1、10( )nnu x 為傅立葉級數為傅立葉級數.( )cossinnnnu xanxbnx當當為傅氏系數為傅氏系數) 時時,時為數項級數時為數項級數;0 xx 當當( )nnnu xa x 當當時為冪級數時為冪級數;(,nna b0( )nnu x 求和求和( )S x展開展開(在收斂域內進行在收斂域內進行)基本問題：基本問題：判別斂散；判別斂散；求收斂域；求收斂域；求和函數；求和函數；級數展開級數展開.第1頁/共50頁2一、數項級數及其審斂法一、數項級數及其審斂法(一一)常數項級數的概念常數項級數的概念1.常數項級數的概念；常數項級數的概念；2.常數項級數收斂與發散的概念；常數項級數收斂與發

2、散的概念；3.正項級數、交錯級數、任意項級數的概念；正項級數、交錯級數、任意項級數的概念；4.絕對收斂與條件收斂的概念；絕對收斂與條件收斂的概念；1nnu 12nnu 常數項常數項級數級數收斂收斂(發散發散)存在存在(不存在不存在)nns lim1nnu 若若1nnu 1nnu 發散發散,而而收斂收斂, 則稱則稱為為條件收斂條件收斂.1nnu 若若收斂收斂, 則稱則稱為為絕對收斂絕對收斂;1nnu 123 nuuuu第2頁/共50頁3(二二)常數項級數的性質（常數項級數的性質（4個）個） 性質性質1.不變不變.斂散性斂散性級數的每一項同乘一級數的每一項同乘一不為零不為零的常數的常數,性質性質2

3、.設兩級數設兩級數收斂收斂， 1nnus， 1nnv 則級數則級數收斂，收斂，1()nnnuv 其其和和為為. s在級數前面在級數前面加上加上（或去掉或去掉）有限項有限項不影響不影響性質性質3.級數的級數的斂散性斂散性, 但但影響收斂級數的和影響收斂級數的和.性質性質4. 收斂收斂加括號后加括號后收斂收斂.收斂級數收斂級數加括號后所成的級數加括號后所成的級數仍收斂仍收斂于原來的于原來的和和.1111.(0)nnnnnnnnucucucuc收收斂斂收收斂斂且且111111()()().nnnnnnnnnnnnnnuvuvuvuv，收收斂斂收收斂斂且且收斂收斂+收斂收斂=收斂，收斂收斂，收斂+發散

4、發散=發散，發散， 發散發散+發散就不一定發散發散就不一定發散 發散發散去括號后去括號后發散發散.第3頁/共50頁4(三三)收斂級數的必要條件收斂級數的必要條件. 0lim nnu 1nnu若級數若級數收斂收斂v注：不能用注：不能用0lim nnu判斷級數收斂判斷級數收斂.(四四)應熟記的幾個重要級數：應熟記的幾個重要級數： 1.幾何級數幾何級數2.調和級數調和級數11111123nnn 是發散級數是發散級數. 發散發散時時當當收斂收斂時時當當級數級數,1,111ppnPnp011nnqaqq 當當時時，收收斂斂當當時時，發發散散3.P-級數級數第4頁/共50頁5(五五)常數項級數的審斂法：常

5、數項級數的審斂法：1.任意項級數的審斂法任意項級數的審斂法(3)性質法性質法.(4)利用重要級數利用重要級數.(2)lim0nnu1nnu 發散發散.(1)定義法：定義法：(5) 11 nnnnuu收收斂斂收收斂斂, ,11 .nnnnuu 發發散散發發散散1(6) ()nnu 發發散散 比比值值法法或或根根值值法法1.nnu 發發散散級數級數收斂收斂(發散發散)存在存在(不存在不存在).limnns 第5頁/共50頁62.正項級數的審斂法正項級數的審斂法(2)比值法比值法(1)比較法比較法 (3)根值法根值法11nnnnuv設設和和均均為為正正項項級級數數. .),(Nnkvunn (常數常

6、數 k 0 )；limnnnulv 1limnnnuu limnnnu 若若大大的收斂，的收斂， 則則小小的也收斂；的也收斂； 若若小小的發散，的發散， 則則大大的也發散的也發散. 11)1nnu 收收斂斂； 3.交錯級數的審斂法交錯級數的審斂法(萊布尼茨審斂法萊布尼茨審斂法)12)1nnu 或或發發散散. . 1 1 ( 1)nnnu nu 單單調調遞遞減減 lim0.nnu 1 1 ( 1).nnnu 收收斂斂 0)(nu 00 第6頁/共50頁7必要條件必要條件lim0nnu 不滿足不滿足發發 散散滿足滿足比值審斂法比值審斂法1limnnnuu 根值審斂法根值審斂法limnnnu 1 收

7、收 斂斂發發 散散1 不確定不確定 比較審斂法比較審斂法用其它法判別用其它法判別 性質法性質法定義法定義法1 正項級數審斂程序：正項級數審斂程序：注意：注意：比值法比值法主要適應于通項中含主要適應于通項中含 之之積積的級數的級數.!,nnn na根值法根值法主要適應于通項中含主要適應于通項中含 的級數的級數.,nnna第7頁/共50頁811(1);ln(1)nn 解解: (1)ln(1),nn 11ln(1)nn 11nn 發發散散，故原級數發散故原級數發散 .lln(1)lim11nnn 1limln(1)nnn 另解另解: (1)111nn 發散發散 , 故原級數發散故原級數發散 .例例1

8、.判別級數的斂散性判別級數的斂散性:第8頁/共50頁911(2).nnnn 解解(2)limn 1limnnn 1 11nn 發散發散 , 故原級數發散故原級數發散 .1nnn 1nlim1;lim1(0)nnnnnaa請請熟熟記記：21(3)sin2nnn 1limnnnuu 21 nnnnn22)1(lim12 故該級數故該級數收斂收斂.nnnnn2sin2sin) 1(lim212 1. 解解(3)第9頁/共50頁102( 1)(2) 1nnnn 例例2.判別下列級數判別下列級數的斂散性的斂散性,是絕對收斂還是條件收斂？是絕對收斂還是條件收斂？2111(1) ( 1)(1)2nnnnn

9、解解(1)211 lim( 1)(1)2nnnnnn 211lim(1)2nnnnn12e11lim(1)2nnn所以所以原級數原級數發散發散.11lim(1)2nnn nnn 解解(2)21nnn 1)先考察先考察 的斂散性的斂散性 limn由由于于limnn 1nn 11n 21nnn 發發散散. .第10頁/共50頁11又由于又由于2)1(2)1()1()( xxxxxxf)2(0 x( )2,),1xf xx 故故函函數數在在上上單單調調遞遞減減1nnuu 原級數收斂原級數收斂，是條件收斂，是條件收斂.( ) (2)1xf xxx 設設1nnun 2( 1)(2) 1nnnn 2( 1

10、)2).1nnnn 用用萊萊布布尼尼茲茲審審斂斂法法考考察察交交錯錯級級數數的的斂斂散散性性limlim1nnnnun 0. 第11頁/共50頁12設設正項正項級數級數1nnu 收斂收斂, 證明證明21nnu 收斂收斂 .例例3. 證明證明:2limnnnuulimnnu 0 由比較判斂法可知由比較判斂法可知21nnu 收斂收斂 .注意注意:反之不一定成立反之不一定成立.例如例如,211nn 收斂收斂 ,11nn 發散發散 .1nnu 由由已已知知收收斂斂lim0nnu211nnnnuu正正項項級級數數收收斂斂收收斂斂. .第12頁/共50頁1321 40,.nnnaa 已已知知級級數數收收斂

11、斂，且且例例1.nnan 證證明明：級級數數也也收收斂斂證明：證明：收收斂斂，又又收收斂斂， 12121nnnna, 012, 0)1(222 nnaanannn即即22120nanann .)1(1122收收斂斂所所以以收收斂斂，由由于于 nnnnnana練習題練習題212nnaann提提示示：11.nnnnaan 設設是是收收斂斂的的正正項項級級數數，證證明明也也收收斂斂第13頁/共50頁142nnnaap ，2nnnaaq ，1,2,n ，1nna 11nnnnpq 與與1. 03數三，數三，4分分設設則下列命題正確的是則下列命題正確的是( )條件收斂，則條件收斂，則絕對收斂，則絕對收斂

12、，則條件收斂，則條件收斂，則斂散性都不定斂散性都不定.絕對收斂，則絕對收斂，則(A) 若若(B) 若若(C) 若若(D) 若若都收斂都收斂.1nna 11nnnnpq 與與都收斂都收斂.1nna 11nnnnpq 與與1nna 斂散性都不定斂散性都不定.11nnnnpq 與與B第14頁/共50頁151nna 1( 1)nnna 11nnna a 112nnnaa 2.06數一數一,數三數三,4分分 若級數若級數收斂，則級數收斂，則級數( )收斂收斂 . 收斂收斂.收斂收斂. 收斂收斂. 1nna ( A ) ( B )( C )( D ) D 1( 1)nnan ，1( 1),nnan .提提

13、示示：用用排排除除法法.AB排排除除，.C排排除除11 .nnnnuu收收斂斂收收斂斂性質性質3.在級數前面加上或去掉在級數前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數不會影響級數的斂散性的斂散性.111.nnnnuu 若若收收斂斂收收斂斂第15頁/共50頁16(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).21211().nnnnnuuu 若若收收斂斂，則則收收斂斂3. 04數三、數三、4分分 設有下列命題：設有下列命題：(2) 11lim1.nnnnnuuu 若若，則則發發散散111().nnnnnnnuvuv 若若收收斂斂，則則，都都收

14、收斂斂(3) (4) (1) 100011.nnnnuu 若若收收斂斂，則則收收斂斂則以上命題中正確的是則以上命題中正確的是( )B 收斂收斂加括號后加括號后收斂收斂.2121234561()()()()nnnuuuuuuuu 提提示示：第16頁/共50頁174.()nu設設是是數數列列, ,則則下下列列命命題題正正確確的的是是(11年數學三年數學三)21211212112121121211( )()( )();( )()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAuuuBuuuCuuuDuuu 若若收收斂斂， 則則收收斂斂；若若收收斂斂， 則則收收斂斂若若收收斂斂， 則則收收斂斂；若若

15、收收斂斂， 則則收收斂斂. .A1,nDu 排排除除 ( 1),;nnunC ：排排除除 提提示示性質：性質：收斂級數收斂級數加括號后所成的級數加括號后所成的級數仍然收斂；仍然收斂；發散級數去括號后發散級數去括號后所成的級數所成的級數仍發散仍發散.第17頁/共50頁18,lim0,()5.nnnnaba 設設由由兩兩個個數數列列若若則則1111( ),( ),nnnnnnnnnnAba bBba b當當收收斂斂時時收收斂斂，當當發發散散時時發發散散22221111( ),(),.nnnnnnnnnnCba bDba b當當收收斂斂時時收收斂斂，當當發發散散時時發發散散C(09數學一數學一)有相

16、同的斂散性；有相同的斂散性；0(1)l 當當時時, ,(2)0l 當當時時, ,(3)l 當當時時, ,1nnu 則則收收斂斂；lim,nnnulv 若若則則,都是都是正項級數正項級數11nnnnuv 設設與與1.nnu 則則發發散散1nnv 若若發發散散，1nnv 若若收收斂斂，11nnnnuv 與與第18頁/共50頁196. 級數的部分和數列有界是級數收斂的級數的部分和數列有界是級數收斂的( )條件條件(A)充分充分; (B)必要必要; (C) 充要充要; (D)既不充分也不必要既不充分也不必要.Blimnns 存存在在 ns數數列列有有極極限限 ns數數列列有有界界. .1nnu 收收斂

17、斂定理定理1正項級數正項級數收斂收斂部分和部分和所成的數列所成的數列有界有界.ns11(),.()|,()|,()| |,(7.)nnnnnnnnnnnnbaAabB abCabD ab 設設級級數數發發散散，且且則則級級數數必必發發散散B1 nnu 1nnu 11 nnnnuu 發發散散發發散散第19頁/共50頁20定理定理1(阿貝爾阿貝爾Abel定理定理)(1)如果級數如果級數0nnna x 在在) 0(00 xxx處處收斂，收斂， 則它在開區間則它在開區間內的一切內的一切x處處絕對收斂絕對收斂.00(,)xx (2)如果級數如果級數0nnna x 在在0 xx 處處發散，發散， 則它在開

18、區間則它在開區間00(,)(,)xx 內的一切內的一切x處處發散發散.如果冪級數如果冪級數的所有系數的所有系數 0nnnxa，0 na定理定理2. 是它的相鄰兩項的系數且滿足：是它的相鄰兩項的系數且滿足：1,nnaa 1lim,nnnaa (lim)nnna 或或1R 二、二、求冪級數收斂域的方法求冪級數收斂域的方法x R Rox R Ro第20頁/共50頁211.冪級數中奇偶項齊全冪級數中奇偶項齊全0(,)nnna x 不不缺缺項項時時用公式求用公式求R.11 (limlim)nnnnnnaRaa 或或2.不滿足定理不滿足定理2條件的級數條件的級數(缺項缺項)這時這時不能用以上公式求不能用以

19、上公式求R.應該根據收斂半徑的定義用直接法求應該根據收斂半徑的定義用直接法求R. 012nnnxa如：如：， 00)(nnnxxa3.若級數為若級數為則則應用代換法，應用代換法，.0 xxt 令令先求收斂半徑先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性再討論端點的收斂性 .求收斂域的方法求收斂域的方法:第21頁/共50頁22211(1).nnnxn 求求的的收收斂斂域域例例1. 解：解：21(1)nnan ，limnnna 1(1li)mnnn e1Re 1,xe 當當時時2111(1),nnnne 級級數數為為由由于于它它的的一一般般項項2211ln(1)211(1)0,nnnnneene 該級數該

20、級數發散發散.1,xe 同同理理: :當當時時2111( 1) (1)nnnnne 級級數數0的的一一般般項項也也不不趨趨于于 ，故所給級數的故所給級數的收斂域收斂域為為11().ee ，此時該級數此時該級數發散發散.第22頁/共50頁2321.2nnnnx 求求的的收收斂斂域域1( )lim( )nnnuxux 解解: 因因2(1)112nnnx 22x 22nnnx21,2x 當當22x 即即時時，級數絕對收斂級數絕對收斂;limn 21,2x 當當2,2xx 即即時時，級數發散級數發散;2,x 當當時時故收斂域為：故收斂域為：(2 ,2 ). 一般項一般項nun 不趨于不趨于0, 級數發

21、散級數發散; 例例2. 第23頁/共50頁2421.2nnnnx 求求的的收收斂斂域域例例2. 另解：22xt 設設，則級數為1nnnt ，nan ，1limnnnaa 1limnnn 1,11R ，1,t 即即當當時時11( 1);nnnnn 級級數數與與級級數數都都發發散散1( 1,1)nnnt 則則級級數數的的收收斂斂域域為為，2,2tx 2211,x (2,2). 則則原原級級數數的的收收斂斂域域為為：第24頁/共50頁250(3) .nnnax 則則冪冪級級數數的的收收斂斂域域為為練習幾個選擇題02().3.2.(11).( 2).nnnnnnnnnnna xxAaBaCaDa 若若

22、冪冪級級數數在在點點收收斂斂，則則必必發發散散必必絕絕對對收收斂斂必必絕絕對對收收斂斂必必條條件件收收斂斂C1()212(.1)nnnaxxx 若若在在處處收收斂斂，則則此此級級數數在在處處 B11(1)1 nnnnnntxaxta 記記，則則0(2).043nnnaxxx 已已知知冪冪級級數數在在處處收收斂斂, ,在在處處發發散散, ,(1, 5(08數學一數學一).ABCD條條件件收收斂斂絕絕對對收收斂斂 發發散散收收斂斂性性不不確確定定第25頁/共50頁261.求部分和式的極限求部分和式的極限;求和求和3.逐項求導或求積分法逐項求導或求積分法 逐項求導或求積分逐項求導或求積分0nnna

23、x *( )Sx對和式積分或求導對和式積分或求導( )S x難難2.初等變換法初等變換法: 分解、變量代換后套用公式分解、變量代換后套用公式;（在收斂區間內）（在收斂區間內）.0nnna x 冪級數冪級數已知和函數的已知和函數的新級數新級數轉化轉化三、冪級數和函數的求法三、冪級數和函數的求法( )lim( )nnS xS x 第26頁/共50頁27請熟記：請熟記：常用函數的冪級數展開式常用函數的冪級數展開式(3) ln(1)x 1(1) 1x (4) xe (5) sin x (6) cos x 1(2) 1x 0,( 1,1)nnxx 0( 1),( 1,1)nnnxx 10( 1),( 1

24、,11nnnxxn 01!,(,)nnnxx 2101(21)!( 1),(,)nnnnxx 201(2 )!( 1),(,)nnnnxx 第27頁/共50頁28121(.1)211nnnxn 求求的的收收斂斂域域及及和和函函數數例例2010數一數一121( 1)21( )nnnxS xn 解：解：1121( 1)21nnnxnx 12021( 1)dnnnxxxx 10122( 1)d xnnnxxx arctan .xx 11x 2(1)12( 1)21lim21( 1)nnnnnxnnx 1x 可可以以判判斷斷時時級級數數收收斂斂， 1,1. 則則收收斂斂域域為為201d1xxxx 2x

25、 2211xx 時時級級數數絕絕對對收收斂斂，時時級級數數發發散散. .第28頁/共50頁29例例2. 求冪級數求冪級數2101( 1).(21) !nnnnxn 的的和和函函數數解法解法1: 易求出級數的收斂域為易求出級數的收斂域為(,) 2201( 1)()(21 !1)2nnnxn 原原式式2101( 1)2(21)!nnnxn x1(sin )2xx 1sincos,22xxx (,)x 110()d1nnnxnnxxxxxn 2201( 1)(212!1)nnnxn 2101(21)!sin( 1),(,)nnnnxxx 第29頁/共50頁30例例2. 求冪級數求冪級數2101( 1

26、).(21) !nnnnxn 的的和和函函數數解法解法2: 易求出級數的收斂域為易求出級數的收斂域為(,) 2101( )=( 1)(21) !nnnnS xxn 設設，則則210001( )d( 1)d(21)!xxnnnnS xxxxn 220( 1)(21)!nnnxn 12210( 1)2(21)!nnnxxn sin2xx (sin1( )sincos)2,22xxxS xxx (,)x 0( )(0)( )dxf xffxx 0()()d )xfxfxx 第30頁/共50頁31求常數項級數的和求常數項級數的和法法1:利用級數和的定義求利用級數和的定義求lim.nnSS 法法2:阿貝

27、爾法阿貝爾法(構造冪級數構造冪級數,用冪級數的和函數求用冪級數的和函數求)1)欲求欲求 的和的和1nna 構造冪級數構造冪級數1nnna x 求出它的和函數求出它的和函數S(x)所求為所求為S(1)2)欲求欲求 的和的和1nnna b 構造冪級數構造冪級數1nnna x 求出它的和函數求出它的和函數S(x)所求為所求為S(x)=S(b)第31頁/共50頁321)21(nnxxxx 121.23.nnn 求求項項級級數數例例數數的的和和解：解：1(21),nnnx 考考慮慮級級數數1limnnnaRa 1( 1,1) 收收斂斂區區間間為為1( )(21)nnns xx 則則112nnnnnxx

28、1121nnxxnxx 12()1nnxxxx 1( )2s所所求求是是2 ()11xxxxx 22. ( 11)(1)1xxxxx 1212nnn 故故1( )2s 3.1()nnnxx 第32頁/共50頁33說明：說明：構造的冪級數是不唯一的構造的冪級數是不唯一的.如如121.2nnn 求求數數項項級級數數的的和和還可構造冪級數：還可構造冪級數：22112121,.22nnnnnnnnxx 等等原則是所構造的冪級數的和函數容易求出原則是所構造的冪級數的和函數容易求出.22121( )2nnnns xx 設設2111()2nnnx 211()2nnnx 221212xxx 211()2nnn

29、x 211() 2nnxx 2()2xx 22 22.(2)xx 1212nnn 故故(1)s 3.第33頁/共50頁34四、函數的冪級數展開法四、函數的冪級數展開法展開方法展開方法直接展開法直接展開法 利用泰勒公式利用泰勒公式間接展開法間接展開法 利用已知其級數展開式的函數展開利用已知其級數展開式的函數展開1. 直接展開法直接展開法( )f x函函數數展展開開成成冪冪級級數數的的步步驟驟如如下下：第一步第一步第三步第三步 判別在收斂區間判別在收斂區間(R, R) 內內lim( )nnRx是否為是否為0. ( )( )00()(),(1,2,3,);!nnnfxfxann并并寫寫出出第二步第二

30、步 寫出泰勒級數寫出泰勒級數( )000()()!nnnfxxxn lim( )0nnRx 若若，( )000()( )() .!nnnfxf xxxn 并求出其并求出其收斂半徑收斂半徑 R ; 第34頁/共50頁35冪級數的運算性質冪級數的運算性質)函數函數已知展開式的已知展開式的新函數新函數轉化轉化將所給函數展開成冪級數將所給函數展開成冪級數. 經驗：經驗： 1)有理函數有理函數轉化轉化1111xx 或或2)指數函數指數函數轉化轉化xe3)對數函數對數函數轉化轉化ln(1)x 4)三角函數三角函數轉化轉化sincosxx或或5)反三角函數：反三角函數： 先求導化為有理函數，再積分先求導化為

31、有理函數，再積分第35頁/共50頁36例例1. 設設( )f x 21arctan,0 xxxx 1,0 x , 將將 f (x)展開成展開成x 的冪級數的冪級數 ,21( 1)14nnn 的和的和. ( 01考研考研 )解解:211x 20( 1),nnnx ( 1,1)x arctanarctan0 x 201d1xxx 210( 1),21nnnxn ( )f x于是于是并求級數并求級數22101( 1)21nnnxxxn 1,0)(0,1x 22200( 1)( 1)2121nnnnnnxxnn 0( )(0)( )dxf xffxx 210( 1)arctan,21nnnxxn 1,

32、1x 第36頁/共50頁3721( 1)121nnnxn 220( 1)21nnnxn 21( 1)121nnnxn 121( 1)21nnnxn 21111( 1)2121nnnxnn 221( 1)12,14nnnxn 1,0)(0,1x 21( 1)14nnn 1 (1)12f142 ( )f x 21arctan,0 xxxx 1,0 x 22200( 1)( 1)( )2121nnnnnnf xxxnn 第37頁/共50頁38( )0000()( )() !() nnnnnnnffxf xc xxxcncn 若若( )( )ln(12 ) ,(0)2.nf xxf 求求例例 設設解：

33、解：ln(12 ) ln 1(2 )(xf xx 112nnnxn ( )2 ( !)(0)( !)nnnnfc nn 11()22x 10( 1) ( 2 ),( 121)1nnnxxn 10( 1) ln(1),( 1,11nnnxxxn 110121nnnxn (2010數數2)2 (1)!nn 第38頁/共50頁392( )( )ln(2) ,(1 .3).nf xxxf 求求例例 設設解：解：22ln(2) ln 1( )(1) xxf xx 211(1)nnxn (2 )2(2 )!(1)(2 )!nnnfcnn (02)x (21)(1)0 (21)!0nfn 210( 1) (

34、1) ,( 111)1nnnxxn 10( 1) ln(1),( 1,11nnnxxxn 2(1)01(1)1nnxn ( )0000()( )() !() nnnnnnnffxf xc xxxcncn 若若第39頁/共50頁402. ( )f x 的的傅傅里里葉葉級級數數10(cossin)2nnnaabnxnx ( ) f x1.2( )f x 周周期期為為的的函函數數的的傅傅里里葉葉系系數數. .1( )cosd(0,1,)naf xnxxn 1( )sind(1, 2,)nbf xnxxn 3.收斂定理：周期為2 的函數f (x)， 若滿足狄利克雷充分條件01( )(cossin)2n

35、nnaf xanxbnx ( )xf x 的的連連續續點點()()( ).2f xf xs x x 為為f (x)的間斷點，的間斷點，五、函數的傅里葉級數展開法五、函數的傅里葉級數展開法第40頁/共50頁41(1) S(x)與與 f (x)的的定義域為定義域為(2) S(x)與與f (x)的的周期性相同且周期相等周期性相同且周期相等. x 為為f (x)的連續點時的連續點時( )( )S xf x (3)S(x)與與f (x)的的奇偶性相同奇偶性相同.(,), 對定義域為對定義域為R的周期為的周期為2 的函數的函數f (x)01(cossin)2nnnaanxbnx ( )2.f x 稱稱為為

36、的的以以為為周周期期的的傅傅里里葉葉級級數數的的傅傅里里葉葉級級數數: :( )2f x 的的以以為為周周期期的的傅傅氏氏級級數數的和函數 S(x)與f (x)的關系：第41頁/共50頁42設周期為設周期為2l 的周期函數的周期函數 f (x)滿足收斂定理條件滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為則它的傅里葉展開式為01( )(cossin)2nnnan xn xf xabll (在在 f (x) 的連續點處的連續點處)1( )cosdlnlnxaf xxll 1( )sindlnlnxbf xxll 其中其中定理定理.(0,1, 2,)n (1, 2,)n 周期為2l的函數f (x)傅里葉級

37、數展開法4.正弦級數和余弦級數正弦級數和余弦級數(1)奇函數奇函數f (x)的傅氏級數稱為正弦級數的傅氏級數稱為正弦級數.(2)偶函數偶函數f (x)的傅氏級數稱為余弦級數的傅氏級數稱為余弦級數.第42頁/共50頁43作法作法:(22 )( )( )( )( )TtlF xffFxxxx 周周期期延延拓拓或或，的的連連續續點點的的定定義義域域1)對于非周期函數對于非周期函數,如果函數如果函數 只在區間只在區間 上有定義上有定義,并且滿足狄氏充分條件并且滿足狄氏充分條件,也可展也可展開成傅氏級數開成傅氏級數.)(xf, ,(, )l ll l, , ), 5.對于非周期函數對于非周期函數方法：方

38、法： 作作奇奇周期周期延拓延拓 , 展開為正弦級數展開為正弦級數 作作偶偶周期周期延拓延拓 , 展開為余弦級數展開為余弦級數2)對于非周期函數對于非周期函數,如果函數如果函數 只在區間只在區間 上有定義上有定義,并且滿足狄氏充分條件并且滿足狄氏充分條件,也可也可展開成傅氏級數展開成傅氏級數.)(xf,0)(0, 或或0, ),0, ,0)lll 第43頁/共50頁4421, 0 ( ),211,.0 xf xxx 設設函函例例數數則則其其以以為為周周期期的的x 傅傅里里葉葉級級數數在在點點處處收收斂斂于于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .x yO-2-23-3-121+解:,x 是是區區間間的的端端點點, ,由由收收斂斂性性定定理理知知x 該該級級數數在在處處收收斂斂于于+1 ( )( )2ff 即即21 11 2 2.2