1、絕密啟用前 試卷類型：A茂名市2015年第二次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科） 2015.4【試卷綜述】本試卷注重基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，符合高考命題的意圖和宗旨。注重基礎(chǔ)知識的考查。注重能力考查，要注重綜合性，又兼顧到全面，更注意突出重點試題減少了運算量、加大了思維量，降低了試題的入口難度，突出對歸納和探究能力的考查。【題文】第一部分 選擇題（共40分）【題文】一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）【題文】1. 設(shè)集合,則= （）.ABC D【知識點】交集及其運算A1【答案】【解析】D 解析：集合,=，故選D【思路點撥】根據(jù)集

2、合,找出它們的公共元素，再求交集【題文】2. 復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)是 （ ）.A B C D【知識點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義L4【答案】【解析】B 解析：因為復(fù)數(shù)1=1+=1i，在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（1，1）故選B【思路點撥】通過復(fù)數(shù)i的冪運算，化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，即可判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)【題文】3. 若離散型隨機變量的分布列為則的數(shù)學(xué)期望( ).A2 B2或 C D1【知識點】離散型隨機變量及其分布列【答案】【解析】C 解析：由離散型隨機變量分布列知：,解得，所以，故選C.【思路點撥】利用離散型隨機變量分布列的性質(zhì)求解【題文】4. 某三棱錐的

3、三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）.A B C D4 【知識點】由三視圖求面積、體積G2【答案】【解析】B 解析：根據(jù)該幾何體的三視圖可得該幾何是一個以俯視圖為底面的三棱錐，棱錐的底面面積S=×4×2=4，棱錐的高h(yuǎn)=1，故棱錐的體積V=Sh=，故選：B【思路點撥】根據(jù)該幾何體的三視圖可得該幾何是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出棱錐的底面積和高，代入棱錐體積公式可得答案【題文】5. 設(shè)變量滿足約束條件，則的最小值為（ ）.A. -3 B. -1 C13 D-5【知識點】簡單線性規(guī)劃E5【答案】【解析】A 解析：畫出約束條件 的可行域如下圖:易知當(dāng)直線經(jīng)過C(3.-3)

4、時，取得最小值，最小值為-3，故選A.【思路點撥】先畫出約束條件 的可行域，再求出可行域中各角點的坐標(biāo)，將各點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，分析后易得目標(biāo)函數(shù)的最小值【題文】6. 已知等差數(shù)列 的前項和為，則( ).A 2B3 C4 D5 【知識點】等差數(shù)列的通項公式D2【答案】【解析】C 解析：設(shè)等差數(shù)列 的首項為，公差為，因為，所以，解得，故選C.【思路點撥】由等差數(shù)列的通項公式和求和公式可得a1和d的方程組，解方程由通項公式可得【題文】7. 在中, , ,則的面積為（）.A3B C6D4【知識點】向量的數(shù)量積公式；三角形面積公式F3【答案】【解析】D 解析：因為，所以，即，則，故選D.【思路

5、點撥】先利用已知條件結(jié)合向量的數(shù)量積公式得到，再利用三角形面積計算即可。【題文】8. 若函數(shù)在實數(shù)集上的圖象是連續(xù)不斷的，且對任意實數(shù)存在常數(shù)使得恒成立，則稱是一個“關(guān)于函數(shù)”現(xiàn)有下列“關(guān)于函數(shù)”的結(jié)論：常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于函數(shù)”；“關(guān)于2函數(shù)”至少有一個零點；是一個“關(guān)于函數(shù)”其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( ).A1 B2 C3 D0【知識點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用B10【答案】【解析】B 解析：對任一常數(shù)函數(shù)，存在,有 所以有，所以常數(shù)函數(shù)是“關(guān)于函數(shù)”“關(guān)于2函數(shù)”為，當(dāng)函數(shù)不恒為0時有與同號定義在實數(shù)集上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，圖象與軸無交點，即無零點。對于設(shè)存在使得，即存在使得，也就是存在使得，也

6、就是存在使得，此方程有解，所以正確。故正確是，故選：B【思路點撥】根據(jù)抽象函數(shù)的定義結(jié)合“關(guān)于t函數(shù)”的定義和性質(zhì)分別進行判斷即可【題文】第二部分 非選擇題（共110分）【題文】二、填空題：（考生作答6小題，每小題5分，共30分）（一）必做題（913題）【題文】9. 不等式的解集為 .【知識點】絕對值不等式的解法E2【答案】【解析】 解析：原不等式轉(zhuǎn)化為或或，解得其解集為，故答案為?！舅悸伏c撥】利用分類討論去掉題中的絕對值，得到相應(yīng)的不等式組，解不等式組，求出不等式組解集的交集，得到本題結(jié)論【題文】10. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)>0 時, 1，則 .【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)B4【答

7、案】【解析】 解析：，故答案為。【思路點撥】根據(jù)是奇函數(shù)，故，而可直接代入已知函數(shù)中可求?！绢}文】11. 如圖所示的流程圖，若輸入的值為2，則輸出的值為 .【知識點】程序框圖L1【答案】【解析】7 解析：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x=2不滿足條件x6，x=1，x=3不滿足條件x6，x=5，x=7滿足條件x6，退出循環(huán)，輸出x的值為7故答案為：7【思路點撥】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，x=7時，滿足條件x6，退出循環(huán)，輸出x的值為7【題文】12. 已知直線與曲線相切于點(1，3)，則的值為 .【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程B11【答案】【解析】3 解析：直線y=kx+1

8、與曲線y=x3+ax+b相切于點A（1，3），又y=x3+ax+b，y'=3x2+ax，當(dāng)x=1時，y'=3+a得切線的斜率為3+a，所以k=3+a；由得：b=3故答案為：3【思路點撥】由于切點在直線與曲線上，將切點的坐標(biāo)代入兩個方程，得到關(guān)于a，b，k 的方程，再求出在點（1，3）處的切線的斜率的值，即利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再列出一個等式，最后解方程組即可得從而問題解決【題文】13. 已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，是坐標(biāo)原點，點、是兩曲線的交點，若，則雙曲線的實軸長為 .【知識點】雙曲線的簡單性質(zhì)H6【答案】【解析】 解析：拋物

9、線與雙曲線有相同的焦點，點的坐標(biāo)為（1，0），軸.設(shè)點在第一象限，則點坐標(biāo)為（1，2）設(shè)左焦點為，則=2,由勾股定理得，由雙曲線的定義可知.【思路點撥】求出拋物線的焦點（1，0），即有雙曲線的兩個焦點，運用向量的數(shù)量積的定義可得點坐標(biāo)，再由雙曲線的定義可得結(jié)論。【題文】（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題，兩題都答的，只計算第一題的得分）?！绢}文】14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知圓的極坐標(biāo)方程為,以極點為原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),則圓心到直線的距離為 .【知識點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程N3【答案】【解析】2 解析：圓的極坐標(biāo)方程為=2c

10、os，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x2+y22x=0，則：圓心坐標(biāo)為（1，0），直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x+y+21=0，則：圓心到直線的距離d=，故答案為：2【思路點撥】首先把圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，再把參數(shù)方程轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)方程，最后利用點到直線的距離公式求出結(jié)果【題文】15（幾何證明選講選做題）如圖，是圓的切線，切點為，點在圓上，則圓的面積為 .【知識點】與圓有關(guān)的比例線段N1【答案】【解析】 解析：弦切角等于同弧上的圓周角，BCD=60°，BOC=120°，BC=2，圓的半徑為：=2，圓的面積為：22=故答案為：【思路點撥】通過弦

11、切角，求出圓心角，結(jié)合弦長，得到半徑，然后求出圓的面積【題文】三、解答題：（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，共80分）【題文】16. （本小題滿分12分）已知函數(shù)圖象的一部分如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，, ,求的值.【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)；由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式C4 C5【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）由圖象可知， 1分 . 3分 . 4分（2） ，6分又 ，8分，. 10分12分【思路點撥】（1）由圖象可得A，T，由周期公式可求，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；（2）由，可求cos，又由，可求sin，結(jié)合角的范圍可求sin，cos

12、，由兩角差的正弦函數(shù)公式即可得解【題文】17. （本小題滿分12分）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（1）求這500件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)；（2）以這500件產(chǎn)品的樣本數(shù)據(jù)來估計總體數(shù)據(jù)，若從該企業(yè)的所有該產(chǎn)品中任取2件，記產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的件數(shù)為，求隨機變量的概率分布列.【知識點】頻率分布直方圖I2【答案】【解析】（1）275；（2）見解析 解析：（1）產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率為（0.022+0.033）×10=0.55質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為0.55×500=275

13、 4分（2）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的概率為0.1， 6分由題意可得: B(2,0.1) , , .的概率分布列為012P0.810.180.0112分【思路點撥】（1）求出這一批產(chǎn)品中測量結(jié)果在的產(chǎn)品的概率，即可求得結(jié)論；（2）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的概率為0.1，由題意可得: B(2,0.1)，進而列出分布列?！绢}文】18. （本小題滿分14分）在四棱錐中, 平面, ,底面是梯形,，（1）求證:平面平面;（2）設(shè)為棱上一點,試確定的值使得二面角為60º.【知識點】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定G5 G11【

14、答案】【解析】（1）見解析；（2） 解析：（1）證明：平面，在梯形中，過點作作，在中，又在中，.3分 . 5分. 6分 7分（2）法一：過點作交于點,過點作垂直于于點,連. 8分由（1）可知平面,平面,平面, ，是二面角的平面角， 10分 ， ，由（1）知=,，又 12分 ， . 14分（2）法二：以為原點,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖) 則. 令,則 . 9分平面, 是平面的法向量. 10分設(shè)平面的法向量為.則 ，即 即 .令,得 12分二面角為, 解得, 在棱上, 為所求. 14分【思路點撥】（1）過點B作BHCD于H，證明BCBDPDBC，通過直線與平面垂直的判定定理證明BC平

15、面PBD，利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明平面PBC平面PBD；（2）以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面PBD的法向量平面QBD的法向量，通過二面角結(jié)合數(shù)量積求解即可【題文】19. （本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且有 , 點在直線上. （1）求數(shù)列的通項公式；（2）試比較與的大小,并加以證明.【知識點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和D1 D4【答案】【解析】（1）；（2）見解析 解析：(1)當(dāng)時, ， 解得： 1分 當(dāng)時, ， 則有 ，即： 是以為首項，為公比的等比數(shù)列. 3分. 4分(2) 點在直線上 . 5分因為,

16、所以. 由-得, 所以. 8分因為 所以確定與的大小關(guān)系等價于比較與 的大小. 9分當(dāng)時，; 當(dāng)時, ；當(dāng)時, ; 當(dāng)時, 可猜想當(dāng)時, 10分證明如下:當(dāng)時, . 13分綜上所述, 當(dāng)時, ；當(dāng)時, ;當(dāng)時, . 14分【思路點撥】（1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式可得an；（2）作差比較大小即可得出【題文】20. （本小題滿分14分）已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓過點，離心率為，過直線上一點引橢圓的兩條切線，切點分別是、.（1）求橢圓的方程；（2）若在橢圓上的任一點處的切線方程是.求證：直線恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)；（3）是否存在實數(shù)，使得恒成立？(點為直線恒過的定點)若存在，求

17、出的值；若不存在，請說明理由.【知識點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程B11 H5 H8【答案】【解析】（1）；（2）直線恒過定點；（3）存在實數(shù)，使得恒成立. 解析：（1）由橢圓過點，可得 1分又， 2分解得：. 3分所以橢圓方程為. 4分（2）設(shè)切點坐標(biāo)為,直線上一點的坐標(biāo)，則切線方程分別為， 5分又因為兩切線均過點，則 6分即點的坐標(biāo)都適合方程，而兩點確定唯一的一條直線，故直線的方程是 7分顯然對任意實數(shù)，點（1，0）都適合這個方程，故直線恒過定點 8分 （3）將直線的方程，代入橢圓方程，得，即，9分所以 10分不妨設(shè)，因為，同理 11分所以12分即

18、 13分故存在實數(shù)，使得恒成立. 14分【思路點撥】（1）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)它的一個焦點和拋物線y2=4x的焦點重合，從而求出c值，再求出a和b的值，從而求解；（2）切點坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），直線l上一點M的坐標(biāo)（4，t），求出切線方程，再把點M代入切線方程，說明點A，B的坐標(biāo)都適合方程，而兩點之間確定唯一的一條直線，從而求出定點；（3）聯(lián)立直線方程和橢圓的方程進行聯(lián)立，求出兩根的積和兩根的和，求出|AC|，|BC|的長，求出的值看在不在，再進行判斷。【題文】21. （本小題滿分14分）設(shè)函數(shù) （1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點，線段的中點為C，直線AB的斜率為. 證明：；（3）設(shè)，對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用B11 B12【答案】【解析】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）見解析；（3）。 解析：（1）當(dāng)時，定義域為 2分當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 4分（2）證明：，5分又，所以，6分要證,即證，不妨設(shè)，即證,即證，設(shè)，即證：, 7分也