1、起第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線雙曲線2.2.2雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的簡單幾何性質a 級級基礎鞏固基礎鞏固一、選擇題一、選擇題1雙曲線雙曲線 2x2y28 的實軸長是的實軸長是()a2b2 2c4d4 2解析：解析：雙曲線方程可變形為雙曲線方程可變形為x24y281，所以所以 a24，a2，從從而而2a4.答案：答案：c2等軸雙曲線的一個焦點是等軸雙曲線的一個焦點是 f1(6，0)，則其標準方程為則其標準方程為()a.x29y291b.y29x291c.y218x2181d.x218y2181解析：解析：由已知可得由已知可得 c6，所以所以 ab22c3 2，所以所以 雙曲線的標準方程

2、是雙曲線的標準方程是x218y2181.答案：答案：d3下列雙曲線中離心率為下列雙曲線中離心率為62的是的是()a.x22y241b.x24y221c.x24y261d.x24y2101解析：解析：由由 e62得得 e232，所以所以c2a232，則則a2b2a232，所以所以b2a212.即即 a22b2.答案：答案：b4已知雙曲線已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為的離心率為52，則則 c 的的漸近線方程為漸近線方程為()ay14xby13xcy12xdyx解析解析：因為雙曲線因為雙曲線x2a2y2b21 的焦點在的焦點在 x 軸上軸上，所以雙曲線的漸近所以雙曲線的漸

3、近線方程為線方程為 ybax.又離心率為又離心率為 ecaa2b2a1ba252，所以所以ba12，所以雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為 y12x.答案：答案：c5雙曲線雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為的離心率為 2，焦點到漸近焦點到漸近線的距離為線的距離為 3，則則 c 的焦距等于的焦距等于()a2b2 2c4d4 2解析解析： 雙曲線的一條漸雙曲線的一條漸近線方程為近線方程為xayb0， 即即 bxay0， 焦點焦點(c，0)到該漸近線的距離為到該漸近線的距離為bca2b2bcc 3，故故 b 3，結合結合ca2，c2a2b2得得 c2，則雙曲線則雙曲線

4、 c 的焦距為的焦距為 2c4.答案：答案：c二、填空題二、填空題6已知雙曲線已知雙曲線x2a2y2b21 的離心率為的離心率為 2，焦點與橢圓焦點與橢圓x225y291 的的焦點相同焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為那么雙曲線的焦點坐標為_，漸近線方程為漸近線方程為_解析解析：因為橢圓的焦點坐標為因為橢圓的焦點坐標為(4，0)，(4，0)，所以在雙曲線中所以在雙曲線中，c4，且滿足且滿足ca2，故故 a2，b c2a22 3，所以雙曲線的漸近線所以雙曲線的漸近線方程為方程為 ybax 3x.答案：答案：(4，0)，(4，0)y 3x7過雙曲線過雙曲線 x2y231 的左焦點的左焦點 f1，作傾

5、斜角為作傾斜角為6的直線的直線 ab，其其中中 a，b 分別為直線與雙曲線的交點分別為直線與雙曲線的交點，則則|ab|的長為的長為_解析：解析：雙曲線的左焦點為雙曲線的左焦點為 f1(2，0)，將直線將直線 ab 方程：方程：y33(x2)代入雙曲線方程得代入雙曲線方程得 8x24x130，顯然顯然0，設設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，所以所以 x1x212，x1x2138，所以所以 |ab| 1k2 （x1x2）24x1x21131224138 3.答案：答案：38雙曲線雙曲線x24y2k1 的離心率的離心率 e(1，2)，則則 k 的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：雙曲線方程可

6、變為雙曲線方程可變為x24y2k1，則則 a24，b2k，c24k，eca4k2，又因為又因為 e(1，2)，則則 14k22，解得解得12k0答案：答案：(12，0)三、解答題三、解答題9求適合下列條件的雙曲線的標準方程：求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)過點過點(3， 2)，離心率離心率 e52；(2)中心在原點中心在原點，焦點焦點 f1，f2在坐標軸上在坐標軸上，實軸長和虛軸長相等實軸長和虛軸長相等，且過點且過點 p(4， 10)解解： (1)若雙曲線的焦點在若雙曲線的焦點在 x 軸上軸上， 設其標準方程為設其標準方程為x2a2y2b21(a0，b0)因為雙曲線過點因為雙曲線過點(

7、3， 2)，則則9a22b21.又又 ecaa2b2a252，故故 a24b2.由由得得 a21，b214，故所求雙曲線的標準方程為故所求雙曲線的標準方程為 x2y2141.若雙曲線的焦點在若雙曲線的焦點在 y 軸上軸上，設其標準方程為設其標準方程為y2a2x2b21(a0，b0)同理可得同理可得 b2172，不符合題意不符合題意綜上可知綜上可知，所求雙曲線的標準方程為所求雙曲線的標準方程為 x2y2141.(2)由由 2a2b 得得 ab，所以所以 e1b2a2 2，所以可設雙曲線方程為所以可設雙曲線方程為 x2y2(0)因為雙曲線過點因為雙曲線過點 p(4， 10)，所以所以 1610，即

8、即6.所以所以 雙曲線方程為雙曲線方程為 x2y26.所以所以 雙曲線的標準方程為雙曲線的標準方程為x26y261.10設雙曲線設雙曲線 c：x2a2y21(a0)與直線與直線 l：xy1 相交于兩個相交于兩個不同的點不同的點 a、b.(1)求實數求實數 a 的取值范圍；的取值范圍；(2)設直線設直線 l 與與 y 軸的交點為軸的交點為 p，若若pa512pb，求求 a 的值的值解解： (1)將將 yx1 代入雙曲線方程代入雙曲線方程x2a2y21(a0)中得中得(1a2)x22a2x2a20.依題意依題意1a20，4a48a2（1a2）0，所以所以 0a 2且且 a1.(2)設設 a(x1，

9、y1)，b(x2，y2)，p(0，1)，因為因為pa512pb，所以所以(x1，y11)512(x2，y21)由此得由此得 x1512x2.由于由于 x1，x2是方程是方程(1a2)x22a2x2a20 的兩根的兩根，且且 1a20，所以所以1712x22a21a2，512x222a21a2.消去消去 x2得得2a21a228960.由由 a0，解得解得 a1713.b 級級能力提升能力提升1若若 0ka2，則雙曲線則雙曲線x2a2ky2b2k1 與與x2a2y2b21 有有()a相同的虛線相同的虛線b相同的實軸相同的實軸c相同的漸近線相同的漸近線d相同的焦點相同的焦點解析解析：因為因為 0k

10、a2，所以所以 a2k0.對于雙曲線對于雙曲線x2a2ky2b2k1，焦點在焦點在 x 軸上且軸上且 c2a2kb2ka2b2.同理雙曲線同理雙曲線x2a2y2b21 焦焦點在點在 x 軸上且軸上且 c2a2b2，故它們有共同的焦點故它們有共同的焦點答案：答案：d2已知已知 f1，f2是雙曲線是雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的兩焦點的兩焦點，以線以線段段f1f2為邊作正三角形為邊作正三角形 mf1f2，若邊若邊 mf1的中點的中點 p 在雙曲線上在雙曲線上，則雙曲則雙曲線的離心率是線的離心率是_解析解析：如圖如圖，連接連接 f2p，p 是是 mf1中點中點，則則 pf2mf1，在正三角

11、在正三角形形 mf1f2中中，|f1f2|2c，則則|pf1|c，|pf2| 3c.因為因為 p 在雙曲線上在雙曲線上，所以所以 |pf2|pf1|2a而而3cc2a所以所以ca2312（ 31）（ 31） （ 31） 31.答案：答案： 313直線直線 l：ykx1 與雙曲線與雙曲線 c：2x2y21 的右支交于不同的的右支交于不同的兩點兩點 a，b.(1)求實數求實數 k 的取值范圍；的取值范圍；(2)是否存在實數是否存在實數 k，使得以線段使得以線段 ab 為直徑的圓經過雙曲線為直徑的圓經過雙曲線 c 的的右焦點右焦點 f？若存在？若存在，求出求出 k 的值；若不存在的值；若不存在，說明

12、理由說明理由解解：(1)將直線將直線 l 的方程的方程 ykx1 代入雙曲線代入雙曲線 c 的方程的方程 2x2y21后后，整理整理，得得(k22)x22kx20，依題意依題意，直線直線 l 與雙曲線與雙曲線 c 的右支交于不同兩點的右支交于不同兩點，所以所以k220，（2k）28（k22）0，2kk220，2k220，解得解得 k 的取值范圍為的取值范圍為k|2k 2.(2)設設 a，b 兩點的坐標分別為兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由則由，得得 x1x22k2k2，x1x22k22.假設存在實數假設存在實數 k， 使得以線段使得以線段 ab 為直徑的圓經過以曲線為直徑的圓經過以曲線 c 的右焦的右焦點點 f(c，0)，則由則由 fafb，得得(x1c)(x