1、三門峽市實驗高中三門峽市實驗高中1、掌握優先處理元素（位置）法；、掌握優先處理元素（位置）法；2、掌握捆綁法；、掌握捆綁法；3、掌握插空法。、掌握插空法。4、隔板法、隔板法4、分組分配問題：、分組分配問題： 1、是否均勻；、是否均勻； 2、是否有組別。、是否有組別。復習引入：復習引入：什么叫做什么叫做從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m m個元素的一個排列個元素的一個排列？從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素，按照一定的）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的一個排列一個排列從從n個不同的元素中取

2、出個不同的元素中取出m（mn)個元素的所有排列的個個元素的所有排列的個數，叫做從數，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的排列數排列數. 用符號用符號 表示表示mnA什么叫做什么叫做從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m m個元素的排列數個元素的排列數？排列數的兩個公式是什么排列數的兩個公式是什么？)1()2)(1(mnnnnAmn!()!mnnAnm（n，mN*，mn）組合定義：組合定義：一般地說，從一般地說，從 n n 個不同元素中，任取個不同元素中，任取 m m (mn) (mn) 個元素并成一組，叫做從個元素并成一組，叫做從 n n 個不同元素中取個不同元素中

3、取出出 m m 個元素的一個組合。個元素的一個組合。組合數公式：組合數公式：mnn!n(n-1)(n-m+1)C =m!(n-m)!m!組合數的兩個性質組合數的兩個性質:（1） （2）mn -mnnC= Cmmm-1n+1nnC= C +C例例1：（：（1）7位同學站成一排，共有多少種位同學站成一排，共有多少種 不同的排法？不同的排法？分析：問題可以看作分析：問題可以看作7個元素的全排列個元素的全排列.775040A (2) 7位同學站成兩排位同學站成兩排(前前3后后4)，共有多少種，共有多少種不同的排法？不同的排法？分析分析:根據分步計數原理根據分步計數原理 76 5 432 17!5040

4、 (3) 7位同學站成一排，其中甲站在中間的位位同學站成一排，其中甲站在中間的位置置,共有多少種不同的排法？共有多少種不同的排法？分析分析:可看作甲固定可看作甲固定,其余全排列其余全排列 66720A (4) 7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？端的排法共有多少種？解解:將問題分步將問題分步第一步第一步:甲乙站兩端有甲乙站兩端有 種種第二步第二步:其余其余5名同學全排列有名同學全排列有 種種22A55A25252400A A共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。(5) 7位同學站成一排，甲、乙不能站在排位同學站

5、成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？頭和排尾的排法共有多少種？解法一解法一:(特殊位置法特殊位置法)第一步第一步:從其余從其余5位同學中找位同學中找2人站排頭和排尾人站排頭和排尾,有有 種種;25A第二步第二步:剩下的全排列剩下的全排列,有有 種種;55A25552400A A共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。解法二解法二:(特殊元素法特殊元素法)第一步第一步:將甲乙安排在除排頭和排尾的將甲乙安排在除排頭和排尾的5個個位置中的兩個位置上位置中的兩個位置上,有有 種種;25A第二步第二步:其余同學全排列其余同學全排列,有有 種種;55A2555

6、2400A A共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。(5) 7位同學站成一排，甲、乙不能站在排位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？頭和排尾的排法共有多少種？解法三解法三:(排除法排除法)先全排列有先全排列有 種種,其中甲或乙站排頭有其中甲或乙站排頭有 種種,甲或乙站排尾的有甲或乙站排尾的有 種種,甲乙分別站在排頭和甲乙分別站在排頭和排尾的有排尾的有 種種.77A662A662A2525A A7625762542400AAA A 共共有有種種答：共有答：共有2400種不同的排列方法。種不同的排列方法。(5) 7位同學站成一排，甲、乙不能站在

7、排位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？頭和排尾的排法共有多少種？優限法優限法:對于對于“在在”與與“不在不在”等類似等類似有限制有限制條件的排列問題條件的排列問題,常常使用常常使用“直接直接法法”(主要為主要為“特殊位置法特殊位置法”和和“特殊特殊元素法元素法”)或者或者“排除法排除法”,即即優先考優先考慮限制條件慮限制條件.這種方法就是這種方法就是優限法優限法.【總結歸納】【總結歸納】一般地，對于有限制條件的排列問題，有以下兩種方法：一般地，對于有限制條件的排列問題，有以下兩種方法：直接計算法直接計算法 排列的限制條件一般是：某些特殊位置和特殊元素排列的限制條件一般是：

8、某些特殊位置和特殊元素. 解決的辦法是解決的辦法是“特事特辦特事特辦”，對于這些特殊位置和元素，對于這些特殊位置和元素，實行優先考慮，即實行優先考慮，即特殊元素預置法特殊元素預置法、特殊位置預置法特殊位置預置法. 間接計算法間接計算法 先拋開限制條件，計算出所有可能的排列數，再從先拋開限制條件，計算出所有可能的排列數，再從中減去不合題意的排列數，特別要注意：不能遺漏，也中減去不合題意的排列數，特別要注意：不能遺漏，也不能重復不能重復. 即即排除法排除法.搞清限制條件的真正含義，做針對性文章！搞清限制條件的真正含義，做針對性文章！例例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個家庭一起外出旅游

9、，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個女孩看作一人與四個男孩排隊，有 種排法，而三個女孩之間有 種排法，所以不同的排法共有： （種）。5353720A A 55A33A捆 綁 法捆 綁 法若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？起，有多少種不同的排法？不同的排法有：不同的排法有：234234288A A A （種）說一說說一說捆綁法一般適用于捆綁法一

10、般適用于 問題的處理。問題的處理。 相鄰相鄰例例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。捆綁法捆綁法:對于對于相鄰相鄰問題問題,常常先將要相鄰的元素常常先將要相鄰的元素捆綁捆綁在一起在一起,視作為一個元素視作為一個元素,與其余與其余元素全排列元素全排列,再再松綁松綁后它們之間進行全后它們之間進行全排列排列.這種方法就是這種方法就是捆綁法捆綁法.若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排

11、有解：先把四個男孩排成一排有 種排法，在每一排種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有空檔中有 種方法，所以共有：種方法，所以共有： （種）（種）排法。排法。35A44A43451440A A 插 空 法插 空 法例例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有解：先把四個男

12、孩排成一排有 種排法，在每一排種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有空檔中有 種方法，所以共有：種方法，所以共有： （種）（種）排法。排法。33A44A4343144A A 插 空 法插 空 法例例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。甲、乙兩人的兩邊必須有其他人，有多少種不甲、乙兩人的兩邊必須有其他人，有多少種不 同的排法？同的排法？解：先把其余五人排成一排有 種排法，

13、在每一排列中有四個空檔（不包括兩端），再把甲、乙插入空檔中有 種方法，所以共有： （種）排法。24A55A52541440A A 插 空 法插 空 法例例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站個男孩，三家是一個女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。插空法插空法:對于對于不相鄰不相鄰問題問題,先將其余元素全排先將其余元素全排列列,再將這些不相鄰的元素再將這些不相鄰的元素插入空擋插入空擋中中,這種方法就是這種方法就是插空法插空法.例例3、1.將四個小球分成兩組，每組兩個，將四個小球分成兩組，每組兩個，有

14、多少分法？有多少分法？4種種2、將四個小球分給兩人，每人兩個，、將四個小球分給兩人，每人兩個， 有多少分法？有多少分法？甲甲甲甲乙乙乙乙6種種3、將四個小球分成兩組，一組三個，一組、將四個小球分成兩組，一組三個，一組一個，有多少分法？一個，有多少分法？4種種4、將四個小球分給兩人，一人三個，、將四個小球分給兩人，一人三個， 一人一個，有多少分法？一人一個，有多少分法？甲甲乙乙甲甲乙乙8種種若分成的若分成的m組是有組別的，組是有組別的，只需在原來的分組基礎上再只需在原來的分組基礎上再mmA 例例3:有有6本不同的書，分成本不同的書，分成3堆堆.（1）如果每堆）如果每堆2本，有多少種分法？本，有多

15、少種分法？（2）如果分成一堆）如果分成一堆1本，一堆本，一堆2本，一堆本，一堆3本，有多少種分法？本，有多少種分法？ 分析分析:這與例這與例2不同，區別在于把不同，區別在于把 6本不同的書分給甲、本不同的書分給甲、乙、丙乙、丙3人，每人人，每人2本，相當于把本，相當于把6本不同的書先分成本不同的書先分成3堆，再把分得的堆，再把分得的3堆分給甲、乙、丙堆分給甲、乙、丙3人人.2226423390156C C CA12365360C C C 總總 結：結： 分組分配問題主要有分組后分組分配問題主要有分組后有分配對象有分配對象( (即即組本身有序組本身有序) )的的均分均分與與不均分不均分問題及分組

16、后問題及分組后無分無分配對象配對象( (即組本身無序即組本身無序) )的的均分均分與與不均分不均分問題四種問題四種類型，常見的情形有以下幾種類型，常見的情形有以下幾種: :rrrrnrrnrnCCCC2 (2)均勻、有序分組均勻、有序分組: 把把n個不同的元素分成有序的個不同的元素分成有序的m組，每組組，每組r個元素，個元素，則共有則共有 種分法種分法.(其中其中mr=n)mmrrrrnrrnrnACCCC2 (1)均勻、無序分組均勻、無序分組: 把把n個不同的元素分成無序的個不同的元素分成無序的m組，每組組，每組r個元素，個元素，則共有則共有 種分法種分法.(其中其中mr=n)mmrrrrr

17、nrrnrnCCCC321211 (3)非均勻、無序分組非均勻、無序分組:把把n個不同的元素分成個不同的元素分成m組，第組，第1組組r1個元素，第個元素，第2組組r2個元素，第個元素，第3組組r3個元素，個元素，第第m組組rm個元素，個元素，則共有則共有 種分法種分法.(其中其中r1+r2+r3+rm=n)(4)非均勻、有序分組非均勻、有序分組:把把n個不同的元素分成個不同的元素分成m組，第組，第1組組r1個元素，第個元素，第2組組r2個元素，第個元素，第3組組r3個元素，個元素，第第m組組rm個元素，個元素，再分給再分給m個人，則共有個人，則共有 種分法種分法.(其中其中r1+r2+r3+r

18、m=n)mmrrrrrnrrnrnACCCCmm321211 (5)局部均勻分組局部均勻分組:把把n個不同的元素分成個不同的元素分成m組，其中組，其中m1個組有個組有r1個元個元素，素， m2個組有個組有r2個元素，個元素， mk個組有個組有rk個元素，個元素，則共有則共有 種分法種分法.(其中其中m1r1+m2r2+m3r3+mkrk=n)kkkkmmmmmmrrrmrnrrmnrrnrnAAACCCCC221121111111)1( 例例4:有有6本不同的書，分成本不同的書，分成4堆堆.（3）如果一堆）如果一堆3本，其余各堆各本，其余各堆各1本，有多本，有多少種分法？少種分法？（4）如果每

19、堆至多）如果每堆至多2本，至少本，至少1本，有多少本，有多少種分法？種分法？ 311163213320 3 2 1206C C C CA 22116421222215 6 2 1452 2C C C CA A 3620C或例例5:從從6個學校中選出個學校中選出30名學生參加數學競名學生參加數學競賽賽,每校至少有每校至少有1人人,這樣有幾種選法這樣有幾種選法?分析分析:問題相當于把問題相當于把30個相同的球放入個相同的球放入6個不同盒個不同盒子子(盒子不能空的盒子不能空的)有幾種放法有幾種放法?這類問題可用這類問題可用“隔隔板法板法”處理處理.小結：把小結：把n個相同元素分成個相同元素分成m份，

20、每份至少份，每份至少1個元素，問有多少種不同分法的問題可以個元素，問有多少種不同分法的問題可以采用采用“隔板法隔板法”.共有：共有：529118755C11mnC變式變式1:將將7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4個不同個不同盒子，每盒至少盒子，每盒至少1球的放法有多少種？球的放法有多少種？變式變式2:將將7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4個不同個不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？3620C 310120C課堂練習：課堂練習：1、4個學生和個學生和3個老師排成一排照相，老師不能排兩端，個老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須排在

21、一起的不同排法種數是（且老師必須排在一起的不同排法種數是（ ） A . B . C . D .77A3344AA223322AAA333324AAAD2、計劃展出、計劃展出10幅不同的畫，其中幅不同的畫，其中1幅水彩畫，幅水彩畫，4幅油畫，幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，那么不同的陳列方式有（一起，那么不同的陳列方式有（ ）4545AA A345345BA A A145345CA A A245245DA A AB3、在、在7名運動員中選出名運動員中選出4名組成接力隊，參加名組成接力隊，參加4100米米接力賽，那么甲、乙

22、兩人都不跑中間兩棒的安排方法接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？有多少種？)(400252235121245種AAAAAA練習練習2:將將5個人分成個人分成4個組，每組至少個組，每組至少1人，人， 則分組的種數是多少？則分組的種數是多少？1112321533CCCCA25C練習練習1:將將12個人分成個人分成2，2，2，3，3的的5個個組，則分組的種數是多少？組，則分組的種數是多少？2223312108633232CCCCCAA練習練習3:9件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？ 1.甲得甲得2件，乙得件，乙得3件，丙得件，丙得4件，有多少

23、種分法？件，有多少種分法？ 2.一人得一人得2件，一人得件，一人得3件，一人得件，一人得4件，有多少種件，有多少種分法？分法？ 3.每人每人3件，有多少種分法？件，有多少種分法？ 4.平均分成三堆，有多少種分法？平均分成三堆，有多少種分法？ 5.分為分為2、2、2、3四堆，有多少種分法？四堆，有多少種分法？ 解：解：2349741260C C C 234397437560C C C A 3339631680C C C 33396333280C C CA22236423331260C C CCA課堂小結：課堂小結：1、對限制條件較復雜的排列組合應用題，要周、對限制條件較復雜的排列組合應用題，要周密分析，設計出合理的方案，把復雜問題分解密分析，設計出合理的方案