1、起單元質(zhì)量評估(一) (第一章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求的)1.命題“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是()a.若x21,則x1,或x-1b.若-1<x<1,則x2<1c.若x>1,或x<-1,則x2>1d.若x1或x-1,則x21【解析】選d.命題“若p,則q”的逆否命題為“若¬q,則¬p”.2.(2015·北京高考)設,是兩個不同的平面,m是直線且m,“m”是“”的()a.充分而不必要條件b.必要而不充分

2、條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件【解析】選b.當m時,可能,也可能與相交.當時,由m可知,m.因此,“m”是“”的必要而不充分條件.【補償訓練】(2016·煙臺高二檢測)已知p:,q:coscos,則p是q的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件【解題指南】根據(jù)原命題與其逆否命題的真假性相同,要判斷p是q的什么條件,只需判斷¬q是¬p的什么條件.【解析】選b.¬p:=;¬q:cos=cos,顯然¬p¬q成立,但¬q¬p,所以¬q是¬p的

3、必要不充分條件,即p是q的必要不充分條件.3.設a,b為向量,則“”是“ab”的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件【解析】選c.a,b為向量,設a與b的夾角為.由從而得cos=1,cos=±1,所以=0或,能夠推得ab,反之也能夠成立,為充分必要條件.4.若一個命題p的逆命題是一個假命題,則下列判斷一定正確的是()a.命題p是真命題b.命題p的否命題是假命題c.命題p的逆否命題是假命題d.命題p的否命題是真命題【解析】選b.命題p的逆命題與其否命題是互為逆否命題,具有相同的真假性,其他命題的真假無法確定.5.(2016·海口高二

4、檢測)已知命題p:x0(-,0),2x0<3x0,命題q:x(0,1),log2x<0,則下列命題為真命題的是()a.pqb.p(¬q)c.(¬p)qd.p(¬q)【解析】選c.由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,命題p是假命題,由對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,命題q是真命題,則命題“pq”為假命題,命題“p(¬q)”為假命題,命題“(¬p)q”為真命題,命題“p(¬q)”為假命題,故選c.6.(2016·杭州高二檢測)命題“x1,2,x2-a0”為真命題的一個充分不必要條件是()a.a4b.a4c.a5d.a5【解析】選c

5、.命題“x1,2,x2-a0”為真命題的充要條件是a4,故其充分不必要條件是實數(shù)a的取值范圍是集合4,+)的非空真子集,正確選項為c.【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的誤區(qū)是條件與結(jié)論沒有區(qū)別開,若a是b成立的條件,則a是條件,b是結(jié)論,若a成立的條件是b,則結(jié)論是a.7.對xr,kx2-kx-1<0是真命題,則k的取值范圍是()a.-4k0b.-4k<0c.-4<k0d.-4<k<0【解析】選c.由題意知kx2-kx-1<0對任意xr恒成立,當k=0時,-1<0恒成立;當k0時,有k<0,=k2+4k<0,即-4<k<0,所以-4<

6、;k0.8.(2016·廣州高二檢測)下列各小題中,p是q的充分必要條件的是()p:cos=cos,q:tan=tan;p:f(-x)f(x)=1,q:y=f(x)是偶函數(shù);p:ab=a;q:ba;p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點.a.b.c.d.【解析】選c.當=3,=-3時,cos=cos,tantan,故pq,同理p q,不符合;由f(-x)f(x)=1f(x)=f(-x)f(x)為偶函數(shù),而逆命題為假,如f(x)=x2,不符合;由ab=aabba,符合;函數(shù)y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點的充要條件為=m2-4(m+3)>

7、;0,即(m+2)(m-6)>0,解得m<-2或m>6,符合.【誤區(qū)警示】原命題與逆命題都真時,命題的條件與結(jié)論互為充要條件,本題易忽視對命題“若p,則q”以及逆命題“若q,則p”的真假的判斷而誤選d.9.已知命題p:函數(shù)y=2-ax+1(a>0,a1)圖象恒過(1,2)點;命題q:若函數(shù)f(x-1)為偶函數(shù),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則下列命題為真命題的是()a.pqb.¬p¬qc.¬pqd.p¬q【解析】選b.函數(shù)y=2-ax+1圖象恒過定點(-1,1),所以命題p為假命題;若函數(shù)f(x-1)為偶函數(shù),所以有f(-x

8、-1)=f(x-1),關(guān)于直線x=-1對稱,所以命題q為假命題;所以¬p為真,¬q為真,故選b.10.(2016·鄭州高二檢測)下列結(jié)論中,正確的是()命題“如果p2+q2=2,則p+q2”的逆否命題是“如果p+q>2,則p2+q22”;已知a,b,c為非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,則甲是乙的必要條件,但不是充分條件;p:y=ax(a>0,且a1)是周期函數(shù),q:y=sinx是周期函數(shù),則pq是真命題;命題p:x0r,x02-3x0+20的否定是¬p:xr,x2-3x+2<0.a.b.c.d.【解析

9、】選c.容易判斷正確,中,由b=c可得a·b=a·c,但由a·b=a·c只能得出a·(b-c)=0,不一定有b=c,故正確,中,p為假命題,q為真命題,故pq是假命題,不正確,顯然正確,故選c.【補償訓練】1.下面說法正確的是()a.命題“x0r,使得x02+x0+10”的否定是“xr,使得x2+x+10”b.實數(shù)x>y是x2>y2成立的充要條件c.設p,q為簡單命題,若“pq”為假命題,則“¬p¬q”也為假命題d.命題“若=0,則cos=1”的逆否命題為真命題【解析】選d.對a,命題的否定是:“xr,使得x2+

10、x+1<0”,故不正確.對于b,由x>yx2>y2,且x2>y2x>y,故不正確.對于c,若“pq”為假命題,則“¬p¬q”為真命題,故不正確.對于d,若=0,則cos=1是真命題,故其逆否命題也為真命題,故正確.2.(2016·棗莊高二檢測)給出如下四個命題:若“p且q”為假命題,則p,q均為假命題;命題“若a>b,則2a>2b-1”的否命題為“若ab,則2a2b-1”;“xr,x2+11”的否定是“x0r, x02+11”;在abc中,“a>b”是“sina>sinb”的充要條件.其中不正確的命題的個數(shù)是(

11、)a.4b.3c.2d.1【解析】選c.若“p且q”為假命題,則p,q中有一個為假命題,不一定p,q均為假命題,故錯;根據(jù)命題寫出其否命題時,只須對條件與結(jié)論都進行否定即可,故命題“若a>b,則2a>2b-1”的否命題為“若ab,則2a2b-1”,正確;根據(jù)由一個命題的否定的定義可知:改變相應的量詞,然后否定結(jié)論:“xr,x2+11”的否定是“x0r,x02+1<1”,故錯;在abc中,根據(jù)大邊對大角及正弦定理即可得:“a>b”是“sina>sinb”的充要條件.故正確.其中不正確的命題的個數(shù)是2.11.已知命題p:“對xr,mr,使4x+2xm+1=0”.若命題

12、¬p是假命題,則實數(shù)m的取值范圍是()a.-2m2b.m2c.m-2d.m-2或m2【解析】選c.因為¬p假,所以p真.對xr,t=2x>0,即求使t2+mt+1=0(t>0)成立的m的范圍,而二次函數(shù)y=t2+mt+1開口向上,且恒過定點(0,1),故=m2-40,-m2>0,所以m-2.12.(2016·武漢高二檢測)定義域為r的偶函數(shù)f(x)滿足對xr,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當x2,3時,f(x)=-2(x-3)2,若函數(shù)y=f(x)-loga(x+1)在(0,+)上至少有三個零點,則a的取值范圍為()a.0,22b.0,3

13、3c.0,55d.0,66【解題指南】對函數(shù)恒等式進行賦值,探究函數(shù)的周期性、對稱性,畫出函數(shù)圖象,建立不等式求解.【解析】選b.由于定義域為r的偶函數(shù)f(x)滿足對xr,有f(x+2)=f(x)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期t=2,圖象以x=2為對稱軸,作出f(x)的部分圖象,如圖,因為y=loga(x+1)的圖象與f(x)的圖象至少有三個交點,即有l(wèi)oga(2+1)>f(2)=-2且0<a<1,解得a0,33.二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2016&

14、#183;三明高二檢測)命題“若x=1或x=2,則x2-3x+2=0”的否命題是_.【解析】條件與結(jié)論都否定,即“若x1且x2,則x2-3x+20”.答案:若x1且x2,則x2-3x+2014.命題“ax2-2ax-3>0不成立”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是_.【解析】ax2-2ax-30恒成立,當a=0時,-30成立;當a0時,由a<0,=4a2+12a0得-3a<0;所以-3a0.答案:-3,015.設nn*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=_.【解析】由=16-4n0得n4,又因為nn*,故n=1,2,3,4,驗證可知n=3,4,符合題意;反之,

15、當n=3,4時,可以推出一元二次方程有整數(shù)根.答案:3或4【補償訓練】已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若¬p是¬q的充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是_.【解析】p:a-4<x<a+4,q:2<x<3,因為由¬p是¬q的充分條件(即¬p¬q),所以qp,所以a-42,a+43,所以-1a6.答案:-1,616.下列三個命題中“k=1”是“函數(shù)y=cos2kx-sin2kx的最小正周期為”的充要條件;“a=3”是“直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a-1)y=a-7相互垂

16、直”的充要條件;函數(shù)y=x2+4x2+3的最小值為2.其中是假命題的為_(將你認為是假命題的序號都填上)【解析】“k=1”可以推出“函數(shù)y=cos2kx-sin2kx的最小正周期為”,但是函數(shù)y=cos2kx-sin2kx的最小正周期為,即y=cos2kx,t=2|2k|=,k=±1.“a=3”不能推出“直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=25;函數(shù)y=x2+4x2+3=x2+3+1x2+3=x2+3+1x2+3,令x2+3=t,t3,ymin=3+13=433.答案:三、解答題(本大題共6個小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、

17、證明過程或演算步驟)17.(10分)判斷下列語句是否為命題,若是命題,再判斷是全稱命題還是特稱命題,并判斷真假.(1)有一個實數(shù),tan無意義.(2)任何一條直線都有斜率嗎?(3)圓的圓心到其切線的距離等于該圓的半徑.(4)圓內(nèi)接四邊形的對角互補.(5)對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù).【解析】(1)特稱命題.當=2時,tan不存在,所以,特稱命題“有一個實數(shù),tan無意義”是真命題.(2)不是命題.(3)雖然不含有全稱量詞,但該命題是全稱命題.它的含義是任何一個圓的圓心到切線的距離都等于圓的半徑,所以,全稱命題“圓的圓心到其切線的距離等于該圓的半徑”是真命題.(4)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”的實質(zhì)是“所

18、有的圓內(nèi)接四邊形,其對角都互補”,所以該命題是全稱命題且為真命題.(5)雖然不含全稱量詞,但“對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”中省略了“所有的”,所以該命題是全稱命題且為真命題.18.(12分)判斷命題“已知a,x為實數(shù),如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,則a1”的逆否命題的真假.【解析】方法一:(直接法)逆否命題:已知a,x為實數(shù),如果a<1,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為空集.判斷如下:二次函數(shù)y=x2+(2a+1)x+a2+2圖象的開口向上,判別式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因為a<1,所以4a-7<0.即二次

19、函數(shù)y=x2+(2a+1)x+a2+2與x軸無交點,所以關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為空集,故逆否命題為真.方法二:(先判斷原命題的真假)因為a,x為實數(shù),且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,所以=(2a+1)2-4(a2+2)0,即4a-70,解得a74,因為a74>1,所以原命題為真.又因為原命題與其逆否命題等價,所以逆否命題為真.19.(12分)若p:|x-3|2,q:(x-m+1)(x-m-1)0,且¬p是¬q的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】由題意p:-2x-32,所以1x5.所以¬p:x

20、<1或x>5.q:m-1xm+1,所以¬q:x<m-1或x>m+1.又因為¬p是¬q的充分不必要條件,所以m-11,m+15,所以2m4.20.(12分)(2016·宿州高二檢測)已知命題p:方程x2-2mx+m=0沒有實數(shù)根;命題q:xr,x2+mx+10.(1)寫出命題q的否定“¬q”.(2)如果“pq”為真命題,“pq”為假命題,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)¬q:x0r,x02+mx0+1<0.(2)若方程x2-2mx+m=0沒有實數(shù)根,則=4m2-4m<0,解得0<m<1,

21、即p:0<m<1.若xr,x2+mx+10,則m2-40,解得-2m2,即q:-2m2.因為“pq”為真命題,“pq”為假命題,所以p,q兩命題應一真一假,即p真q假或p假q真.則0<m<1,m>2或m<-2或m0或m1,-2m2.解得-2m0或1m2.【拓展延伸】完美解決參數(shù)問題通過已知條件,探索命題的真假,然后求解參數(shù)的取值范圍,是邏輯用語部分常見的、基本的題型.解決此類問題要從三個方面入手:(1)熟練掌握真值表,判斷單個命題p,q的真假.(2)具備豐富的基礎知識儲備,求解單個命題成立的參數(shù)范圍.(3)輔助應用集合的運算確定參數(shù)的最后范圍.【補償訓練】(

22、2016·貴陽高二檢測)已知兩個命題p:sinx+cosx>m,q:x2+mx+1>0,如果對任意xr,有pq為真,pq為假,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】當命題p是真命題時,由于xr,則sinx+cosx=2sinx+4-2,所以有m<-2.當命題q是真命題時,由于xr,x2+mx+1>0,則=m2-4<0,解得-2<m<2.由于pq為真,pq為假,所以p與q一真一假.考慮到函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖象為開口向上的拋物線,對任意的xr,x2+mx+10不可能恒成立.所以只能是p為假,q為真,此時有m-2,-2<m<2,解得-

23、2m<2,所以實數(shù)m的取值范圍是-2,2).21.(12分)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x.對于x0,1,|f(x)|1成立,試求實數(shù)a的取值范圍.【解析】|f(x)|1-1f(x)1-1ax2+x1,x0,1.當x=0時,a0,式顯然成立;當x(0,1時,式化為-1x2-1xa1x2-1x在x(0,1上恒成立.設t=1x,則t1,+),則有-t2-tat2-t,所以只需a(-t2-t)max=-2,a(t2-t)min=0-2a0,又a0,故-2a<0.綜上,所求實數(shù)a的取值范圍是-2,0).22.(12分)(2016·臨沂高二檢測)求關(guān)于x的方程ax2+22x+a+1=0至少有一個負的實數(shù)根的充要條件.【解析】方程ax2+22x+a+1=0至少有一個負的實數(shù)根的充要條件是:方程只有一個負實數(shù)根或有一個正實數(shù)根與一個負實數(shù)根或有兩個負實數(shù)根,或有一負一零根,設兩根為x1,x2,則a=0或=(22)2-4a(a+1)>0,x1x2=a+1a<0或=(22)2-4a(a+1)0,x1+x2=-22a<0,x1x2=a+1a>0或=(2