1、第5課 函數的定義域與值域(本課時對應學生用書第1112頁)自主學習回歸教材1. (必修1P93習題1改編)函數f(x)=+的定義域為.答案1,+)解析由解得x1.2. (必修1P93習題5改編)函數y=x2-x的定義域為0,1,2,3,那么其值域為.答案0,2,6解析當x=0時,y=0;當x=1時,y=0;當x=2時,y=2;當x=3時,y=6,所以值域為0,2,6.3. (必修1P32例2改編)函數f(x)=的最大值是.答案解析1-x(1-x)=x2-x+1=+.因此,有0<,所以f(x)的最大值為.4. (必修1P32習題7改編)已知函數f(x)=x2-2x,xa,b的值域為-1,

2、3,則b-a的取值范圍是.答案2,4解析值域為-1,3,當a=-1,b=3時,(b-a)max=4;當a=-1,b=1或a=1,b=3時,滿足要求,(b-a)min=2.綜上所述,b-a2,4.1. 函數的定義域(1) 函數的定義域是構成函數的非常重要的部分,若沒有標明定義域,則認為定義域是使得函數解析式有意義的x的取值范圍.(2) 分式中分母應不等于0;偶次根式中被開方數應為非負數,奇次根式中被開方數為一切實數;零指數冪中底數不等于0,負分數指數冪中底數應大于0.(3) 對數式中,真數必須大于0,底數必須大于0且不等于1,含有三角函數的角要使該三角函數有意義等.(4) 實際問題中還需考慮自變

3、量的實際意義,若解析式由幾個部分組成,則定義域為各個部分相應集合的交集.2. 求函數值域的主要方法(1) 函數的定義域與對應法則直接制約著函數的值域,對于一些比較簡單的函數可直接通過觀察法求得值域.(2) 二次函數或可轉化為二次函數形式的問題,常用配方法求值域.(3) 分子、分母是一次函數或二次齊次式的有理函數常用分離變量法求值域;分子、分母中含有二次項的有理函數,常用判別式法求值域(主要適用于定義域為R的函數).(4) 單調函數常根據函數的單調性求值域.(5) 很多函數可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.(6) 有些函數具有明顯的幾何意義,可根據幾何意義的方法求值域.(7) 只要

4、是能求導數的函數常采用導數的方法求值域.要點導學各個擊破求函數的定義域例1(1)(2014·杭州質檢)函數f(x)=ln的定義域是.(2) 若函數y=f(x)的定義域是0,2,則函數g(x)=的定義域是.答案(1) (-,-1)(2,+)(2) 0,1)解析 (1) 由題意知>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1. (2) 由解得0x<1,定義域為0,1).精要點評(1) 求函數的定義域,其實質就是以函數解析式所含運算有意義為準則,列出不等式或不等式組,然后求出它們的解集.(2) 已知f(x)的定義域是a,b,求f(g(x)的定義域,是指

5、滿足ag(x)b的x的取值范圍,而已知f(g(x)的定義域是a,b,指的是xa,b.【題組強化·重點突破】1.(2014·泰州期末)函數f(x)=log2(x-3)的定義域為.答案x|x>3解析要使函數有意義,則x-3>0,所以x>3.2.若函數f(x)的定義域為3,6,則函數y=的定義域為.答案解析由題意,因為f(x)的定義域為3,6,所以ÞÞx<2,所以定義域為.3.(2014·山東卷)函數f(x)=的定義域為.答案(2,+)解析由題意得解得x>2或0<x<,所以f(x)的定義域為(2,+).4.(

6、2014·珠海模擬)函數y=的定義域為.答案解析由題意得解得x>-,所以定義域為.5.已知f(x)的定義域是0,4,則f(x+1)+f(x-1)的定義域是.答案1,3解析由題意得解得1x3.故f(x+1)+f(x-1)的定義域為1,3.求函數的值域例2求下列函數的值域.(1) y=3x2-x+2,x1,3;(2) y=;(3) y=x+4;(4) y=.思維引導函數的值域問題是函數知識的重要組成部分,它蘊含的思想方法豐富,不同類型函數模型的值域問題有不同的解法,要視具體問題而定.解答(1) (配方法)因為y=3x2-x+2=3+,所以函數y=3x2-x+2在1,3上單調遞增,所

7、以當x=1時,原函數取得最小值4;當x=3時,原函數取得最大值26,所以函數y=3x2-x+2(x1,3)的值域為4,26.(2) (分離常數法)y=3+,因為0,所以3+3,所以函數y=的值域為y|y3.(3) (換元法)設t=,t0,則x=1-t2,所以原函數可化為y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t0),所以y5,所以原函數的值域為(-,5.(4) (基本不等式法)y=x+=x-+,因為x>,所以x->0,所以x-+2=,當且僅當x-=,即x=時等號成立,所以y+,所以原函數的值域為.精要點評配方法、分離常數法和換元法是求常見函數值域的有效方法,但要注意各種方法所適用的

8、函數形式,還要注意函數定義域的限制.換元法多用于無理函數,換元的目的是進行化歸,把無理式轉化為有理式來解;二次分式型函數求值域,多采用分離出整式利用基本不等式法求解.【題組強化·重點突破】1.求下列函數的值域.(1)函數y=x2+2x(x0,3)的值域為 ;(2)函數y=的值域為;(3)函數y=x-的值域為;(4)函數y=log3x+logx3-1的值域為.答案(1)0,15(2)y|yR,y1(3) (4)(-,-31,+)解析(1) (配方法)y=x2+2x=(x+1)2-1,y=(x+1)2-1在0,3上為增函數,所以0y15,即函數y=x2+2x(x0,3)的值域為0,15.

9、(2) (分離常數法)y=1-.因為0,所以1-1,即函數的值域是y|y1.(3) (換元法)令=t,t0,x=,于是y=-t=-(t+1)2+1,由于t0,所以y,故函數的值域是.(4) (基本不等式法)函數定義域為x|x>0且x1.當x>1時,log3x>0,于是y=log3x+-12-1=1;當0<x<1時,log3x<0,于是y=log3x+-1=-1-2-1=-3.故函數的值域是(-,-31,+).2.(2014·蘇錫常鎮調研)函數y=(xe)的值域是.答案(0,1解析因為xe,所以ln x1,故y(0,1.3.(2014·海門

10、中學)函數f(x)=的值域是.答案(-,2解析當0<x<1時,值域為(-,0);當x1時,值域為(-,2.故原函數的值域是(-,2.4.(2015·南師附中)若函數f(x)=1+log3x的定義域是(1,9,則函數g(x)=f2(x)+f(x2)的值域是.答案(2,7解析由Þ1<x3,故g(x)的定義域為(1,3,設t=log3x,則0<t1,而g(x)=(1+log3x)2+1+log3x2,所以g(t)=t2+4t+2=(t+2)2-2,由0<t1,得2<g(t)7.5.(2014·青陽中學)若函數y=x2-3x-4的定義域

11、為0,m,值域為,則m的取值范圍是 .答案解析因為f(x)=x2-3x-4=-,所以f=-.又f(0)=f(3)=-4,故由二次函數圖象可知m3.已知函數定義域(值域)求參數的取值范圍例3若函數y=的定義域為R,求實數a的取值范圍.思維引導 可先求出使函數有意義的不等式(組),再對其中的參數進行分類討論.解答由題意知當xR時,(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立.當a2-1=0,即時,得a=1,此時有(a2-1)x2+(a-1)x+=1.可知當xR時,(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立.當a2-10,即時,有解得1<a9.綜上所述,實數a的取值范圍是1,9.精要點評解決本題的關

12、鍵是理解函數的定義域是R的意義,并會對函數式進行分類討論,特別要注意不要遺漏對第一種情況a2-1=0的討論.練習(1)(2014·常州一中)若函數f(x)=的定義域為R,則實數m的取值范圍是.(2)若函數y=lg(x2+2x+m)的值域是R,則實數m的取值范圍是.答案(1)(2)(-,1解析(1)f(x)的定義域為R,即mx2+4mx+30恒成立.當m=0時,符合條件.當m0時,=(4m)2-4×m×3<0,即m(4m-3)<0,所以0<m<.綜上所述,m的取值范圍是.(2)由題意可知x2+2x+m能取遍一切正實數,從而可知=4-4m0,則

13、m1.新定義下的函數值域創新問題例4已知函數fM(x)的定義域為實數集R,滿足fM(x)=(M是R的非空真子集).在R上有兩個非空真子集A,B,且AB=,則F(x)=的值域為.思維引導求F(x)的值域確定fA(x),fB(x)以及(x)的取值探討x與A,B,AB的關系.答案1(例4)解析因為A,B是R的兩個非空真子集,且AB=,畫出韋恩圖如圖所示,則實數x與集合A,B的關系可分為xA,xB,xA且xB三種.當xA時,根據定義,得fA(x)=1.因為AB=,所以xB,故fB(x)=0.又因為AÍ(AB),則必有xAB,所以fAB(x)=1.所以F(x)=1.當xB時,根據定義,得fB(

14、x)=1.因為AB=,所以xA,故fA(x)=0.又因為BÍ(AB),則必有xAB,所以fAB(x)=1.所以F(x)=1.當xA且xB時,根據定義,得fA(x)=0,fB(x)=0.由圖可知,顯然xAB,故fAB(x)=0,所以F(x)=1.綜上,函數的值域中只有一個元素1,即函數的值域為1.精要點評(1) 如果函數f(x)的定義域為A,那么f(g(x)的定義域是使函數g(x)A的x的取值范圍.(2)如果f(g(x)的定義域為A,那么函數f(x)的定義域是函數g(x)的值域.(3)f(g(x)與f(h(x)聯系的紐帶是g(x)與h(x)的值域相同.本題以集合之間的關系為背景考查新定

15、義函數值的計算,所以準確利用已知條件梳理各個集合之間的關系是解決該題的關鍵.可借助韋恩圖表示出各個集合,再根據圖形的直觀性進行分類,簡單又直接.練習把本例中“AB=”變為xAB,其他條件不變,試求之.解答當xAB時,因為(AB)Í(AB),所以必有xAB.由定義,可知fA(x)=1,fB(x)=1,fAB(x)=1,所以F(x)=.故函數F(x)的值域為.1.(2014·蘇北四市期末)函數f(x)=lg(2x-3x)的定義域為.答案(-,0)解析由2x-3x>0得>1,所以x<0,即函數f(x)的定義域為(-,0).2.(2014·江西卷)函數f

16、(x)=ln(x2-x)的定義域為.答案(-,0)(1,+)解析由x2-x>0,得x>1或x<0.3. 若函數y=的定義域是(-,1)2,5),則其值域是.答案(-,0)解析因為x(-,1)2,5),故x-1(-,0)1,4),所以(-,0).4.已知函數f(x)=.(1)若f(x)的定義域為R,求實數a的取值范圍;(2)若f(x)的定義域為-2,1,求實數a的值.解答(1)若1-a2=0,即a=±1.當a=1時,f(x)=,定義域為R,符合題意;當a=-1時,f(x)=,定義域為-1,+),不合題意.若1-a20,則g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6為

17、二次函數.由題意知g(x)0對xR恒成立,所以即解得-a<1.由可得實數a的取值范圍是.(2)由題意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+60的解集為-2,1,顯然1-a20且-2,1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的兩個根,所以解得a=2,即實數a的值為2.趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習第910頁.第5課函數的定義域與值域一、 填空題1.(2014·江蘇壓題卷)函數y=的定義域是.2. 函數y=+lg(2x-1)的定義域是.3. 函數y=2-的值域是.4. 函數f(x)=3x-的值域是.5. 已知函數y=的值域是0,+),那

18、么實數m的取值范圍是.6.若函數y=f(x)的值域是1,3,則函數F(x)=1-2f(x+3)的值域是.7.(2014·金陵中學)已知函數f(x)=若f(x)的值域為R,則實數a的取值范圍是.8. 定義區間x1,x2(x1<x2)的長度為x2-x1.已知函數f(x)=的定義域為a,b,值域為0,2,則區間a,b的長度的最大值與最小值的差為.二、 解答題 9. 求下列函數的值域.(1) y=4-;(2) y=2x+;(3) y=;(4) y=.10.(2015·鎮江中學)已知函數f(x)=x2-4ax+2a+6(aR).(1)若函數f(x)的值域為0,+),求a的值;(

19、2)若函數f(x)的值域為非負數,求函數g(a)=2-a|a+3|的值域.11. 已知函數g(x)=+1, 函數h(x)=,x(-3,a,其中a>0,令函數f(x)=g(x)·h(x).(1) 求函數f(x)的解析式,并求其定義域;(2) 當a=時,求函數f(x)的值域.第5課函數的定義域與值域1.(-2,+)解析由題意得0,解得x>-2,故所求定義域為(-2,+).2. 解析由得x>.3. 0,2解析-x2+4x=-(x-2)2+44,所以02,所以02-2,所以0y2.4. (-,1解析令t=0,所以x=,即f(t)=1-t2-t=-+.當t=0時,f(t)ma

20、x=1,故所求值域為(-,1.5. 4,+)解析當m=0時,不符合題意,所以即m4.6.-5,-1解析因為1f(x)3,所以1f(x+3)3,所以-6-2f(x+3)-2,所以-5F(x)-1.7.(-,-12,+)解析易知兩段函數都是增函數,當x>2時,y>4+a;當x2時,y2+a2.要使f(x)的值域為R,則4+a2+a2,解得a2或a-1.8. 3解析由函數f(x)=的圖象和值域為0,2知,當a=時,b1,4;當b=4時,a,所以區間a,b的長度的最大值為4-=,最小值為1-=,所以區間長度的最大值與最小值的差為-=3.9. (1) 由3+2x-x20,得函數的定義域為-1,3.又t=3+2x-x2=4-(x-1)2,所以t0,4, 0,2,從而ymin=2