1、5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式【知識(shí)精讀】對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式x2 （a b） x a = x a x b進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的 兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。對(duì)于二次三項(xiàng)ax2 bx c （a、b、c都是整數(shù)，且a = 0 ）來(lái)說(shuō)，如果存在四個(gè)整數(shù)a!， g， a2， c2 滿足 ae2 = a， q c2 = c， 并且 ae? a2c b ， 那么二次三項(xiàng)式 ax bx c即a !a2 x 亠心42 a2s x 72可以分解為 a 5 a2x - c2。這里要確 定四個(gè)常數(shù)a,，5，a2，c2

2、，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類(lèi)型復(fù)雜，因此一般要借助畫(huà)十字交叉線的辦法來(lái)確定。下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解。【分類(lèi)解析】1. 在方程、不等式中的應(yīng)用例1.已知：x2 -11x24 0，求x的取值范圍。分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。2解： x - 11x24 - 0| x - 3 I x - 8 i，0x -30 x3 ：:0或x-8、0x-8：0.x - 8 或 x =3432例2.如果x x mx 2mx2能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。分析：應(yīng)當(dāng)把x4分成x2 x2，而對(duì)于常數(shù)項(xiàng)-2，可能分解成-12，

3、或者分解成-21，由此分為兩種情況進(jìn)行討論。2 2解：（1）設(shè)原式分解為 x ax - 1 x bx 2，其中a、b為整數(shù)，去括號(hào)，得：x4 亠 ja b x3 x2 亠2a_bx-2將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得：a b = _1, m = 1, 2a b = _2 m解得：a=_1, b=0, m=1I ” ， 2 2此時(shí)，原式=x 2 x x - 1(2)設(shè)原式分解為 x 亠 632 長(zhǎng)方形的面積為 15cm或 cm 3在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例.證明：若4x -y是7的倍數(shù)，其中x, y都是整數(shù)，則8x2 +10xy -3y2是49的倍數(shù)。 ex _2 x2 dx 1 ,其中c、d為整數(shù)

4、，去括號(hào)，得：432x 亠C dx x 亠C2dx2將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得：c d = -1，m = -1, c 2d = -2m解得：c=0，d i-1， m-1此時(shí)，原式=x 2 x x亠12. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為 x、y，周長(zhǎng)為16cm,且滿足x-y - x22 x y 22=0，求長(zhǎng)方形的面積。分析：要求長(zhǎng)方形的面積，需借助題目中的條件求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。2 2解：；xyx 2xyy 2=02 2x -2xy y jx - y ：2 =02-(x -y) - X -y -2 =0.x _y -2 x _y 1g=0.x-y-2=0 或 x-y1=0又

5、x y =8x-y-2=0 x-yT=0J或2Jx y = 8Jx y = 8x = 5 f x = 3.5解得：或Iy = 3| y = 4.5分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成49與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式。、 2 2證明一：8 x TOxy3y = 2 x - 3y 4xy2 2 x 3y = 4 x 6y =4x-y 7 y 4x _ y是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)（y是整數(shù)） 2 2x 3y是7的倍數(shù)而2與7互質(zhì)，因此,2x 3y是7的倍數(shù)，所以8x210 xy _3y2 是 49 的倍數(shù)。-4 -證明二：4x y是7的倍數(shù)，設(shè)4xy=7m （m是整數(shù)） 貝U y = 4 x

6、- 7m又28x210 xy -3y=2 x 3y 4x-# -# -2 x 12 x -21m 4 x - 4 x 7 m = 7 m 14 x - 21 m = 49 m 2x - 3mT x, m是整數(shù)， m 2x -3m 也是整數(shù) 所以，8x解：6x -7x -5 = 2x T 3x -5說(shuō)明：分解系數(shù)時(shí)一定要注意符號(hào)，否則由于不慎將造成錯(cuò)誤。5、題型展示例1.若x2 - y 2 mx 5-6能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（）A. 1 B. -1C. -1D. 2 T0xy-3y2是49的倍數(shù)。4、中考點(diǎn)撥例1把4x42y2-5x2y-9 y2分解因式的結(jié)果:解：4x42y2-5

7、x2y-9 y22£42=y4x5x92 221二 y4x-9x2二 yx21 2x3 2x -3說(shuō)明：多項(xiàng)式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。例2._ 2因式分解： 6x -7x-5=解： x - y 亠 mx 亠 5y_6=xy x_y)亠 mx 亠 5y_6-6可分解成-23或；-32，因此，存在兩種情況:(13(2)m2由（1）可得：m =1，由（1）可得:故選擇C。說(shuō)明：對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積, 再通過(guò)待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。2例2.已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足 a-c 4b-a

8、 c-b。求證：a _ b = b _ c、 2證明：；a-c =4b-a c-b2a-c -4 b - a c-b = 02 2 2.a 2ac c 4bc 4ac 4ab 4b 02*2a c 4b a c亠4b02a '-2b 0.a c - 2b = 0a b b c說(shuō)明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。例3.若x亠5x亠7x有一因式x亠1。求a，并將原式因式分解。32i ,解：；x 5x 7x a有一因式x - 1當(dāng) x 亠1 = 0，即 x = T 時(shí)，x3 5x2 亠7x a = 0.a = 33 2x 5x 7x3=x3 x2 4x2 4x 3x 32=x x1!

9、4xx1!4 3x12=x 亠1 x 4x3hx 1 x 1 x 32=(x +1 2(X +3 )說(shuō)明：由條件知，X - -1時(shí)多項(xiàng)式的值為零，代入求得a,再利用原式有一個(gè)因式是-6 -x -n-1，分解時(shí)盡量出現(xiàn) x訐1，從而分解徹底。【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.分解因式：(1) a2b2 16ab 39(2) 15 x2nn n屮2n半7 x y - 4y2(3) x23x-22 x3x 722.在多項(xiàng)式x 1，2x、3， x 亠 2x3，x 22-1， x 2 2x - 3，哪些是多項(xiàng)式x22x 4 10 x222x 9的因式?-7 -# -3. 已知多項(xiàng)式2x3 -x2 -13x - k有一個(gè)因

10、式，求 k的值，并把原式分解因式。4.分解因式:3x2 5xy-2y2 亠x 亠9y-4-# -【試題答案】1.2(1) 解：原式=ab | T6ab 39 = ab 3 ab 13(2) 解：原式=3x - y" " 5x“ 4yn 1(3) 解：原式=x 3x - 4 x 3x-18 = x 4 x -1 x 6 x-32.2 4 2 2解：x 2x -10 x 2x 922x22x - 1 -8 -# -2 2 2 2二 x2x 3 x2x3x2x1 x 2x12 2 2=x2x 3x 3x-1x1 x 2x-1其中 x - 1 , x - 3 , x22 x - 3

11、, x22 x - 1 是多項(xiàng)式2 4 2 2x 2x 10 x 2x ?川-9 的因式。說(shuō)明：先正確分解，再判斷。3.322解：設(shè)2x - x -13x k = 2x1 x ax b3232則 2x - x _13x k=2x 亠 i2a1x 亠a 2bx bOa +1 = -1 二+2b = 13p = ka = -1解得：*b =-6k = -62已知有322.k - -6 且 2x - x -13x-6h2x-1 x -x-6i；h2x-1 x-3 x說(shuō)明：待定系數(shù)法是處理多項(xiàng)式問(wèn)題的一個(gè)重要辦法，所給多項(xiàng)式是三次式，個(gè)一次因式，則另一個(gè)因式為二次式，由多項(xiàng)式乘法法則可知其二次項(xiàng)系數(shù)為14.解：簡(jiǎn)析：由于項(xiàng)數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。設(shè) 3x? 5xy2/ x 9y4= 3x-y m x 2y n22j.=3x 5xy - 2 y m 3n x 2m - n y mn-9 -比較同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)，得:-10