1、學習必備歡迎下載平面對量§2.1.1 、向量的物理背景與概念1、 明白四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量 .§2.1.2 、向量的幾何表示1、 帶有方向的線段叫做有向線段 ，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.2、 向量 ab 的大小，也就是向量ab 的長度（或稱模），記作ab ；長度為零的向量叫做零向量 ；長度等于1 個單位的向量叫做單位向量 .3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規定：零向量與任意向量平行.§2.1.3 、相等向量與共線向量1、 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量 .§

2、2.2.1 、向量加法運算及其幾何意義1、 三角形加法法就和平行四邊形加法法就.2、 ab ab .§2.2.2 、向量減法運算及其幾何意義1、 與 a 長度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量 .2、 三角形減法法就和平行四邊形減法法就.§2.2.3 、向量數乘運算及其幾何意義1、 規定：實數與向量 a 的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘 .記作：a ，它的長度學習必備歡迎下載和方向規定如下：aa ,當0 時,a 的方向與 a 的方向相同；當0 時,a 的方向與 a 的方向相反 .2、 平面對量共線定理：向量 a a0 與 b共線，當且僅當有唯獨一個實數，使 ba .

3、§2.3.1 、平面對量基本定理1、 平面對量基本定理：假如e1 ,e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內任一向量 a ，有且只有一對實數1,2 ，使 a1 e12 e2 .§2.3.2 、平面對量的正交分解及坐標表示1、axiy jx, y .§2.3.3 、平面對量的坐標運算1 、 設 ax1, y1 , bx2 , y2，就： abx1x2 , y1y2， abx1x2 , y1y2，ax1,y1， a / bx1 y2x2 y1 .2 、 設a x1 , y1 , bx2 , y2，就：abx2x1 , y2y1.§2.3.4 、平

4、面對量共線的坐標表示1、設a x1 , y1, b x2 , y2 , cx3 , y3，就線段 ab 中點坐標為x1 x2 2,，y1 y2 2 abc 的重心坐標為x1 x 2x33 , 1y2y3y3.§2.4.1、平面對量數量積的物理背景及其含義1、aba b cos.2、a 在 b 方向上的投影為：a cos.223、aa.學習必備歡迎下載24、aa.5、abab0 .§2.4.2、平面對量數量積的坐標表示、模、夾角1 、 設 ax1, y1 , bx2 , y2，就： abx1 x2y1 y2xy22 a11 aba b0x1 x2y1 y20 a / /bab

5、x1 y2x2 y102 、 設a x1 , y1 , bx2 , y2，就：2abx2x12y2y1.3、 兩向量的夾角公式c o sa bx1 x2y1 y2a bx 2y 2x2y211224、點的平移公式平移前的點為p x, y（原坐標） ，平移后的對應點為p x , y （新坐標） ，平移向量為xxhyyk.pph, k ，就函數 yf(x) 的圖像按向量ah, k 平移后的圖像的解析式為ykf xh.§2.5.1 、平面幾何中的向量方法§2.5.2 、向量在物理中的應用舉例空間向量空間向量的很多學問可由平面對量的學問類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值

6、的應用進行總結歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量：如 a 、b 是直線 l 上的任意兩點，就ab 為直線 l 的一個方向向量；與ab 平行的任意非學習必備歡迎下載零向量也是直線l 的方向向量 .平面的法向量：如向量 n 所在直線垂直于平面，就稱這個向量垂直于平面，記作 n，假如 n，那么向量 n 叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系數法） ： 建立適當的坐標系設平面的法向量為n x,y, z 求出平面內兩個不共線向量的坐標aa1, a2 , a3 , bb1, b2 ,b3 依據法向量定義建立方程組na0.n b0解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量 .（如圖

7、）1、 用向量方法判定空間中的平行關系 線線平行設直線l1 , l2 的方向向量分別是a 、b ，就要證明l1 l 2 ，只需證明 a b ，即 akbkr .即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線； 線面平行（法一）設直線 l 的方向向量是a ，平面的法向量是u ，就要證明 l ，只需證明 au ，即 a u0 .即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可. 面面平行如平面的法向量為u ，平面的法向量為 v ，要證，只需證 u v ，即證 uv .即：兩平面平行或重合兩平

8、面的法向量共線；3、用向量方法判定空間的垂直關系 線線垂直設直線l1 , l 2 的方向向量分別是a 、b ，就要證明l1l 2 ，只需證明ab ，即 a b0 .即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直； 線面垂直（法一）設直線 l 的方向向量是a ，平面的法向量是u ，就要證明 l，只需證明 a u ，學習必備歡迎下載即 au .（法二）設直線l 的方向向量是a ，平面內的兩個相交向量分別為m 、n ，如am0,就l.an0即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量都垂直； 面面垂直如平面的法向量為u ，平面的法向量為v ，要證，只需證 uv

9、 ，即證 u v0 .即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直；4、利用向量求空間角 求異面直線所成的角已知 a , b 為兩異面直線，a ， c 與 b ，d 分別是a, b 上的任意兩點，a, b 所成的角為，ac bd就 cos.ac bd 求直線和平面所成的角 定義： 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角求法： 設直線 l 的方向向量為a ，平面的法向量為 u ，直線與平面所成的角為， a 與u 的夾角為，就為的余角或的補角的余角 .即有：a usin 求二面角cos.a u定義： 平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線動身

10、的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點o，分別在兩個半平面內作射線 aol , bol ，就aob 為二面角l的平面角 .如圖：abloboa求法： 設二面角l的兩個半平面的法向量分別為m 、n ，再設 m 、n 的夾角為，學習必備歡迎下載二面角l的平面角為，就二面角為 m 、n 的夾角或其補角.依據詳細圖形確定是銳角或是鈍角：m n假如是銳角，就coscos，m nm n即arccos；m n 假如是鈍角，就coscosm nm n，即arccos.m nm n5、利用法向量求空間距離 點 q 到直線 l

11、 距離如 q 為直線 l 外的一點 , p 在直線 l 上， a 為直線 l 的方向向量， b = pq ，就點 q 到直線 l 距離為h12| a |b | a |a b 2點 a 到平面的距離如點 p 為平面外一點，點m 為平面內任一點，平面的法向量為n ，就 p 到平面的距離就等于mp 在法向量 n 方向上的投影的肯定值.即 dmpcosn, mpn mpmpn mpnmpn直線 a 與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等；由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離；n mp即 d.n兩平行平面,之間的距離利用兩平行平

12、面間的距離到處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離；n mp即 d.n異面直線間的距離設向量 n 與兩異面直線a, b 都垂直，ma, pb, 就兩異面直線a, b 間的距離 d 就是 mp在向量 n 方向上投影的肯定值；學習必備歡迎下載n mp即 d.n6、三垂線定理及其逆定理三垂線定理：在平面內的一條直線，假如它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直ppo,o推理模式：paaapaoa, aoaaa概括為：垂直于射影就垂直于斜線.三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，假如和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直po,o推理模式：paaaaoa, aap概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設 ac 是平面內的任一條直線， ad 是的一條斜線ab 在內的射影， 且 bd ad ，垂足為 d.設 ab 與ad 所成的角為1 ， ad 與 ac 所成的角為2 ， ab 與 ac 所成的角為就coscos1 cos2 .ba12dc8、 面積射影定理已知平面內一個多邊