1、控制工程基礎(chǔ)第四章第四章 頻域分析法二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖三、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖四、頻域穩(wěn)定性判據(jù)五、閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性六、頻域指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系七、用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)性能八、頻域特性的計(jì)算機(jī)輔助分析、概述一一、頻率特性的基本概念九、小結(jié)第四章 頻域分析法、概述l 時(shí)域分析的缺陷時(shí)域分析的缺陷 高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行； 難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)性 能的影響； 當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時(shí)， 整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。 第四章 頻域分析法l 頻域分析的目的頻域分析的目的頻域分析：以輸入信號(hào)的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能的關(guān)系。 無需求解微分方

2、程，圖解(頻率特性圖)法 間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的方向； 易于實(shí)驗(yàn)分析； 優(yōu)點(diǎn)： 可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延 遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）； 可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。第四章 頻域分析法一一、頻率特性的基本概念l 頻率響應(yīng)與頻率特性頻率響應(yīng)與頻率特性 頻率響應(yīng)與頻率特性的概念22)()()()()()()()(sxsnsmsxsnsmsxsgsxiio)()()()()()(21npspspssmsnsmsg考慮線性定常系統(tǒng)：當(dāng)正弦輸入 xi(t)=xsint 時(shí)，相應(yīng)的輸出為：第四章 頻域分析法對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其特征根-pi具有負(fù)實(shí)部，此時(shí)其對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不因初始條件而改變

3、，因此，可認(rèn)為系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)。 nnopsapsapsajsajsasx2211)(假設(shè)系統(tǒng)只具有不同的極點(diǎn)，則：aa,其中為一對(duì)待定共軛復(fù)常數(shù)ai(i = 1, 2, , n)為待定常數(shù)。第四章 頻域分析法)0( )(2121teaeaeaeaaetxtpntptptjtjon從而：) 1, 2, 1, 0(jjtpkrketjj如果系統(tǒng)包含有rj個(gè)重極點(diǎn)pj，則xo(t)將包含有類似：的這樣一些項(xiàng)。對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，這些項(xiàng)隨 t 趨于無窮大都趨近于零。第四章 頻域分析法因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：tjtjoeaaetx)(jjxgjssxsgajs2)()()(22)()()()()(jj

4、ejgejgjgjjxgjssxsgajs2)()()(22其中：)(re)(im)()()()()(jgjgarctgjgejgjgj由于：第四章 頻域分析法上式表明，穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為同頻率的正弦信號(hào)，且輸出與輸入的幅值比為|g(j)|，相位差為g(j)。jeejgxtxtjtjo2)()()()(因此：)()(sin)(sin)(jgxytytjgx顯然輸出信號(hào)的幅值和相角是頻率的函數(shù)，隨頻率而變化。 第四章 頻域分析法q 頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。q 頻率特性：系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號(hào)輸入 時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率而變化( 由0變到)的特性。幅頻特

5、性與相頻特性一起構(gòu)成系統(tǒng)的頻率特性。 q 幅頻特性：當(dāng)由0到變化時(shí)，|g(j)|的變 化特性，記為a()。q 相頻特性：當(dāng)由0到變化時(shí)，g(j)的變 化特性稱為相頻特性，記為()。第四章 頻域分析法 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 jssgjg)()( 示例 正弦輸入xi(t)=xsint 作用下的頻率響應(yīng)。 1)(tsksg求一階系統(tǒng)的頻率特性及在1)()(jtksgjgjs解解： 第四章 頻域分析法221)()(tkjgatarctgjg)()()sin(1)(22tarctgttxktxo對(duì)于正弦輸入xi(t)=xsint，根據(jù)頻率特性的定義：由上式可見，當(dāng)t1時(shí)， a() k/t () -9

6、0第四章 頻域分析法 幾點(diǎn)說明 q 頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù) 平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與 系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系 統(tǒng)的固有特性。 q 盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的 頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元 部件的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動(dòng) 態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。 第四章 頻域分析法q 應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路： 實(shí)際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號(hào) 都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉 級(jí)數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)， 因此根據(jù)控制系統(tǒng)對(duì)于正弦諧波函數(shù)這類 典型信號(hào)的響應(yīng)可以推算出它在任意周期 信號(hào)或非周期信號(hào)作用下的運(yùn)動(dòng)情況。

7、 第四章 頻域分析法q 頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系 統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性；q ()大于零時(shí)稱為相角超前，小于零時(shí)稱 為相角滯后。tx(t), y1(t), y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()第四章 頻域分析法l 頻率特性圖頻率特性圖 奈奎斯特(nyquist)圖（極坐標(biāo)圖、幅相頻 率特性圖） )()()()()()()(im)(re)(jjgjeaejgjqpjgjjgjg)()()()()()(22pqarctgqpa其中，p()、q()分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性。顯然：第四章 頻域分析法在復(fù)平面上，隨（0 ）的變化，向量g(j)端點(diǎn)的變化曲

8、線（軌跡），稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。得到的圖形稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標(biāo)圖。易 知 ， 向 量 g ( j) 的 長 度 等 于 a ()（|g(j)|）；由正實(shí)軸方向沿逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)至向量g(j)方向的角度等于()（g(j)）。 第四章 頻域分析法 波德(bode)圖（對(duì)數(shù)頻率特性圖） q 對(duì)數(shù)幅頻特性圖橫坐標(biāo)：以10為底的對(duì)數(shù)分度表示的角頻率 單位 rad/s或hz縱坐標(biāo)：線性分度，表示幅值a()對(duì)數(shù)的20 倍，即：l()=20loga()單位 分貝（db）第四章 頻域分析法q 對(duì)數(shù)相頻特性圖 q 幾點(diǎn)說明 橫坐標(biāo)：與對(duì)數(shù)幅頻特性圖相同?？v坐標(biāo)：線性分度，頻率特性的相角()單位

9、度() 在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標(biāo)采用了 對(duì)數(shù)分度，因此 =0不可能在橫坐標(biāo)上表 示出來，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感 興趣的頻率范圍確定；此外，橫坐標(biāo)一般 只標(biāo)注的自然數(shù)值；第四章 頻域分析法 在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，角頻率 變化的倍 數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為此通 常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的區(qū) 間稱為一個(gè)十倍頻程，記為decade或簡(jiǎn)寫 為 dec；頻率變化兩倍的區(qū)間稱為一個(gè)二 倍頻程，記為octave或簡(jiǎn)寫為oct。它們也 用作頻率變化的單位?？梢宰⒁獾?，頻率變化10倍，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是等距的，等于一個(gè)單位。第四章 頻域分析法 對(duì)數(shù)坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn) 通常用l()簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)幅頻特性，也

10、稱l() 為增益；用()簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)相頻特性。n 幅值相乘變?yōu)橄嗉?，?jiǎn)化作圖；n 對(duì)數(shù)坐標(biāo)拓寬了圖形所能表示的頻率范 圍n 兩個(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時(shí)， 其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對(duì)稱， 相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱第四章 頻域分析法 尼柯爾斯(nichols)圖（對(duì)數(shù)幅相特性圖） n 可以利用漸近直線繪制近似的對(duì)數(shù)幅頻 特性曲線；n 將實(shí)驗(yàn)獲得的頻率特性數(shù)據(jù)繪制成對(duì)數(shù) 頻率特性曲線，可以方便地確定系統(tǒng)的 傳遞函數(shù)；l() ()圖第四章 頻域分析法l 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖傳遞函數(shù)：g(s) = k頻率特性：g(j) = k = kej0實(shí)頻特性：p() = k虛頻特

11、性：q() = 0對(duì)數(shù)幅頻特性： l() = 20lgk對(duì)數(shù)相頻特性：() = 0幅頻特性：a() = k相頻特性： () = 0第四章 頻域分析法比例環(huán)節(jié)的頻率特性圖：bode diagram (rad/sec)()l()/ (db)-20020406010-1100101102-180-900 90 180 20lgkk0reimnyquist diagram第四章 頻域分析法l 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：11)(tssg頻率特性：jarctgtettjjg221111)(相頻特性： () = - arctgt幅頻特性：2211)(ta實(shí)頻特性：2211)(tp虛頻特性：221)(ttq

12、注意到：22221)(21)(qp即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2, 0)處，半徑為1/2的一個(gè)圓。0reim1/21 =0 =45 =1/tnyquist diagramg(j) 慣性環(huán)節(jié)的nyquist圖 第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法 慣性環(huán)節(jié)的bode圖 q 低頻段( 1/t )lg20lg20t即高頻段可近似為斜率為-20db/dec 的直線，稱為高頻漸近線。ttllg201lg20)(22第四章 頻域分析法轉(zhuǎn)折頻率-30-20-10010-90-4501/tl()/ (db)()bode diagram (rad/sec)實(shí)際幅頻特性漸近線-20db/dec第四章 頻域分析

13、法q 轉(zhuǎn)折頻率（ 1/t )低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點(diǎn) 1/t，稱為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率）。在轉(zhuǎn)折頻率處，l() -3db，()-45。q 漸近線誤差慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。tttttl/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222第四章 頻域分析法-4-3-2-100.1110t轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線第四章 頻域分析法l 一階微分一階微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 對(duì)數(shù)相頻特性： () = arctg傳遞函數(shù)：1)( ssg頻率特性：jarctgejjg2211)(對(duì)數(shù)幅頻特性：221log20)(l幅頻特性：221)(a相頻特性： () = arctg第四章 頻域分析法

14、 一階微分環(huán)節(jié)的nyquist圖 0reim =0 =221arctg1實(shí)頻特性：1)(p虛頻特性：)(q第四章 頻域分析法 一階微分環(huán)節(jié)的bode圖 注意到一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)( = t )，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖的特點(diǎn)，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于 0db 線對(duì)稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱。顯然，一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線也可由漸近線近似描述。第四章 頻域分析法0 10 2030904501/tl()/ (db)()bode diagram (rad/sec)0.1/t10/t轉(zhuǎn)折頻率實(shí)際幅頻特性漸近線20db/dec第四章 頻域分析法由對(duì)數(shù)幅頻特性曲

15、線可見，一階微分環(huán)節(jié)對(duì)高頻信號(hào)有較大的放大作用，這意味著系統(tǒng)抑制噪聲能力的下降。l 積分積分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：ssg1)(頻率特性：211)(jejjg幅頻特性：1)(a第四章 頻域分析法相頻特性： () = -90虛頻特性：1)(q對(duì)數(shù)幅頻特性：log20)(l 積分環(huán)節(jié)的nyquist圖 0reim =0 =實(shí)頻特性：0)(p對(duì)數(shù)相頻特性： () = -90第四章 頻域分析法 積分環(huán)節(jié)的bode圖 -40-200200-45-90-135-1800.1110100l()/ (db)()bode diagram (rad/sec)20db/dec第四章 頻域分析法l 理想微分理想微分環(huán)節(jié)環(huán)

16、節(jié) 傳遞函數(shù)：ssg)(頻率特性：2)(jejjg實(shí)頻特性：0)(p對(duì)數(shù)相頻特性： () = 90虛頻特性：)(q對(duì)數(shù)幅頻特性：log20)(l幅頻特性：)(a相頻特性： () = 90第四章 頻域分析法 理想微分環(huán)節(jié)的nyquist圖 0reim =0 =第四章 頻域分析法-2002040045901351800.1110100l()/ (db)()bode diagram (rad/sec)20db/dec 理想微分環(huán)節(jié)的bode圖 第四章 頻域分析法l 振蕩振蕩環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：10,2121)(22222nnnsstsstsg頻率特性：nnnnnjjjg2112)(2222第四章 頻

17、域分析法222211)(nna幅頻特性：相頻特性：212)(nnarctg第四章 頻域分析法實(shí)頻特性：2222211)(nnnp虛頻特性：222212)(nnnq第四章 頻域分析法 振蕩環(huán)節(jié)的nyquist圖 1)0()( aa0)0()(q = 0時(shí) 21)()(naa90)()(nq = n時(shí) 0)()( aa180)()(q = 時(shí) 第四章 頻域分析法nyquist diagram =0 =0.1=0.2=0.5=1=0.7reim-3-2-10123-6-5-4-3-2-1021=0.3 =n00.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.8201234 = 0.05 =

18、 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00/na()q 諧振現(xiàn)象第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法又振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當(dāng) 較小時(shí)，在 = n附近，a()出現(xiàn)峰值，即發(fā)生諧振。諧振峰值 mr 對(duì)應(yīng)的頻率r 稱為諧振頻率。由于：222211)(nna第四章 頻域分析法nuuuuf,)2()1 ()(222a()出現(xiàn)峰值相當(dāng)于其分母：取得極小值。令：0844)(23uuuuf解得：221u即：221nr顯然r 應(yīng)大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的條件為：707. 022第四章 頻域分析法諧振峰值：2121)(rram00

19、.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10123456789100102030405060708090100mr mp ()mrmp第四章 頻域分析法221nr21nd00.20.40.60.8100.20.40.60.81r/nd/nr/n，d/n第四章 頻域分析法 振蕩環(huán)節(jié)的bode圖 22221lg20)(nnlq 對(duì)數(shù)幅頻特性 低頻段( n)兩條漸近線的交點(diǎn)為n。即振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率等于其無阻尼固有頻率。22221lg20)(nnl212)(nnarctg第四章 頻域分析法q 對(duì)數(shù)相頻特性90)(n180)( 0)0(易知：第四章 頻域分析法-180-1

20、35-90-4500.1110/n() / (deg) = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2 = 0.3-40-30-20-1001020l()/ (db)-40db/dec = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2漸近線bode diagram第四章 頻域分析法q 漸近線誤差分析nnnnnnnl,lg2021lg20 ,21lg20)(2222222-8-40481216200.1110 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.80 = 0.90 = 1.00

21、= 0.50 = 0.60 = 0.707/nerror (db)第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法由圖可見，當(dāng) 較小時(shí)，由于在 = n 附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實(shí)際特性存在較大的誤差， 越小，誤差越大。當(dāng)0.380.7時(shí)，誤差不超過3db。因此，在此 范圍內(nèi)，可直接使用漸近對(duì)數(shù)幅頻特性，而在此范圍之外，應(yīng)使用準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻曲線。準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎(chǔ)上，通過誤差曲線修正而獲得或直接計(jì)算。第四章 頻域分析法l 二階微分二階微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：10, 12)(22sssg頻率特性：21)(22jjg幅頻特性：2222)2()1 ()(a相頻特性：2212)( arctg實(shí)

22、頻特性：221)(p2)(q虛頻特性：第四章 頻域分析法 二階微分環(huán)節(jié)的nyquist圖 1)0()( aa0)0()(q = 0時(shí) 2)(a 90)(q = 1/時(shí) )(a180)(q = 時(shí) 2222)2()1 ()(a2212)( arctgg(j) =010 =reim = 1/2，第四章 頻域分析法nyquist diagram 二階微分環(huán)節(jié)的bode圖 2222)2()1 (lg20)(l2212)( arctg注意到二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)( 1/n )，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖的特點(diǎn)，二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于 0db 線對(duì)稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線

23、對(duì)稱。第四章 頻域分析法l 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：sesg)(頻率特性：jejg)(幅頻特性：1)(a相頻特性：)(3 .57)()(rad對(duì)數(shù)幅頻特性：0)(l第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法01 =0reimnyquist diagram-600-500-400-300-200-10000.1110 (rad/s)() / (deg)10l() / (db)0-20-10第四章 頻域分析法mmme11lim由于：nnnsnsnse1111lim易知：其中，n為某個(gè)較大的有限值。即延遲環(huán)節(jié)可由n個(gè)具有同一實(shí)數(shù)極點(diǎn)的有理函數(shù)近似。延遲環(huán)節(jié)也可近似為：1221122121212222s

24、sssorsses第四章 頻域分析法l 最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng) 傳遞函數(shù)：11)(tssg頻率特性：)(221111)(tjarctgettjjg幅頻特性：2211)(ta相頻特性：)(180)()(tarctgtarctg三、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖 一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié) nyquist diagram1-10 =0 = =0 =reim慣性環(huán)節(jié)一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)第四章 頻域分析法bode diagram-20-15-10-50l()/ (db)-20db/dec-180-135-90-450() / (deg) (rad/sec)1/t慣性環(huán)節(jié)一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)第四章 頻域分析法第四章 頻域分

25、析法由圖可見，不穩(wěn)定一階環(huán)節(jié)的幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同，而相角絕對(duì)值大于慣性環(huán)節(jié)的相角絕對(duì)值。該結(jié)論對(duì)其它與振蕩環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性互為對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)也成立。 =0 =reim01振蕩環(huán)節(jié)不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)nyquist diagram/n-360-270-180-90010.110() / (deg)-40-200l()/ (db)bode diagram-40db/dec不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)第四章 頻域分析法10,2)(222nnnsssg不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)：bode diagram0459013518001020() / (deg) l()/ (db)1/t (rad/se

26、c)20db/dec不穩(wěn)定一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)1-10reim =0 =0 = =nyquist diagram一階微分環(huán)節(jié)不穩(wěn)定一階微分環(huán)節(jié)第四章 頻域分析法1)( ssg不穩(wěn)定一階微分環(huán)節(jié)：reim0 =01二階微分環(huán)節(jié)不穩(wěn)定二階微分環(huán)節(jié)nyquist diagram02040090180270360() / (deg)l()/ (db)10.110bode diagram40db/dec二階微分環(huán)節(jié)不穩(wěn)定二階微分環(huán)節(jié)第四章 頻域分析法不穩(wěn)定二階微分環(huán)節(jié)：10, 12)(22sssg 最小相位環(huán)節(jié)與最小相位系統(tǒng)最小相位環(huán)節(jié)與最小相位系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于s左半平面的環(huán)節(jié)，與其對(duì)應(yīng)的具有

27、相同幅頻特性、在s右半平面具有零點(diǎn)或(和) 極點(diǎn)的 “不穩(wěn)定” 環(huán)節(jié)相比，相頻特性的絕對(duì)值最小， 因此，稱其為最小相位環(huán)節(jié)，而相應(yīng)的在s 右半平面具有零點(diǎn)或(和)極點(diǎn)的 “不穩(wěn)定” 環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。延遲環(huán)節(jié)通常視為非最小相位環(huán)節(jié)。第四章 頻域分析法極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于s左半平面系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。反之，稱為非最小相位系統(tǒng)。易知，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍一定小于相應(yīng)的非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍。顯然，對(duì)于穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)只存在位于s右半平面的零點(diǎn)。第四章 頻域分析法例如：)(,11)(,11)(,11)(21212121ttststsgststsgststsgcba-180-90

28、0901801/t11/t2() / (deg)ga(s)gb(s)gc(s) (rad/sec)第四章 頻域分析法bode證明：最小相位系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性存在唯一確定的關(guān)系。第四章 頻域分析法l 系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)nyquist圖的繪制圖的繪制 基本步驟基本步驟q 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串 聯(lián)形式：)()()()(21sgsgsgsgn)()(2)(1)()()()()()(21njnjjjeaeaeaeajgq 求系統(tǒng)的頻率特性：)()()(2121)()()(njneaaa第四章 頻域分析法)()()()()()()()(2121nnaaaa即：q 求a(0)、(0)；a

29、()、()q 補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，根 據(jù)a()、() 的變化趨勢(shì)，畫出nyquist 圖 的大致形狀。第四章 頻域分析法 示例示例解解：) 1)(1)(1()()(321tjtjtjkjhjgq 例1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：) 1)(1)(1()()(321stststkshsg試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)nyquist圖。第四章 頻域分析法232222212111)(tttka123( )arctgtarctgtarctgt 0： a(0)k ： a()0(0)0()2700reimk =0第四章 頻域分析法解解：q 例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：) 12 . 0)(15 .

30、 0(10)()(sssshsg繪制系統(tǒng)開環(huán)nyquist圖并求與實(shí)軸的交點(diǎn)。) 12 . 0)(15 . 0(10)()(jjjjhjg)04. 01)(25. 01 (10)(22a第四章 頻域分析法2 . 05 . 090)(arctgarctg 0： a(0) ： a()0(0)90()2700) 11 . 0(49. 0) 11 . 0(10)(2232qnyquist圖與實(shí)軸相交時(shí)：解得：16. 310 j10（ 舍去）第四章 頻域分析法222) 11 . 0(49. 07)(p又：解得：43. 1710)(jp-7-1.430reim0第四章 頻域分析法q 例3：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳

31、遞函數(shù)如下：) 1() 1()()(221stsstkshsg繪制系統(tǒng)的開環(huán)nyquist圖。)1 ()1 ()(2222221ttka解解：) 1() 1()()(221tjtjkjhjg第四章 頻域分析法21180)(arctgtarctgt 0： a(0)(0)180 ： a()0()180 t1t2 時(shí)： () t2 時(shí)： () 180reim000t1t2第四章 頻域分析法 nyquist圖的一般形狀圖的一般形狀考慮如下系統(tǒng)：)()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(2121mntjtjtjjjjjkjgvnvmq 0型系統(tǒng)（v = 0） 0： a(0)k ： a()0

32、(0)0()(nm)90reim0kn=1n=2n=3n=4只包含慣性環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)nyquist圖0第四章 頻域分析法q i型系統(tǒng)（v = 1） 0： ：(0)90()(nm)90a()0a(0)reim0n=2n=3n=40n=1第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法q ii型系統(tǒng)（v = 2） ：()(nm)90a()0 0：(0)180a(0)reim0n=2n=3n=40第四章 頻域分析法q 開環(huán)含有v個(gè)積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)，nyquist曲線起 自幅角為v90的無窮遠(yuǎn)處。q n = m時(shí)，nyquist曲線起自實(shí)軸上的某一有 限遠(yuǎn)點(diǎn)，且止于實(shí)軸上的某一有限遠(yuǎn)點(diǎn)。q n m時(shí)，nyquist曲

33、線終點(diǎn)幅值為 0 ，而相 角為(nm)90。n-m=1n-m=2n-m=3n-m=4reim0第四章 頻域分析法q 不含一階或二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，相角滯 后量單調(diào)增加。含有一階或二階微分環(huán)節(jié) 的系統(tǒng)，由于相角非單調(diào)變化， nyquist 曲線可能出現(xiàn)凹凸。第四章 頻域分析法l 系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)bode圖的繪制圖的繪制 考慮系統(tǒng)：)()()()(21sgsgsgsgn)()()(jeajg)()()(2121)()()(njneaaa)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnlllaaaal)()()()(21n第四章 頻域分析法 例1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下

34、：)10010)(12() 15 . 0(1000)()(2sssssshsg試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)bode圖。解解：10010100121115 . 010)()(2sssssshsg易知系統(tǒng)開環(huán)包括了五個(gè)典型環(huán)節(jié)：第四章 頻域分析法10)(1sgssg1)(315 . 0)(2ssg轉(zhuǎn)折頻率：2=2 rad/s121)(4ssg轉(zhuǎn)折頻率：4=0.5 rad/s10010100)(25sssg轉(zhuǎn)折頻率：5=10 rad/s第四章 頻域分析法10011025 . 0901001102905 . 00)()()()()()(2254321arctgarctgarctgarctgarctgarctg10

35、01001lg2041lg20lg2025. 01lg2010lg20)()()()()()(2222254321llllll開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻及相頻特性為：第四章 頻域分析法bode diagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100() / (deg)l()/ (db) (rad/sec)l1l2l3l4l5l()()12345-20db/dec-40-20-60245=10第四章 頻域分析法 bode圖特點(diǎn)q 最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v， 斜率為20v db/dec。q 注意到最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性可近似為：lg20lg20)(vkl當(dāng)1 rad/s

36、時(shí)，l()=20lgk，即最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性或其延長線在1 rad/s時(shí)的數(shù)值等于20lgk。第四章 頻域分析法q 如果各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性用漸近線表示， 則對(duì)數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉(zhuǎn) 折點(diǎn)為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。q 對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)， 其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化量由當(dāng)前 轉(zhuǎn)折頻率對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。對(duì)慣性環(huán)節(jié)，斜率下降 20db/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降 40db/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20db/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升 40db/dec。第四章 頻域分析法 bode圖繪制步驟q 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)：) 12)(1() 1() 12)(1() 1

37、()()(112211112211ststststssssskshsgqqqqvppppq 確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：,2121tt并由小到大標(biāo)示在對(duì)數(shù)頻率軸上。第四章 頻域分析法q 計(jì)算20lgk，在1 rad/s 處找到縱坐標(biāo)等于 20lgk 的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率等于 -20v db/dec 的直線，向左延長此線至所有環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻 率之左，得到最低頻段的漸近線。q 向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折 頻率改變一次漸近線斜率。q 對(duì)漸近線進(jìn)行修正以獲得準(zhǔn)確的幅頻特性。q 相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。第四章 頻域分析法 例2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：) 101. 0)(105. 0

38、)(15() 15 . 0(100)()(ssssshsg試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)bode圖。解解：開環(huán)增益k100，20lgk40各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率分別為：sradsradsradsradttt/100,/20/2,/2 . 03211第四章 頻域分析法bode diagram-80-60-40-200204060-180-135-90-4504590 (rad/sec)() / (deg)l()/ (db)0.22201000-200-20-40第四章 頻域分析法l 傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定法傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定法 基本思路對(duì)待測(cè)系統(tǒng)，在感興趣的頻率范圍內(nèi)施加正弦激勵(lì)信號(hào)，測(cè)量足夠多頻率上系統(tǒng)輸出與輸入的幅值

39、比和相位差，繪制bode圖。根據(jù)bode圖的漸近線確定轉(zhuǎn)折頻率及各典型環(huán)節(jié)，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第四章 頻域分析法 由bode圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)q 確定對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。用斜率為 0 db/dec、 20db/dec 、40db/dec的直 線逼近實(shí)驗(yàn)曲線。q 根據(jù)低頻段漸近線的斜率，確定系統(tǒng)包 含的積分（或微分）環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。q 根據(jù)低頻段漸近線或其延長線在 1 rad/s的分貝值，確定系統(tǒng)增益。第四章 頻域分析法注意到系統(tǒng)低頻段漸近線可近似為：lg20lg20)(vkl若系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，則該漸近線或其延長線與0db線(頻率軸)的交點(diǎn)為：vk即也可由該交點(diǎn)處的頻率數(shù)值獲得系統(tǒng)增益。若系統(tǒng)

40、不含積分環(huán)節(jié)，低頻漸近線為 20lgkdb的水平線，k 值可由該水平漸近線獲得。第四章 頻域分析法q 根據(jù)漸近線轉(zhuǎn)折頻率處斜率的變化，確 定對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)。若 =1時(shí)，斜率變化20db/dec，則對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)為：111s若 =2時(shí)，斜率變化40db/dec，則對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)為：1222212ss第四章 頻域分析法二階環(huán)節(jié)的阻尼比 根據(jù)實(shí)驗(yàn)曲線在轉(zhuǎn)折頻率處的峰值與的關(guān)系確定。q 獲得系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)或傳遞函數(shù)。q 根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的相頻特性曲線校驗(yàn)獲得的 傳遞函數(shù)。若為最小相位系統(tǒng)，兩相頻特性應(yīng)大致相符，并且在很低和很高頻段上嚴(yán)格相符。2lg20)(nl第四章 頻域分析法若實(shí)驗(yàn)相頻特性曲線在高頻段（最高轉(zhuǎn)折頻率

41、的10倍頻程處）不等于(nm)90，則系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。若高頻末端，由計(jì)算得到的相位滯后比實(shí)驗(yàn)得到的相位滯后小180，則傳遞函數(shù)中一定有一個(gè)零點(diǎn)位于右半s平面。若高頻末端，由計(jì)算得到的相位滯后與實(shí)驗(yàn)得到的相位滯后相差一個(gè)恒定的變化率，則系統(tǒng)必存在延遲環(huán)節(jié)。第四章 頻域分析法因?yàn)槿簦簊esg)()()()(gjejg)(lim)(limgdddd 示例已知最小相位系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第四章 頻域分析法-200-20-40200.1120 (rad/s)l()解解：系統(tǒng)低頻段斜率為20db/dec，v=1。注意到，(lg0.1，20)和(lg1，20lgk)兩

42、點(diǎn)位于斜率為20db/dec的直線上。由：1201lg1 . 0lglg2020kk第四章 頻域分析法系統(tǒng)存在三個(gè)轉(zhuǎn)折頻率：0.1、1和20rad/s。對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)分別為：120/1,11, 11 . 0sss綜上所述，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：) 105. 0)(1(110120/111111 . 0)( ssssssssksg第四章 頻域分析法 幾點(diǎn)說明q 通常幅值測(cè)量比相位測(cè)量準(zhǔn)確；q 測(cè)量所用的正弦信號(hào)要求無諧波或波形畸 變；頻率范圍由待測(cè)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)決定， 時(shí)常數(shù)大的系統(tǒng)，頻率范圍通常在0.001 1000hz左右。q 合適的正弦信號(hào)輸入幅值；q 測(cè)量裝置需有足夠帶寬，且不失真；q 可利用

43、線性系統(tǒng)的疊加特性在線測(cè)量。第四章 頻域分析法l 米哈伊洛夫穩(wěn)定定理米哈伊洛夫穩(wěn)定定理 四、頻域穩(wěn)定性判據(jù) 一階系統(tǒng)特征方程：d(s) = s + p 0特征根：s = -p 0，系統(tǒng)穩(wěn)定。d(s)可視為復(fù)平面上的向量。當(dāng)變化時(shí)， d(j)的端點(diǎn)沿虛軸滑動(dòng)，其相角相應(yīng)發(fā)生變化。s-ps-ps + preim0在頻域該向量為：d(j) = p + j第四章 頻域分析法由圖易知，當(dāng)由0變化到時(shí)， d(j)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，即相角變化了/2。2)(argjdjreim0d(j)-p-p若特征根為正實(shí)根，則當(dāng)由0變化到時(shí)：2)(argjd第四章 頻域分析法 二階系統(tǒng)0)(2)(2122pspssssdn

44、n-p1-p2reim012j+p1j+p2-p1-p2reim012j + p1j+p222)(argjd當(dāng)由0變化到時(shí)：022)(argjd當(dāng)由0變化到時(shí)：q 實(shí)根情形( 1)第四章 頻域分析法q 共軛虛根情形(01時(shí)，n=1/2= q/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)k0的情形，即由 00+ 變化時(shí)，g(j)以幅值順時(shí)針旋轉(zhuǎn)v90 。綜上所述，對(duì)于包含積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)，對(duì)虛軸作上述處理后，繪制nyquist圖時(shí)需考慮由 00+ 變化時(shí)的軌跡。第四章 頻域分析法即按常規(guī)方法作出由 0+ 變化時(shí)的nyquist曲線后，從g(j0)開始，以的半徑順時(shí)針補(bǔ)畫v90 的圓弧(輔助線)得到完整的nyquist

45、曲線。顯然，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，由于：0)0(eekjgjvv其輔助線的起始點(diǎn)始終在無窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。第四章 頻域分析法 =0 =0 =0+reim0型系統(tǒng) =0 =re0 =0+imi型系統(tǒng) =0 =re0 =0+imii型系統(tǒng)第四章 頻域分析法對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，輔助線的起始點(diǎn)則由其含有的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)決定。偶數(shù)個(gè)時(shí)，起于正實(shí)軸，奇數(shù)個(gè)時(shí)起于負(fù)實(shí)軸。為作圖方便，通常按由 0+ 0變化加輔助線，即從g(j0+)開始以的半徑逆時(shí)針補(bǔ)畫v90的圓弧。作出輔助線的nyquist曲線方向仍然是0 0+ +。作出輔助線后，即可應(yīng)用nyquist判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第四章 頻域分析法q 例題 例1：?jiǎn)?/p>

46、位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1()(tssksg應(yīng)用nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：開環(huán) nyquist曲線不包圍 (-1, j0 )點(diǎn)，而q=0，因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 =0 =0 =0+reim第四章 頻域分析法 例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1)(1()()(21ststskshsg應(yīng)用nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：)1)(1 ()(222212ttka2121270)180(90)(arctgtarctgtarctgtarctgt第四章 頻域分析法 0： a(0) (0)270 ： a()0()270注意到： 212121270270270)(tttt

47、arctgtarctgt即t1t2 時(shí)，nyquist曲線位于第一象限。 第四章 頻域分析法t1t2 =0 =0 =0+reim =0 =0+由圖可見，nyquist曲線順時(shí)針包圍(-1, j0 )點(diǎn)半次，而q1，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。第四章 頻域分析法 nyquist判據(jù)中“穿越”的概念q 穿越：指開環(huán)nyquist曲線穿過 (-1, j0 ) 點(diǎn)左 邊實(shí)軸時(shí)的情況。q 正穿越： 增大時(shí)，nyquist曲線由上而下穿 過-1 - 段實(shí)軸。q 負(fù)穿越： 增大時(shí)，nyquist曲線由下而上穿 過-1 - 段實(shí)軸。負(fù)穿越相當(dāng)于nyquist曲線 反向包圍(-1, j0 )點(diǎn)一圈。正穿越時(shí)，相角增加，相當(dāng)

48、于nyquist曲線正向包圍(-1, j0 )點(diǎn)一圈。第四章 頻域分析法-1+0reim = =0q=2nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)由0變化到時(shí)，nyquist曲線在(-1, j0 )點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于q/2時(shí)（ q 為系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。易知，上圖所示系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。第四章 頻域分析法l 對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù) nyquist圖與bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系1-1234= =0+reim-180-90l()()123400第四章 頻域分析法q nyquist圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓對(duì)應(yīng)對(duì) 數(shù)幅頻特性圖上的 0 分貝線。單位圓以外 的n

49、yquist曲線，對(duì)應(yīng)l()0的部分；單位 圓內(nèi)部的nyquist曲線對(duì)應(yīng)l()0的所有頻率范圍內(nèi)的對(duì)數(shù)相 頻特性曲線與180線的穿越點(diǎn)。第四章 頻域分析法q nyquist 圖中的正穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性 曲線當(dāng)增大時(shí)從下向上穿越180 線(相 角滯后減小 )； 負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性 曲線當(dāng) 增大時(shí)，從上向下穿越180線 ( 相角滯后增大)。q nyquist 曲線的輔助線反映在對(duì)數(shù)相頻特性 曲線上。 即將對(duì)數(shù)相頻特性曲線的起始點(diǎn) (0+) 與 (0+) +v 90線相連(v 為開環(huán)積分 環(huán)節(jié)的數(shù)目)。第四章 頻域分析法 對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)存在 q 個(gè)位于右半s平面的

50、特征根，則當(dāng)在 l()0 的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線() ( 含輔助線 ) 與 -180 線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于q/2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。第四章 頻域分析法 例題q 例1：系統(tǒng)開環(huán)bode圖如下，判斷系統(tǒng)閉環(huán) 是否穩(wěn)定。()l()-180v 0, q 2解解：n2n12qnn閉環(huán)穩(wěn)定。第四章 頻域分析法q 例2：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)) 1025. 0)(11 . 0)(15)(110() 15 . 0)(1(500)()(2sssssssshsg判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：系統(tǒng)沒有位于右半s平面的開環(huán)特征根， 即：q0第四章 頻域分析法0 -90 -180 -270

51、-360 0.01 0.1 1 10 100 (rad/s)()-100-50050100150l() / db閉環(huán)不穩(wěn)定。21qnn第四章 頻域分析法l 穩(wěn)定程度與穩(wěn)定裕量穩(wěn)定程度與穩(wěn)定裕量 開環(huán)nyquist曲線與閉環(huán)階躍響應(yīng)的關(guān)系0txo1(t)-1 = =0+0reimq=0閉環(huán)不穩(wěn)定-1 = =0+0reimq=0閉環(huán)臨界穩(wěn)定0 xo1(t)t第四章 頻域分析法-1 = =0+ =reimq=0閉環(huán)穩(wěn)定xo1(t)t0-1 = =0+ =reimq=0閉環(huán)穩(wěn)定xo1(t)t0第四章 頻域分析法結(jié)論結(jié)論：開環(huán)nyquist曲線與(-1, j0)點(diǎn)的接近程度可以反映系統(tǒng)閉環(huán)的相對(duì)穩(wěn)定性，

52、 即穩(wěn)定程度。 增益(幅值)裕量kg-1reim0 =ggk1-11+g(j)reim0 =第四章 頻域分析法q 相位穿越頻率g開環(huán)nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率g稱為相位穿越頻率。顯然：(g) = 180。q 增益裕量)()(1)(1ggggjhjgak)()(lg20)(1lg20)(gggglaadbk第四章 頻域分析法注意到：如果開環(huán)增益增加kg倍，nyquist將穿過(-1, j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。因此，增益裕量的物理意義可表述為：在保持系統(tǒng)穩(wěn)定條件下，開環(huán)增益所允許增加的最大分貝數(shù)。nyquist曲線穿過(-1, j0)點(diǎn)時(shí)， kg 0db。nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸

53、不相交， kg db。 開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量第四章 頻域分析法閉環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，相位穿越點(diǎn)位于(-1, j0)點(diǎn)左邊，kg 0db。閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)，kg 0db。第四章 頻域分析法gg1/kg11/kg2-1reim =0kg1kg2()l()0-180最小相位穩(wěn)定系統(tǒng)最小相位不穩(wěn)定系統(tǒng)第四章 頻域分析法q 增益裕量的局限 條件穩(wěn)定系統(tǒng)-1g1g21/kg11/kg2reim =0最小相位條件穩(wěn)定系統(tǒng)條件穩(wěn)定系統(tǒng)需要兩個(gè)增益裕量kg1(1)和kg2 (1)共同表示。物理意義： 條件穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)增益放大kg1或kg2倍時(shí)，系統(tǒng)均達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第四章 頻域分析法 增益裕量相同但穩(wěn)定程度不同的系統(tǒng)-1

54、reim0 =c-1reim0 = (c) (c)c第四章 頻域分析法 相位裕量 (c)q 幅值穿越頻率c開環(huán)nyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率c稱為幅值穿越頻率。顯然：a(c) = 1， l(c) = 0db。q 相位裕量在增益穿越頻率c上，使系統(tǒng)開環(huán)nyquist曲線穿過(-1, j0) 點(diǎn)（即達(dá)到臨界穩(wěn)定）尚可增加的相位滯后量 (c)，稱為相位裕量。第四章 頻域分析法由定義： (c) (c) = 180即： (c)180 (c)顯然，對(duì)開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果g(j)h(j) 曲線包圍(-1, j0) 點(diǎn)， (c) 0db 且 (c) 0 如果g(j)h(j) 曲線與負(fù)實(shí)軸不相交，

55、(c) 0-1gc =0 =(c)1/kgreim (c)-18000()l()cg (c)kg第四章 頻域分析法開環(huán)和閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量和相位裕量：第四章 頻域分析法-1gc =0 =(c)1/kgreim (c)-18000()l()cg (c)kg開環(huán)穩(wěn)定、閉環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)的增益裕量和相位裕量：第四章 頻域分析法為了得到滿意的性能，一般要求：kg 6db 且 (c) 3070 與增益裕量相比，增益裕量所給出的是開環(huán)增益改變對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的量度，而相位裕量則表示只改變g(j)h(j) 相角的那些系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)對(duì)閉環(huán)穩(wěn)定性影響的量度。第四章 頻域分析法q 相位裕量的局限-1gc =0

56、 =1/kgreim (c)由此可見，僅用增益裕量或相位裕量甚至在某些情形下，同時(shí)應(yīng)用增益裕量或相位裕量都不足以說明系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。-1 =0 =reim (c)1/kgcg第四章 頻域分析法 增益裕量與相位裕量的計(jì)算q 相位穿越頻率g與增益裕量kg計(jì)算(g) = 180計(jì)算g涉及三角方程的求解，一般比較困難，通常只能采用迭代計(jì)算方法，迭代初值可根據(jù)相頻特性曲線估算。第四章 頻域分析法v 牛頓迭代法：令：f() () + = 0 ()單位為rad)()(kkkffkkk1niimiiarctgtarctg11)(若：niiimiiitt1212)(1)(1)(則：第四章 頻域分析法) 1)(1

57、()()(21ststskshsg 180)(g例：9021ggarctgtarctgt121ggtt211ttgtgtgtgtgtg1)(利用：2121)(ttttkag2121ttkttkg第四章 頻域分析法此例，若t11，t20.25g = 2rad/s， kg = 5/k顯然， 閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)，要求：k 5迭代法：25. 02)(arctgarctg2216411)(25. 02)(arctgarctgf取不同初值時(shí)，迭代過程如下：2211641125. 02kkkkkkarctgarctg1 1.7350 1.9821 1.9999 2.00000 1.2566 1.8544 1.994

58、6 2.00004 1.0601 1.7659 1.9860 2.0000第四章 頻域分析法第四章 頻域分析法q 幅值穿越頻率c與相位裕量 (c)計(jì)算a(c) = 1， l(c) = 0db上式通常也必須通過迭代方法求解。迭代時(shí)，通常取： f()lna() 0niimiiniimiitta12212212121ln1ln21)(1ln)(1ln)(ln若：第四章 頻域分析法)(ln)(ln)()(kkkkkaaffkkk1niiimiiitta1222122211)(ln則：第四章 頻域分析法) 125. 0)(1(1)()(sssshsg例：22)25. 0(1ln21)1ln(21ln)(

59、lna221611)(lna1 0.7582 0.7756 0.77570.2 0.5052 0.7378 0.7751 0.7757 2 0.3906 0.6863 0.7723 0.7757c = 0.7757 (c) = 41.23第四章 頻域分析法 幅值穿越頻率c的近似求解0l()c1234 對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線與c的位置關(guān)系c位于某段漸近線的兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率之間。第四章 頻域分析法1) 寫出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線在各個(gè)頻段的漸 近線方程1121121211)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(kkkkkkkkaaaaal 步驟第四章 頻域分析法2) 按順序求各漸近線20

60、lgak()與0db線的交點(diǎn)頻率k*；) 105. 0)(12() 12 . 0(100)()(ssssshsg例：3) 若k-1k*k，則c = k*。第四章 頻域分析法20200log20) 105. 0)(12() 12 . 0(100lg20205 10log20) 12() 12 . 0(100lg2055 . 0 50log20) 12(100lg205 . 0 100lg20100lg20)(22jjjjjjjjjjl105. 01) 12 . 0(1211100)()(jjjjjhjg第四章 頻域分析法解得：*1*22*3*4210020lg0 1000.55020log0 5