1、第四章：土的本構理論 土的本構關系又稱為本構模型，即描述土的應力土的本構關系又稱為本構模型，即描述土的應力應變關系的數學表達式。土的應變關系的數學表達式。土的-關系很復雜，具有關系很復雜，具有非線性、粘彈塑性，同時強度發揮程度、應力歷史以及非線性、粘彈塑性，同時強度發揮程度、應力歷史以及土的組成狀態和結構等對其都有影響。土的組成狀態和結構等對其都有影響。 已建立的本構模型很多，重要的有以下幾類：已建立的本構模型很多，重要的有以下幾類：l 彈性模型彈性模型-Winkler、彈性半空間、分層地基模型、彈性半空間、分層地基模型l 非線性彈性模型非線性彈性模型-D-C模型模型l 彈塑性模型彈塑性模型-

2、劍橋模型劍橋模型l 粘彈性模型粘彈性模型l 邊界面模型邊界面模型l 內蘊時間模型內蘊時間模型土的變形特性：土的變形特性：l 非線性和非彈性非線性和非彈性l 塑性體積應變和剪脹性塑性體積應變和剪脹性l 塑性剪應變塑性剪應變l 硬化和軟化硬化和軟化l 應力路徑和應力歷史對變形的影響應力路徑和應力歷史對變形的影響l 中主應力對變形的影響中主應力對變形的影響l 高固結壓力的影響高固結壓力的影響l 各向異性各向異性 在簡單應力條件下，可以通過試驗的方法確定土的在簡單應力條件下，可以通過試驗的方法確定土的本構關系，但在復雜應力條件下試驗就比較困難，因此，本構關系，但在復雜應力條件下試驗就比較困難，因此，根

3、據簡單應力條件下得到的結果，結合理論分析的方法根據簡單應力條件下得到的結果，結合理論分析的方法建立復雜應力條件下的本構關系，求得普遍形式的本構建立復雜應力條件下的本構關系，求得普遍形式的本構方程。方程。 彈性理論彈性理論 彈塑性理論彈塑性理論4.1 4.1 線性彈性理論線性彈性理論線性彈性理論假定變形是可逆的，應力與應變一一對應。線性彈性理論假定變形是可逆的，應力與應變一一對應。l 橫觀同性介質橫觀同性介質（豎向與橫向異性）（豎向與橫向異性）具有一個對稱軸，如取具有一個對稱軸，如取z軸作為對稱軸，與該軸垂直的軸作為對稱軸，與該軸垂直的xy平面內各方向具有相同的彈性參數，再根據假定正應力平面內各

4、方向具有相同的彈性參數，再根據假定正應力不引起剪應變，剪應力不引起正應力，一個剪應力分量不引起剪應變，剪應力不引起正應力，一個剪應力分量僅產生一個剪應變分量，在小應變假設下疊加原理，可僅產生一個剪應變分量，在小應變假設下疊加原理，可以得到本構方程：以得到本構方程：zxvzxhyhvhxhvvzzyzvyzvzvhhxhhhyyxyhxyvzvhhyhhhxxG，EEEG，EEEG，EEE111vhvhhvhhhhEEEG，)1(2l 各向同性介質各向同性介質材料在各向同性條件下，本構方程即為廣義虎克定律：材料在各向同性條件下，本構方程即為廣義虎克定律：zxzxyxzzyzyzxzyyxyxyz

5、yxxG，)(EG，)(EG，E11111)(1從中解出應力分量：從中解出應力分量：DGG，GeG，GeG，Geijijvijzxzxzvzyzyzyvyxyxyxvx2222， E-形式的本構關系形式的本構關系)1(2)21)(1(000000200020002DEGEGGGGGG，稱對對于各向同性材料，獨立的彈性常數只有對于各向同性材料，獨立的彈性常數只有2 2個，另外，剪個，另外，剪應變不引起體積應變。應變不引起體積應變。 B-G形式的本構關系形式的本構關系為了將應力和應變的球張量與偏張量分開，將三個正應為了將應力和應變的球張量與偏張量分開，將三個正應力公式相加：力公式相加：由應力計算公

6、式，得到應力偏量：由應力計算公式，得到應力偏量：由此得到由此得到B-G形式的本構關系：形式的本構關系：或合并：或合并：)21(3332EB，BBGmvvm體積彈性模量體積彈性模量ijmijmijijmijmijijGe-GBGs2)(2323偏應變張量偏應變張量ijijmvmGesBB23球應力球應力球應變球應變偏應力偏應力偏應變偏應變DDGeBklijklijijmij或23v=3m其中其中或或jlikklijijklGGBD232GGGG/BG/BG/BG/BG/BG/B0稱00對000340003234000323234D同樣，獨立的彈性常數只有同樣，獨立的彈性常數只有2 2個，相互可以

7、換算。個，相互可以換算。 彈性常數彈性常數變形模量變形模量 E0：土的變形具有非線性特征，只有在一定：土的變形具有非線性特征，只有在一定范圍內才可以近似地應用線彈性模型，而且土的變形幾范圍內才可以近似地應用線彈性模型，而且土的變形幾乎從開始就包含塑性變形，因此，土的彈性常數一般采乎從開始就包含塑性變形，因此，土的彈性常數一般采用變形模量。用變形模量。壓縮模量壓縮模量Es：變形模量：變形模量E0是在無側限條件下得到的，是在無側限條件下得到的，壓縮模量壓縮模量Es則是在有側限條件下得到的，兩者可以互換。則是在有側限條件下得到的，兩者可以互換。彈性模量彈性模量E：車輛、振動荷載作用下，大部分變形是可

8、：車輛、振動荷載作用下，大部分變形是可逆的彈性變形，采用壓縮模量或變形模量式，計算結果逆的彈性變形，采用壓縮模量或變形模量式，計算結果偏大，應采用彈性模量。偏大，應采用彈性模量。l 模型評價與應用模型評價與應用由于在一定的荷載范圍內，土的應力由于在一定的荷載范圍內，土的應力-應變曲線近似直應變曲線近似直線，用線彈性模型進行分析簡單易行，有些情況下能得線，用線彈性模型進行分析簡單易行，有些情況下能得到滿足精度要求的結果。到滿足精度要求的結果。廣義虎克定律未能反映土的壓硬性和剪脹性，前者表廣義虎克定律未能反映土的壓硬性和剪脹性，前者表示應力球張量對應變偏張量的影響，后者反映應力偏張示應力球張量對應

9、變偏張量的影響，后者反映應力偏張量對應變球張量的影響。量對應變球張量的影響。4.2 4.2 非線性彈性理論非線性彈性理論非線性是土的基本變形特性之一，非線性彈性模型考慮非線性是土的基本變形特性之一，非線性彈性模型考慮了土的非線性特性，但與應力歷史與應力路徑無關，加了土的非線性特性，但與應力歷史與應力路徑無關，加載與卸載仍按同一路徑進行，變形是可逆的。載與卸載仍按同一路徑進行，變形是可逆的。l 模型的一般說明模型的一般說明Green超彈性模型超彈性模型超彈性模型假定，材料在一定的應力或應變狀態下，具超彈性模型假定，材料在一定的應力或應變狀態下，具有唯一的能量密度函數有唯一的能量密度函數(ij)或

10、或W(ij)且二階可微，本構且二階可微，本構方程為：方程為：將具有該性質的材料稱超彈性材料。將具有該性質的材料稱超彈性材料。ijijijijW或增量型本構方程：增量型本構方程：klesijklklklijklklijijklesijklklklijklklijijdCddddDdWdd22割線彈性張量割線彈性張量超彈性模型適用于比例加載情況。超彈性模型適用于比例加載情況。Cauchy彈性模型彈性模型模型假定當前的應力或應變張量唯一地取決于當前的應模型假定當前的應力或應變張量唯一地取決于當前的應變或應力張量，與到達此應變或應力的歷史無關。本構變或應力張量，與到達此應變或應力的歷史無關。本構方程為

11、：方程為：)()(mnijijmnijijFf或最簡單的最簡單的Cauchy彈性模型具有廣義虎克定律相同的形式，彈性模型具有廣義虎克定律相同的形式，若采用若采用B-G形式：形式：ijsijmsvsmeGsBB23msij2eij割線體積模量割線體積模量割線剪切模量割線剪切模量)(mssBB )(ijsseGG ijtijmtmdeGdsdBd23增量形式增量形式切線體積模量切線體積模量切線剪切模量切線剪切模量次彈性模型次彈性模型超彈性模型與超彈性模型與Cauchy彈性模型都有與應力路徑無關的假彈性模型都有與應力路徑無關的假定，應力定，應力-應變之間存在一一對應的關系。實際上，土的應變之間存在一

12、一對應的關系。實際上，土的變形與應力路徑有關，次彈性模型放松要求，采用應力變形與應力路徑有關，次彈性模型放松要求，采用應力或應變路徑在增量意義上的最小彈性性質，本構方程為：或應變路徑在增量意義上的最小彈性性質，本構方程為：在建立次彈性模型中，實際上只要將胡克定律彈性矩陣在建立次彈性模型中，實際上只要將胡克定律彈性矩陣中的彈性常數中的彈性常數E、或或B、G改為切線彈性參數改為切線彈性參數Et、t或或Bt、Gt即可，它們是隨應力或應變而變化的量。即可，它們是隨應力或應變而變化的量。kltijklijkltijklijdCddDd與應變或應力路徑有關的彈性張量與應變或應力路徑有關的彈性張量l Dun

13、can-Chang模型（模型（D-C模型）模型） 特點特點 如下圖所示，實際上加荷路徑不等于卸荷路徑，為如下圖所示，實際上加荷路徑不等于卸荷路徑，為非彈性。現假定卸荷路徑與加荷路徑相同，即與路徑無非彈性。現假定卸荷路徑與加荷路徑相同，即與路徑無關，只考慮關，只考慮OA，認為，認為AB與與OA重合，即為非線性。重合，即為非線性。AOB非線性彈性地基模型非線性彈性地基模型 D-C模型的假設和表達式模型的假設和表達式 Duncan-Chang(1970)根據根據Kondner的建議，假設在的建議，假設在常規三軸試驗條件下的加載和卸載應力應變曲線均為常規三軸試驗條件下的加載和卸載應力應變曲線均為雙曲線

14、，并利用摩爾庫侖準則導出了非線性彈性地基雙曲線，并利用摩爾庫侖準則導出了非線性彈性地基模型的切線模量公式。模型的切線模量公式。OEi113-1( )ult13-( )13-f雙曲線應力應變關系雙曲線應力應變關系 切線彈性模量切線彈性模量 Et基于三軸排水試驗建立起來的非線性模型，對于正常固基于三軸排水試驗建立起來的非線性模型，對于正常固結粘性土、松砂及中密砂，具有應變硬化特征，偏應力結粘性土、松砂及中密砂，具有應變硬化特征，偏應力q=1-3與軸應變與軸應變1之間的關系可以用雙曲線進行擬合，之間的關系可以用雙曲線進行擬合，可表示為：可表示為：將上式改寫：將上式改寫：令令1，1131baa、b：試

15、驗常數：試驗常數ba/1311ultultbb)(11)(3131或偏應力極限值偏應力極限值在常規三軸試驗里，通常在常規三軸試驗里，通常3為常數，則切線模量可定義為常數，則切線模量可定義為：為：令令1=0，得到初始切線模量：，得到初始切線模量：21211113111)()(1)(baababbaddddEtaEi1為消除切線模量公式中的軸應變為消除切線模量公式中的軸應變1，先從雙曲線方程中，先從雙曲線方程中解出軸應變：解出軸應變：再將其代入切線模量計算公式中，即可根據再將其代入切線模量計算公式中，即可根據Ei和和(1-3)ult求出切線模量求出切線模量 Et，由于初始模量及極限偏應力都，由于初

16、始模量及極限偏應力都是定值，所以，可以根據偏應力確定切線模量。是定值，所以，可以根據偏應力確定切線模量。根據試驗資料，根據試驗資料，Janbu提出提出Ei與圍壓與圍壓3之間的關系：之間的關系：)/(1)(1)(ult31313131311EbaiaEainaaEipnKpEppKE33lglglg或為確定極限偏應力，引入破壞比為確定極限偏應力，引入破壞比Rf將軸應變將軸應變1、Ei、 (1-3)ult的表達式代入到切線模量公式的表達式代入到切線模量公式里，得到：里，得到：破壞應力破壞應力(1-3)f可根據可根據M-C破壞準則確定：破壞準則確定：代入代入Et公式中后，得到：公式中后，得到：ult

17、ffR)()(3131（Rf值一般為值一般為0.751.00）232313131)()(1LfnaaEffnaaEtSRppKRppKE應力水平應力水平fLS)(3131sinsincos122)(331cf2331322)(1(1sincossincRppKEfnaaEt包含包含5個參數：個參數：KE、n、c、Rfk、n為試驗常數，正常固結粘性土，為試驗常數，正常固結粘性土，n=10，一般情況下，一般情況下在在0.21.0之間；之間；k值隨土類變化大，可能小于值隨土類變化大，可能小于100，也可，也可能大于數千。能大于數千。破壞時的偏應力破壞時的偏應力(1-3)f，砂性土取試驗曲線，砂性土取

18、試驗曲線-1的峰值，的峰值，粘性土取粘性土取1=15%20%對應的對應的(1-3)值。值。O13-1( )13-f砂 性 土粘 性 土破壞時的偏應力值破壞時的偏應力值 切線泊桑比切線泊桑比 t（應用較少）（應用較少）根據試驗，有建議軸應變與側向應變之間的關系為：根據試驗，有建議軸應變與側向應變之間的關系為：根據定義：根據定義：令令1=0，得到初始切線泊桑比：，得到初始切線泊桑比：根據試驗，初始泊桑比與圍壓有關，假定如下：根據試驗，初始泊桑比與圍壓有關，假定如下：可以得到切線泊桑比的表達式：可以得到切線泊桑比的表達式：1131dff、d 為試驗參數為試驗參數2113)1(dfddtfiaipFG

19、3lgG、F 為試驗參數為試驗參數21321)1()()1(d/pFGdaitlg將將1代入上式：代入上式：按上式計算得到的切線泊桑比可能大于按上式計算得到的切線泊桑比可能大于0.5，但在有限元，但在有限元計算中，如計算中，如t大于大于0.5，剛度矩陣會出現異常，在實際計，剛度矩陣會出現異常，在實際計算中，當算中，當t0.49時，取時，取t=0.49。切線體積模量切線體積模量Bt由于按上式計算得到的切線泊桑比經常偏大，由于按上式計算得到的切線泊桑比經常偏大，Duncan等等建議采用建議采用E-B模型，用切線體積模量模型，用切線體積模量Bt取代取代t作為計算參作為計算參數。數。在常規三軸試驗中，

20、在常規三軸試驗中，2=3且為常數，則在加載過程中的且為常數，則在加載過程中的平均應力增量為：平均應力增量為：23313313)22)/(1)(1 )()(1)(sincossinlgcR/ppKd/pFGfnaaEatG、F 、d為試驗參數為試驗參數3)(3311/p根據定義：根據定義：由于由于(1-3)與與v之間不呈線性關系，之間不呈線性關系，Bt就不是一個常量，就不是一個常量，Duncan等取與等取與SL=0.7相應的點與原點連線斜率作為相應的點與原點連線斜率作為Bt：將不同的將不同的Bt與與3/pa在對數圖上繪圖，可以得到：在對數圖上繪圖，可以得到：vvtpB)(313170313.Sv

21、tLBmaaBtppKB3KB、m為參數為參數 模型的修正模型的修正由于模型采用由于模型采用M-C破壞準則和常規三軸試驗破壞準則和常規三軸試驗(2=3)，模，模型不能考慮中間主應力的影響，為此，有人提出了一些型不能考慮中間主應力的影響，為此，有人提出了一些修正的方法，如將常規三軸試驗應力狀態量推廣到廣義修正的方法，如將常規三軸試驗應力狀態量推廣到廣義應力狀態量，即用廣義正應力應力狀態量，即用廣義正應力p和廣義剪應力和廣義剪應力q代替代替3和和(1-3)根據上述計算公式，當根據上述計算公式，當3=0時，時，Ei、Bt都等于都等于0，顯然與，顯然與實際情況不符，因此有人建議，當實際情況不符，因此有

22、人建議，當3pc時，用時，用3計算模計算模量，當量，當3pc時，用時，用pc計算模量。計算模量。21LfnaaEtSRpppKEmaaBtpppKBMMpqqqSfLsinsin36， 適用性適用性 D-C模型適用于荷載不太接近破壞的條件下模型土的模型適用于荷載不太接近破壞的條件下模型土的 -非線性情況。非線性情況。 該模型能用于上部結構與地基基礎共同作用分析。該模型能用于上部結構與地基基礎共同作用分析。 忽略了應力路徑和剪脹性的影響。忽略了應力路徑和剪脹性的影響。 卸載和重復加載時彈性模量卸載和重復加載時彈性模量kur、n：試驗常數：試驗常數naaururppKE3l Domaschuk-V

23、alliappan模型模型建議用建議用B-G模型進行非線性彈性增量分析，其增量形式模型進行非線性彈性增量分析，其增量形式為：為：stvtdGdqdBdp3， Bt的確定的確定利用各向等壓固結試驗結果，整理成利用各向等壓固結試驗結果，整理成p=p（v）關系曲）關系曲線，求得切線體積模量線，求得切線體積模量Bt=dp/dv；將試驗結果整理成將試驗結果整理成ep關系曲線，即：關系曲線，即：根據定義：根據定義：)(aappeelnlnaaaveeeeeVV110按初始位置確定體積應變增量：按初始位置確定體積應變增量：按瞬時位置計算：按瞬時位置計算：根據定義：根據定義：為不變量）（aaaaveedeee

24、edd11)(ededv1)1(,1e-ddep-dedppeddededpddpBvvvt Gt的確定的確定利用常規三軸固結排水試驗確定利用常規三軸固結排水試驗確定Gt。假定應力假定應力-應變曲線符合雙曲線模型：應變曲線符合雙曲線模型：isisssGbGbaq/13Gi：初始剪切模量：初始剪切模量將上式微分，得到切線剪切模量：將上式微分，得到切線剪切模量：根據試驗確定初始剪切模量：根據試驗確定初始剪切模量：設設q的破壞值為的破壞值為qf，與極限值，與極限值qult的比值為的比值為Rf：根據試驗：根據試驗：由此得到：由此得到：231qbGGiticcieppBApGlneic：初始孔隙比：初始

25、孔隙比A、B：試驗常數：試驗常數bRqRqfultff33iccfeppq103、：試驗常數：試驗常數21031iccfitepp/q/RGG4.3 4.3 彈塑性理論框架彈塑性理論框架 把土總的變形分成彈性變形和塑性變形兩部分，用把土總的變形分成彈性變形和塑性變形兩部分，用虎克定律求虎克定律求“彈性變形彈性變形”，用塑性理論求，用塑性理論求“塑性變形塑性變形”。對于塑性變形有三個假定：對于塑性變形有三個假定：破壞準則和屈服準則；破壞準則和屈服準則；硬化規律；硬化規律；流動法則。流動法則。l 破壞準則破壞準則破壞準則為判別破壞與否的標準。破壞準則為判別破壞與否的標準。 Tress（屈雷斯卡）準

26、則（屈雷斯卡）準則 Mises （米塞斯）準則（米塞斯）準則 Mohr-Coulomb （摩爾庫侖）準則（摩爾庫侖）準則 Lade-Duncan （拉德鄧肯）準則（拉德鄧肯）準則()ijffk塑性階段的本構特性受應力歷史和應力路徑的影響，應塑性階段的本構特性受應力歷史和應力路徑的影響，應力力-應變之間不再具有一一對應的關系。塑性本構關系從應變之間不再具有一一對應的關系。塑性本構關系從本質上是增量型的，即應力增量與應變增量之間的關系。本質上是增量型的，即應力增量與應變增量之間的關系。l 屈服準則屈服準則屈服準則為判別屈服與否的標準（屈服函數屈服面屈服準則為判別屈服與否的標準（屈服函數屈服面屈服準

27、則硬化規律）。屈服準則硬化規律）。屈服屈服材料發生塑性變形即為屈服；材料發生塑性變形即為屈服；屈服條件屈服條件屈服時應力滿足的條件，建立屈服條件的屈服時應力滿足的條件，建立屈服條件的任務由屈服準則完成；任務由屈服準則完成；屈服面屈服面在應力空間中，區分彈性區域與塑性區域的在應力空間中，區分彈性區域與塑性區域的分界面；分界面； 帽子類模型反映土的體積變形特性。帽子類模型反映土的體積變形特性。 開口的錐形屈服面模型反映塑性剪切變形。開口的錐形屈服面模型反映塑性剪切變形。 雙屈服面模型雙屈服面模型對于應變硬化材料，初次進入屈服時稱為初始屈服，相對于應變硬化材料，初次進入屈服時稱為初始屈服，相應的屈服

28、面稱為初始屈服面，初始屈服條件的一般形式：應的屈服面稱為初始屈服面，初始屈服條件的一般形式：屈服曲線屈服曲線屈服面與偏平面或屈服面與偏平面或平面的交線稱屈服曲線平面的交線稱屈服曲線或屈服軌跡；或屈服軌跡；硬化材料從初始屈服經過一定的階段才到達破壞，一般硬化材料從初始屈服經過一定的階段才到達破壞，一般假定破壞準則與屈服準則具有相同的形式，只是常數項假定破壞準則與屈服準則具有相同的形式，只是常數項有所區別，前者是后者的極限形式。有所區別，前者是后者的極限形式。這樣，土的屈服準則可以由破壞準則直接得到：這樣，土的屈服準則可以由破壞準則直接得到：Tresca屈服準則：屈服準則：Mises屈服準則：屈服

29、準則：0231kf022kJf0)(，kfijf：屈服函數：屈服函數k：屈服參數：屈服參數l 硬化規律硬化規律當材料達到屈服后，屈服的標準要改變，隨什么而變，如何變化，當材料達到屈服后，屈服的標準要改變，隨什么而變，如何變化，即硬化規律。即硬化規律。后繼屈服、后繼屈服面后繼屈服、后繼屈服面對于硬化材料，進入硬化階段后，卸載對于硬化材料，進入硬化階段后，卸載再加載時屈服極限會提高，再進入屈服時稱后繼屈服，相應的屈服再加載時屈服極限會提高，再進入屈服時稱后繼屈服，相應的屈服面稱后繼屈服面；面稱后繼屈服面；加載、加載面加載、加載面進入塑性階段后，卸載不產生塑性變形，只有加進入塑性階段后，卸載不產生塑

30、性變形，只有加載才會出現后繼屈服，因此后繼屈服也稱加載，后繼屈服面稱為加載才會出現后繼屈服，因此后繼屈服也稱加載，后繼屈服面稱為加載面。載面。對于硬化材料，后繼屈服面或加載面隨塑性變形的發展而變化，直對于硬化材料，后繼屈服面或加載面隨塑性變形的發展而變化，直至極限即破壞面，說明這種后繼屈服面變化規律的為后繼屈服條件，至極限即破壞面，說明這種后繼屈服面變化規律的為后繼屈服條件，其一般形式為：其一般形式為：當塑性應變趨于當塑性應變趨于0，H=0，f(ij，H)退化為初始屈服函數。退化為初始屈服函數。0)(ij,Hff：后繼屈服函數：后繼屈服函數H：硬化參數：硬化參數硬化模型常用的有兩種：硬化模型常

31、用的有兩種：等向硬化模型等向硬化模型假設拉伸時的硬化屈服極限與壓縮假設拉伸時的硬化屈服極限與壓縮時的硬化屈服極限相等，在塑性變形過程中后繼屈服面時的硬化屈服極限相等，在塑性變形過程中后繼屈服面逐漸均勻擴大，適合于單調加載情況；逐漸均勻擴大，適合于單調加載情況；隨動硬化模型隨動硬化模型假設在塑性變形過程中，后繼屈服假設在塑性變形過程中，后繼屈服面只作空間平動，不改變大小和形狀，只適合于加載路面只作空間平動，不改變大小和形狀，只適合于加載路徑與原來硬化方向比較接近的情況。徑與原來硬化方向比較接近的情況。若同時考慮兩種基本硬化現象，加載函數可以寫成以若同時考慮兩種基本硬化現象，加載函數可以寫成以下形

32、式：下形式：通常，假定通常，假定H為塑性功：為塑性功：也可以假定也可以假定H為塑性體積應變和塑性廣義剪應變的函數：為塑性體積應變和塑性廣義剪應變的函數：0)(0)(,H,f,H,fppijij或ppijpTpijijpddWH00)(pspv,HH l 流動法則流動法則又稱正交定律，確定塑性應變增量方向的的一條規定。又稱正交定律，確定塑性應變增量方向的的一條規定。即應力狀態為即應力狀態為 時，產生的塑性應變增量時，產生的塑性應變增量 與通過與通過該點的塑性勢面成正比關系。該點的塑性勢面成正比關系。Mises提出塑性應變增量與塑性勢函數存在如下關系：提出塑性應變增量與塑性勢函數存在如下關系：g：

33、為塑性勢面的數學表達式稱塑性勢函數。：為塑性勢面的數學表達式稱塑性勢函數。g(ij，Ha)=0，式中，式中Ha為硬化參數，為硬化參數，d：確定塑性應變增：確定塑性應變增量大小的函數，由加工硬化規律確定。量大小的函數，由加工硬化規律確定。上式說明，一點的塑性應變增量與通過該點的塑性等勢上式說明，一點的塑性應變增量與通過該點的塑性等勢面正交，即規定了塑性應變增量的方向。面正交，即規定了塑性應變增量的方向。ijpijgddd：非負比例系數：非負比例系數pij ij對于穩性材料（應變硬化材料和理想彈塑性材料），塑對于穩性材料（應變硬化材料和理想彈塑性材料），塑性應變增量性應變增量 的方向指向屈服面的外

34、法向，因此，可的方向指向屈服面的外法向，因此，可以用屈服面作為塑性等勢面，屈服函數作為塑性勢函數，以用屈服面作為塑性等勢面，屈服函數作為塑性勢函數，g=f，此時的流動法則稱，此時的流動法則稱相關聯流動法則相關聯流動法則。式中式中f 為屈服函數。為屈服函數。如果塑性勢面與屈服面不同，則稱非相關聯流動法則。如果塑性勢面與屈服面不同，則稱非相關聯流動法則。pijd0gpijdijpijfdd塑性等勢面塑性等勢面在常規三軸試驗中，在常規三軸試驗中，2=3，不考慮中間應力的影響，廣，不考慮中間應力的影響，廣義剪應力和平均應力為：義剪應力和平均應力為：用用pq坐標系整理試驗結果時，屈服面可以用在坐標系整理

35、試驗結果時，屈服面可以用在pq平面上平面上的屈服曲線來表達。的屈服曲線來表達。此時，流動法則可以分解為體積流動法則和剪切流動法此時，流動法則可以分解為體積流動法則和剪切流動法則：則：3)2(3131/p,q0)(p,q,Hfqfddpfddpspvl 加載準則加載準則材料進入塑性變形階段，繼續加載產生新的塑性變形，材料進入塑性變形階段，繼續加載產生新的塑性變形，而卸載只是使彈性變形恢復，不產生塑性變形，因此，而卸載只是使彈性變形恢復，不產生塑性變形，因此，在塑性階段，加載和卸載條件下應力應變關系應服從不在塑性階段，加載和卸載條件下應力應變關系應服從不同的規律，因此，首先要判斷是屬于加載還是卸載

36、。同的規律，因此，首先要判斷是屬于加載還是卸載。加載準則加載準則判斷加載或卸載的條件。判斷加載或卸載的條件。 應變硬化材料的加載準則應變硬化材料的加載準則設某點當前的應力狀態為設某點當前的應力狀態為ij，且滿足屈服條件，且滿足屈服條件應力增量應力增量dij指向屈服面外，表示該點處于加載狀態；指向屈服面外，表示該點處于加載狀態；應力增量應力增量dij指向屈服面內，表示該點處于卸載狀態；指向屈服面內，表示該點處于卸載狀態；應力增量應力增量dij與屈服面相切，表示變化后的應力點仍處于與屈服面相切，表示變化后的應力點仍處于屈服面上，不產生塑性變形，稱中性變載。屈服面上，不產生塑性變形，稱中性變載。0)

37、(ij,Hf屈服函數的梯度向量屈服函數的梯度向量 與屈服面垂直，根據梯度向量與屈服面垂直，根據梯度向量與應力增量向量之間的夾角關系，可以得到應變硬化材與應力增量向量之間的夾角關系，可以得到應變硬化材料的加載準則：料的加載準則：ijf/卸載中性變載加載，且當0000ijijdff 理想塑性材料的加載準則理想塑性材料的加載準則理想塑性材料不存在初始屈服面外的應力點，應力增量理想塑性材料不存在初始屈服面外的應力點，應力增量不可能指向屈服面外。設某點當前的應力狀態為不可能指向屈服面外。設某點當前的應力狀態為ij，且，且滿足屈服條件滿足屈服條件應力點保持在屈服面上，增量應力點保持在屈服面上，增量dij與

38、屈服面相切，塑性變與屈服面相切，塑性變形可以任意增長，為加載；形可以任意增長，為加載；應力增量應力增量dij指向屈服面內，表示該點處于卸載狀態；指向屈服面內，表示該點處于卸載狀態；理想塑性材料的加載準則：理想塑性材料的加載準則：0)(ij,Hf卸載加載，且當000ijijdff 非準則屈服面的加載準則非準則屈服面的加載準則對于非準則屈服面的情況（由多個光滑屈服面構成的屈對于非準則屈服面的情況（由多個光滑屈服面構成的屈服面），當應力點位于光滑屈服面上時，加載準則與前服面），當應力點位于光滑屈服面上時，加載準則與前面相同，當應力點位于兩個光滑屈服面的交界處，則加面相同，當應力點位于兩個光滑屈服面的交界處，則加載準則有所不同，對于理想塑性材料，其加載準則為：載準則有所不同，對于理想塑性材料，其加載準則為：卸載及加載或0000ijijmijijlijijmijijldfdfdfdfl 普遍公式普遍公式 張量形式張量形式彈塑性增量理論認為，在塑性狀態的加載條件下，應力彈塑性增量理論認為，在塑性狀態的加載條件下，應力增量增量dij引起的應變增量引起的應變增量dij應為彈性應變增量應為彈性應變增量 與塑性與塑性應變增量應變增量 之和：之和：彈性應變增量與應力增量之間服從廣義虎克定律：彈性應變增量與應力增量之間服