1、運用基本不等式解決最值問題例析 2011/12/6 最值問題是高考的熱點問題之一 ,貫穿于高中數學的各個模塊 ,最 值問題又是進一步學習高等數學最值問題的基礎。 利用基本不等式求 最值是最常見且應用十分廣泛的方法 , 但許多最值問題不能直接的套 用公式求解 ,必須進行合理的拆添項或配湊因式 ,創造應用基本不等式 的條件才能套用?；静坏仁郊俺Ｒ娮冃?. 基本不等式+ 2ab （a,bR,當且僅當 a=b時取等號 ）a+b2（a,b ,當且僅當 a=b時取等號 ）2. 常見變形 ab ab 或a+b +3. 最值定理設 x>o y>0, 由 x+y 2得：若積 xy=p（定值），則當

2、 x=y 時，和 x+y有最小值 2 ;若和 x+y=s（ 定值 ）,則當 x=y時，積 xy 有最大值；注：均值不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式” 轉化為“和式”的放縮功能；均值不等式及推論主要用于求函 數的最值和證明不等式，解題時往往需要：一是創設一個應用 均值不等式的情境，二是使等號成立條件；在利用均值不等式 求最值時，一定要緊扣“一正二定三相等”這三個條件。二 解題示范例 1 設 0<x<4 求 y=x(4-x) 最大值？分析： x與 4-x 均為正數且 x+(4-x)=4 為定值， 由最值定理( 2)求之。解： y=x(4-x) =4當且僅當 x=4-x 即

3、x=2 時取等號當 x=2 時函數 y=x(4-x) 最大值為 4變式 設 0<x< 則 y=x(3-2x) 最大值為多少？解(略)變式 設a>0 b > 0且a+2b=3,求 ab的最大值？解(略)解題反思：例 1 與兩變式都是利用 ab求積的最大值，但兩因式和不定時需配湊一個系數使兩因式和為定值； 這組題也可轉化 為二次函數求最值問題。變式 設 x>0 y >0且 + =1,求 x + 最大值？ 分析：已知 + =1為定值，但 x 與 + 之和，平方和都不是定 值 故 需 進 行 系 數 配 湊 ， 再 利 用 ab求 解 。 即x + = 解(略)解題

4、反思： 平方和為定值時用 ab求最大值，和為定值時用 ab求最大值例2 設 x>0 求 y= x + 最小值？分析：x 與 均為正數且之積定值， 利用最值定理可求得當 x=3 時 y=x+ 取得最小值 6解(略)變式 設 x>5 求 y=x+ 的最小值？ 變式 設 x>-1 求函數 y=最小值？解題反思：分式函數 y= 求最值時， 常對分子進行變量分離轉 化為 y=ax+ 型，其中 abc 同號，再求最值。例3設a>0 b > 0,a+2b=1, 則 + 最小值為分析： 與 積不是定值， 求 + 最小值時不能套用最值定 理，因此將兩式結合起來，利用常數代換法或相乘

5、法。解 、 + =( + )(a+2b)=4+ + 4+2=8 當 且 僅 當解得 時取等號。 當，b= 時， + 取得最小值為 8 。變式 設x>0 y > 0且x+2y=4，求 + 的最小值？分析： + = + + (8+ + ) (8+2 )=2+解(略)變式 設 x>0 y >0且 2x+8y-xy=0, 求 x+y 最小值？ 分析：由 2x + 8y xy = 0 得， + =1, 轉化為上題型變式 a,b,c 均為正數，已知 a(a+b+c)+bc=9, 求 2a+b+c 最小值？ 變式 設 0<a<4，求 + 最小值？分析：若令 4-a=b ，

6、則 a+b=4，問題轉化為已知 a+b=4，求 + 的 最小值？解題反思： 該組題可認為都是給出了等式條件的最值問題， 常數 代換法是解決這內問題常用的技巧。例4 設a>0 b >0且 + =4,求 a+b的最大值？ 分析：均值不等式中將和放大的關系是 a+b +解 a+b + = =2 ，當且僅當 a=b= 時取等號， a+b 的最大值為 2變式 設 a>0 b >0且 a+b=1,求 + 最小值？ 注意，這組題可借助線性規劃知識求解，例 4 當直線 z=a+b 與園 + =4 相切時可求得 z 的最大值和最小值； 變式可認為直線上 的點到原點距離的平方。變式 求函數 y= + ， （ <x< ） 的最大值。 解（略）例 5 對任意的正數（ x+y）（ + ）9 恒成立，則正數 a的最小值為 多少?分析：恒成立問題與最值聯系密切，利用均值不等式可先求得（x+y）（ + ）的最小值，再解不等式得 a的范圍，求得 a 的最小 值。例 6