小明發現：當deb90°時，be+cfnab，則n的值為 ；問題再探：（2）如圖2，在點e、f的運動過程中，小慧發現兩個有趣的結論：de始終等于df；be與cf的和始終不變；請你選擇其中一個結論加以證明成果運用（3）若邊長ab8，在點e、f的運動過程中，記四邊形deaf的周長為l，lde+ea+af+fd，則周長l取最大值

5、和最小值時e點的位置？7實踐與探究在平面直角坐標系中，四邊形aobc是矩形，點o0，0），點a（5，0），點b（0，3）以點a為中心，順時針旋轉矩形aobc，得到矩形adef，點o，b，c的對應點分別為d，e，f（1）如圖，當點d落在bc邊上時，求點d的坐標；（2）如圖，當點d落在線段be上時，ad與bc交于點h求證：adbaob；求點h的坐標8實踐與探究在綜合實踐課上，老師讓同學們以兩個全等的三角形紙片為操作對象，進行相關問題的探究如圖1，abcdef，其中acb90°，a30°，ab4（1）請直接寫出ef ；（2）新星小組將這兩張紙片按如圖2所示的方式放置后，經過觀察發

6、現四邊形acbf是矩形，請你證明這個結論（3）新星小組在圖2的基礎上，將def紙片沿ab方向平移至如圖3的位置，其中點e與ab的中點重合，連接ce，bf請你判斷四邊形bcef的形狀，并證明你的結論9（1）如圖1，在四邊形abcd中，abad，b+d180°，e，f分別是邊bc，cd上的點，且eafbad，則be，ef，df之間的數量關系是 （2）如圖2，若e，f分別是邊bc，cd延長線上的點，其他條件不變，則be，ef，df之間的數量關系是什么？請說明理由（3）如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（o處）北偏西30°的a處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的b處

7、，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動命令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀察到艦艇甲、乙分別到達e，f處，且兩艦艇與指揮中心o連線的夾角eof70°，試求此時兩艦艇之間的距離10平面直角坐標系中，a（a，0），b（b，b），c（0，c），且滿足： +（2bac）2+|bc|0，e、d分別為x軸和y軸上動點，滿足dbe45°（1）求a、b、c三點坐標；（2）如圖1，若d為線段oc中點，求e點坐標；（3）當e，d在x軸和y軸上運動時，試探究cd、de和ae之間的關系11【

8、操作】如圖，在矩形abcd中，e為對角線ac上一點（不與點a重合）將ade沿射線ab方向平移到bcf的位置，e的對應點為點f，易知adebcf（不需要證明）【探究】過圖的點e作bgbc交fb延長線于點g，連結ag，其它條件不變，如圖求證：egabcf【拓展】將圖中的bcf沿bc翻折得到bcf，連結gf，其它條件不變，如圖當gf最短時，若ab4，bc2，直接寫出ff的長和此時四邊形bfcf的周長12如1，在矩形abcd中，ab6，ad10，e為ad上一點且ae6，連接be（1）將abe繞點b逆時針旋轉90°至abf（如圖2），且a、b、c三點共線，再將abf沿射線bc方向平移，平移速度

9、為每秒1個單位長度，平移時間為t（s）（t0），當點a與點c重合時運動停止在平移過程中，當點f與點e重合時，t （s）在平移過程中，abf與四邊形bcde重疊部分面積記為s，求s與t的關系式（2）如圖3，點m為直線be上一點，直線bc上有一個動點p，連接dm、pm、dp，且em5，試問：是否存在點p，使得dmp為等腰三角形？若存在，請直接寫出此時線段bp的長；若不存在，請說明理由13在四邊形abcd中，adbc，abcd（1）如圖1，連接ac，求證：abcd；（2）如圖2，在cb的延長線上取一點m，連接dm，在dm上取一點l，連接bl，當cbl2m時，求證：lbmb；（3）如圖3，在（2）條件

10、下，ce平分acb交dm于e點，連接ae，當aece，bl8時，求ac的長14閱讀下面的例題及點撥，補全解題過程（完成點撥部分的填空），并解決問題：例題：如圖1，在等邊abc中，m是bc邊上一點（不含端點b，c），n是abc的外角ach的平分線上一點，且ammn求證：amn60°點撥：如圖2，作cbe60°，be與nc的延長線相交于點e，得等邊bec，連結em，易證abmebm（ ），可得amem，12；又ammn，則emmn，可得 ；由3+14+560°，進一步可得12 又因為2+6120，所以5+6120°，所以amn60°問題：如圖3，四

11、邊形abcd的四條邊都相等，四個角都等于90°，m是bc邊上一點（不含端點b，c），n是四邊形abcd的外角dch的平分線上一點，且ammn求amn的度數15在平面直角坐標系xoy中，四邊形oadc為正方形，點d的坐標為（4，4），動點e沿邊ao從a向o以每秒1cm的速度運動，同時動點f沿邊oc從o向c以同樣的速度運動，連接af、de交于點g（1）試探索線段af、de的關系，寫出你的結論并說明理由；（2）連接ef、df，分別取ae、ef、fd、da的中點h、i、j、k，則四邊形hijk是什么特殊平行四邊形？請在圖中補全圖形，并說明理由（3）如圖當點e運動到ao中點時，點m是直線ec上

12、任意一點，點n是平面內任意一點，是否存在點n使以o，c、m、n為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點n的坐標；若不存在，請說明理由參考答案1解：（1）如圖1，abc是等腰直角三角形，ac3，ab3，過點c作cmab于m，連接cf，cmamab，四邊形agef是正方形，afef，mfamaf，在rtcmf中，cf；（2）cmfm，cmfm，理由：如圖2，過點b作bhef交fm的延長線于h，連接cf，ch，bhmefm，四邊形agef是正方形，efaf點m是be的中點，bmem，在bmh和emf中，bmhemf（aas），mhmf，bhefaf四邊形agef是正方形，fag90°，e

13、fag，bhef，bhag，bag+abh180°，cbh+abc+bac+cag180°abc是等腰直角三角形，bcac，abcbac45°，cbh+cag90°，cag+caf90°，cbhcaf，在bch和acf中，bchacf（sas），chcf，bchacf，hcfbch+bcfacf+bcf90°，fch是等腰直角三角形，mhmf，cmfm，cmfm；2解：（1）如圖1中，mnbd，cmncbd45°，cnmcdb45°，cmncnm，cmcn，cbcd，'mbnd，abad，abmadn90&

14、#176;，abmadn（sas），bamdan，bad90°，man45°，bamdan22.5°，bac45°，bab22.5°，22.5°（2）如圖2中，abqadq90°，aqaq，abad，rtaqbrtaqd（hl），qabqad，bab30°，bad90°，bad30°，qadbad30°如圖2中，連接ap，在ab上取一點e，使得aeep，連接ep設pbaabpabp90°，apap，abab，rtapbrtapb（hl），bappab15°，eaep

15、，eapepa15°，bepeap+epa30°，peae2a，bea，ab6，2a+a6，a6（2）pb6（2），pcbcpb66（2）66，cpq+bpb180°，bab+bpb180°，cpqbab30°，pq1223（1）證明：四邊形abcd是菱形，bcdc，abcd，pbmpbcabc30°，abc+bcd180°，bcd180°abc120°由旋轉的性質得：pcqc，pcq120°，bcddcq，bcpdcq，在bcp和dcq中，bcpdcq（sas）；（2）證明：由（1）得：bcp

16、dcq，bpdq，qdcpbcpbm30°在cd上取點e，使qeqn，如圖2所示：則qenqne，qedqncpmb，在pbm和qde中，pbmqde （aas），pmqeqn解：由知pmqn，mnpqpc，當pcbd時，pc最小，此時mn最小，則pc2，bc2pc4，菱形abcd的面積2sabc2××428；故答案為：84解：（1）如圖1中，作ahbc于h，adbc，c90°，ahccd90°，四邊形ahcd是矩形，adch2，ahcd3，tanaec3，3，eh1，ce1+23，bebcce532（2）延長ad交bm的延長線于gagbc，d

17、g，ag2+，y（0x3）（3）如圖31中，當點m在線段dc上時，bneabc45°，ebneab，eb2enae，解得x如圖32中，當點m在線段dc的延長線上時，anbabe45°，bnaeba，ab2aean，（3）2+解得x13，綜上所述dm的長為或135解：（1）|a+c10|+0，a+c100，且c70，c7，a+c10，c3，a（0，3），c（7，0），abx軸，ab6，b（6，3）；（2）a（0，3），c（7，0），oa3，oc7，由題意得：ont，cm2t，an3t，2sabnsbcm，2××（3t）×6×2t

18、5;3，解得：t2，當點n從點o運動到點a時，點m同時也停止運動，0t3，t的取值范圍為2t3；（3）設ab與cn交于點d，如圖3所示：aboc，bdcocd，bdcbnd+abn，cnqkbnq，nchkoch，bdc（k+1）bnq+abn，ocd（k+1）och，（k+1）bnq+abnocd（k+1）och，abn（k+1）och（k+1）bnq（k+1）（ochbnq），nqcj，ncjcnqkbnq，hcj+ncjnchkoch，hcjkochncjkochkbnqk（ochbnq），6解：（1）abc是等邊三角形，bc60°，abbc，點d是bc的中點，bdcdbcab

19、，deb90°，bde90°b30°，在rtbde中，bebd，edf120°，bde30°，cdf180°bdeedf30°，c60°，dfc90°，在rtcfd中，cfcd，be+cfbd+cdbcab，be+cfnab，n，故答案為：；（2）如圖2，連接ad，過點d作dgab于g，dhac于h，dgbagd90°，abc是等邊三角形，bac60°，gdh360°agdahda120°，edf120°，edgfdh，abc是等邊三角形，d是bc的中點，

20、badcad，dgab，dhac，dgdh，在edg和fdh中，edgfdh（asa），dedf，即de始終等于df；同（1）的方法得，bg+chab，由知，edgfdh，egfh，be+cfbgeg+ch+fhbg+chab，be與cf的和始終不變；（3）由（2）知，dedf，be+cfab，ab8，be+cf4，四邊形deaf的周長為lde+ea+af+fdde+abbe+accf+dfde+abbe+abcf+de2de+2ab（be+cf）2de+2×842de+12，de最大時，l最大，de最小時，l最小，當deab時，de最小，此時，bebd2，當點f和點c重合時，de最

21、大，此時，bde180°edf120°60°，b60°，bde是等邊三角形，bebd4，綜上所述，周長l取最大值時，be4，周長l取最小值時，be27解：（1）a（5，0），b（0，3），oa5，ob3，四邊形aobc是矩形，obac3，oabc5，c90°，矩形adef是由矩形aobc旋轉得到的，adoa5，在rtacd中，cd4，bd541，d（1，3）；（2）由旋轉可知，oada，aobade90°，aobadb90°，在rtaob與rtadb中，rtadbrtaob（hl）；adbaob，bdboac，在bdh與ac

22、h中，bdhach（aas），dhch，dh+ahad5，ch+ah5，設chx，則ah5x，在rtach中，（5x）2x2+32，解得，x，bh5，點h的坐標為（，3）8（1）解：abcdef，abde4，da30°，acbdfe90°，efde2；故答案為：2；（2）證明：abcdef，acdfbf，bcefaf，在四邊形acbf中，acbf，bcaf，四邊形acbf是平行四邊形，acb90°，四邊形acbf是矩形；（3）解：四邊形bcef是菱形；理由如下：由（2）可知：四邊形acbf是平行四邊形，efbc，efbc，def是沿ab方向平移的，efbc，efb

23、c，四邊形bcef是平行四邊形，點e是ab的中點，acb90°，ceab2，ceef2，四邊形bcef是菱形9解：（1）延長fd到點g，使dgbe，連結ag，如圖1所示：在abe和adg中，abeadg（sas），aeag，baedag，eafbad，gafdag+dafbae+dafbadeafeaf，在aef和gaf中，aefagf（sas），effg，fgdg+dfbe+df，efbe+df，故答案為：efbe+df；（2）be，ef，df之間的數量關系是：efbedf；理由如下：在cb上截取bmdf，連接am，如圖2所示：b+d180°，adc+adf180

24、6;，badf，在abm和adf中，abmadf（sas），afam，dafbam，badmaf，bad2eaf，maf2eaf，maeeaf，在fae和mae中，faemae（sas），efembebmbedf，即efbedf；（3）連接ef，延長ae、bf相交于點c，如圖3所示：aob30°+90°+（90°70°）140°，eof70°，eofaob，oaob，oac+obc（90°30°）+（70°+50°）180°，符合（1）中的條件，即結論efae+bf成立，ef1.5&#

25、215;（60+80）210（海里）答：此時兩艦艇之間的距離是210海里10解：（1）+（2bac）2+|bc|0，a4，bc，2bac0，b4，c4，點a（4，0），點b（4，4），點c（0，4）；（2）如圖1，將bcd繞點b逆時針旋轉90°得到bah，點a（4，0），點b（4，4），點c（0，4），oaocbcab4，d為線段oc中點，cddo2，將bcd繞點b逆時針旋轉90°得到bah，bcdbah，bdbh，cbdhba，cdah2，dbe45°，cbd+eba45°，eba+abh45°hbedbe，且bdbh，bebe，dbehbe

26、（sas）deeh，ohoa+ah4+26，deeh6oe，de2od2+oe2，（6oe）24+oe2，oe，點e坐標為（，0）；（3）如圖1，若點e在x軸正半軸，點d在y軸正半軸上，由（2）可知：deeh，ahcd，deae+ahae+cd，如圖2，點e在x軸負半軸，點d在y軸正半軸，將bcd繞點b逆時針旋轉90°得到bah，bcdbah，dbh90°，bdbh，cbdhba，cdah，dbe45°，dbe45°hbe，且bdbh，bebe，dbehbe（sas）deeh，aeah+ehcd+de；如圖3，點e在x軸正半軸，點d在y軸負半軸，將bcd

27、繞點b逆時針旋轉90°得到bah，bcdbah，dbh90°，bdbh，cbdhba，cdah，dbe45°，dbe45°hbe，且bdbh，bebe，dbehbe（sas）deeh，cdahae+ehae+de11解：【探究】由平移可知：aebf，aebf，cbfacb，四邊形abcd是矩形，adbc，egbc，aegacb，aegcbf，gebc，acbg，四邊形egbc是平行四邊形，egbc，egabcf（sas）【拓展】如圖3中，連接bd交ac于點o，作bkac于k，fhbc于h四邊形abcd是矩形，abc90°，ab4，bc2，ac2

28、，abcbacbk，bk，ok，由題意四邊形agfc是平行四邊形，gfac2，bfbf，可以假設bfx，則bg2x，acgf，bokhbf，bkofhb90°，fhbbko，fhx，bhx，ghbgbh2xx2x，gf，0，當x時，gf的值最小，此時點f與o重合，可得ff4，四邊形bfcf的周長為412解：（1）如圖1中，連接ef由題意efabbf6，t6時，點f與點e重合，故答案為6如圖21中，當0t6時，重疊部分是bmb，st2如圖22中，當6t10時，重疊部分是afb，s×6×618如圖23中，當10t16時，重疊部分是amc，s（16t）2，綜上所述，s（

29、2）如圖3中，總mhad于h，交bc于gabae6，a90°，be6，em5，bm，bgmgah1，hmhe5，dhadah9，dm，當dmdp時，可得cp1cp2，bp110，bp210+當mdmp時，可得gp3gp4，bp31，bp4+1，當pmpd時，設gp5x，則，解得x，bp51+13解：（1）證明：在adc與cba中，adccba（sss），acdbac，abcd；（2）cblm+blm，cbl2m，m+blm2m，mblm，bmbl；（3）延長ae交cm于h，ce平分acb交dm于e點，acehce，aece，aechec90°，在ace與hce中，acech

30、e（asa），aeeh，acch，adcm，adem，在ade與hme中，adehme（aas），adhm，adbc，hmbc，chbm，bl8，chbm8，acch814解：點撥：如圖2，作cbe60°，be與nc的延長線相交于點e，得等邊bec，連結em，易證abmebm（sas），可得amem，12；又ammn，則emmn，可得34；由3+14+560°，進一步可得125又因為2+6120，所以5+6120°，所以amn60°問題：延長ab至e，使ebab，連接emc、ec，如圖所示：則ebbc，ebm中90°abm，ebc是等腰直角三角形，becbce45°，n是正方形abcd的外角dch的平分線上一點，mcn90°+45°135°，bce+mcn180°，e、c、n，三點