1、第七章第七章 向量代數與空間解析幾何向量代數與空間解析幾何 第一節第一節 空間直角坐標系空間直角坐標系 第二節第二節 向量代數向量代數 第三節第三節 曲面及其方程曲面及其方程 第四節第四節 平面及其方程平面及其方程 第五節第五節 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 第六節第六節 空間的直線及其方程空間的直線及其方程 第七節第七節 二次曲面二次曲面第一節第一節 空間直角坐標系空間直角坐標系 一一、空間點的直角坐標、空間點的直角坐標 二二、空間兩點間的距離、空間兩點間的距離x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標系空間直角坐標系 三個坐標軸的正方向三個坐標軸的正方向符合符合右手系右手系

2、.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當右手的四個手指當右手的四個手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉向正向度轉向正向y軸軸時，大拇指的指向時，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.一、空間點的直角坐標一、空間點的直角坐標xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標系共有空間直角坐標系共有八個卦限八個卦限空間的點空間的點有序數組有序數組),(zyx 11特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(o),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐標軸上的點坐標軸上的點,p,q,r坐標面上的點坐標面

3、上的點,a,b,c設設),(1111zyxm、),(2222zyxm為為空空間間兩兩點點xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd在在直直角角21nmm 及及 直直 角角pnm1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212nmpnpmd 二、空間兩點間的距離二、空間兩點間的距離,121xxpm ,12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo 1mpnqr 2m例例 1 1 求證以求證以)

4、1 , 3 , 4(1m、)2 , 1 , 7(2m、)3 , 2 , 5(3m三點為頂點的三角形是一個等腰三角形三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解解 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原結論成立原結論成立.例例 2 2 設設p在在x軸上，它到軸上，它到)3 , 2, 0(1p的距離為的距離為到點到點)1, 1 , 0(2 p的距離的兩倍，求點的距離的兩倍，求點p的坐標的坐標.解解設設p點坐標為點坐標為),0 , 0 ,(x因為因為p在在x軸上，軸上， 1pp

5、22232 x,112 x 2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 空間直角坐標系空間直角坐標系 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標系的（注意它與平面直角坐標系的區別區別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限）三、小結三、小結 21221221221zzyyxxmm 第二節第二節 向量代數向量代數 一一、向量的概念、向量的概念 二二、向量的加減法、向量的加減法 三三、向量與數量的乘積、向量與數量的乘積 四四、向量在軸上的投影、向量在軸上的投影 五五、向量的分解和向量的坐

6、標、向量的分解和向量的坐標 六六、向量的模與方向余弦坐標表示式、向量的模與方向余弦坐標表示式 七七、 兩向量的數量積兩向量的數量積 八八、 兩向量的向量積兩向量的向量積向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m為起點，為起點，2m為終點的有向線段為終點的有向線段.1m2m a21mm模長為模長為1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考慮起點位置的向量不考

7、慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負向量：負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標系中任一點空間直角坐標系中任一點 與原點與原點構成的向量構成的向量. . omm1 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若abab分為同向和反向分為同向和反向ba（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法二、向量的加減法向量的加法符合下列運算規律：向量的加法符合下列運算規律：（1 1）交換律：）交換律

8、：.abba （2 2）結合律：）結合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab設設 是是一一個個數數，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規規定定為為, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 三、向量與數的乘法三、向量與數的乘法數與向量的乘積符合下列運算規律：數與向量的乘積符合下列運算規律：（1 1）結合律：）結合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的實數一

9、的實數分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設向量設向量定理定理兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系注意注意：兩個向量的平行：兩個向量的平行分為同向和反向分為同向和反向同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設設aa0按照向量與數的乘積的規定，按照向量與數的乘積的規定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.例例1 1 化簡化簡 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.25

10、2ba 四、向量在軸上的投影與投影定理四、向量在軸上的投影與投影定理空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u aa 過過點點a作作軸軸u的的垂垂直直平平面面，交交點點a 即即為為點點a在在軸軸u上上的的投投影影.空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uaa bb 已知向量的起點已知向量的起點a和終點和終點

11、b在在軸軸u上的投影分別為上的投影分別為ba ,那那么軸么軸u上的有向線段上的有向線段ba 的的值，稱為向量在軸值，稱為向量在軸u上的投影上的投影.ba 向量向量ab在軸在軸u上的投影記為上的投影記為關于向量的關于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量ab在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：abjupr cos| ab 證證uaba b b abjuprabju pr cos| ab u abjupr關于向量的關于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個向向量量在在該

12、該軸軸上上的的投投影影之之和和. .prpr)(pr2121a ja jaaj aa bb cc （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a五、向量在坐標軸上的分向量與向量五、向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標的坐標空間的點空間的點有序數組有序數組),(zyx 11建立了直角坐標系后，建立了直角坐標系后，也就是說空間的點可以用坐標也就是說空間的點可以用坐標),(zyx表示表示那么，向量能不能用坐標的形式表示呢？那么，向量能不能用坐標的形式表示呢？xyzo 1mpnqr 2m以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在

13、 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxmm)()()(12121221 kzzjyyixxmm)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標分解式坐標分解式：在三個坐標軸上的在三個坐標軸上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐標坐標：,zyxaaa向量的向量的坐標表達式坐標表達式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxmm 特殊地：特殊地：,zyxom .,軸上的投影軸上的投影分別為向量在分別為向量在其中其中zyxaaazyx向量的

14、加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 六、向量的模與方向余弦的坐標表示式六、向量的模與方向余弦的坐標表示式xyzo 1m 2m 由圖分

15、析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa pqr向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式21212121rmqmpmmm 0222 zyxaaa當當 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為的模

16、和方向余弦求和設已知兩點例2121) 1, 2 , 4()3 , 2, 1 (.mmmm解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.向量向量a與與b的的數量積數量積為為ba cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義七、兩向量的數量積七、兩向量的數量積

17、ab ,prcos|bjba ,prcos|ajab ajbbabpr| .pr|bjaa 數量積也稱為數量積也稱為“點積點積”、“內積內積”.結論結論 兩向量的數量積等于其中一個向量的模兩向量的數量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積. .1 1、數量積的定義及性質、數量積的定義及性質關于數量積的說明：關于數量積的說明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2

18、數量積符合下列運算規律：數量積符合下列運算規律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數為數： ),()()(bababa 若若 、 為數為數： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數量積的坐標表達式數量積的坐標表達式2、數量積的坐標計算公式、數量積的坐標計算公式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyx

19、xbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為3、兩非零向量夾角余弦的坐標表示式、兩非零向量夾角余弦的坐標表示式解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabpr|)3( . 3|pr bbaajb .43 ppba，求垂直于向量例題：已知向量5, 4,1 , 2, 3八、兩向量的向量積八、兩向量的向量積向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac | |sinaba b(其

20、中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.b a c=a b )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 ,ijk0,iijjkk, jik , ikj 關于基本單位向量有關于基本單位向量有關于向量積的說明：關于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積符合下列運算規律：向量積符合下列運算規律：（1）反交換律：）反交換律：.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數：為數： ).()

21、()(bababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaaxb、yb、zb不不能能同同時時為為零零，但但允允許許兩兩個個為為零零，例如，例如，注意注意|ba

22、表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.若把若把a, ,b的起點放在一起的起點放在一起, ,并并以以a, ,b為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形, ,則向則向量量a與與b叉積的模叉積的模 |ba = =sin|ba 即為該平行四邊形的面積即為該平行四邊形的面積. . a b a b bapba，求垂直于向量例題：已知向量5, 4,1 , 2, 3例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例

23、4 4 在頂點為在頂點為)2 , 1, 1( a、)2 , 6, 5( b和和)1, 3 , 1( c的三角形中，求的三角形中，求ac邊上的高邊上的高bd.abc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面積為的面積為|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd第三節第三節 曲面及其方程曲面及其方程 一一、曲面方程的概念、曲面方程的概念 二二、旋轉曲面、旋轉曲面 三三、柱面、柱面水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在

24、空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面s與與三三元元方方程程0),( zyxf有有下下述述關關系系：（1 1） 曲面曲面s上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面s上的點的坐標都不滿足方程；上的點的坐標都不滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxf就就叫叫做做曲曲面面s的的方方程程，而而曲曲面面s就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實例：曲面的實例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念解解設設),(zyxm是球面上任一點，是球面上任一點，rmm |0根據題意有根據題意有 rzzyyxx 202020 22

25、02020rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222rzyx 設設),(zyxm是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據題意有根據題意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸播放播放二、旋轉曲面二、旋轉曲面二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的

26、曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲

27、面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定

28、直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲

29、面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線

30、旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸xozy0),( zyf), 0(111zym m),(zyxm設設1)1(zz （2）點）點m到到z軸的距離軸的距離|122yyxd 旋轉過程中的特征：旋轉過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxy

31、f例例3 3 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程生成的旋轉曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czyax122222 czayx旋轉雙曲面旋轉雙曲面繞繞y軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czxay122222 czayx旋轉橢球面旋轉橢球面pzyx222 旋轉拋物面旋轉拋物面播放播放定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線

32、 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl三、柱面三、柱面定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義

33、定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成

34、過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線

35、移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲

36、面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫

37、柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y 在空間直角坐標系下，

38、含兩個變量的方程為柱面在空間直角坐標系下，含兩個變量的方程為柱面方程，并且方程中缺哪個變量，該柱面的母線就平行方程，并且方程中缺哪個變量，該柱面的母線就平行于哪一個坐標軸于哪一個坐標軸 . . 曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉曲面的概念及求法旋轉曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母線、準線母線、準線). 0),( zyxf四、小結四、小結第四節第四節 平面及其方程平面及其方程 一一、平面的點法式方程、平面的點法式方程 二二、平面的一般式方程、平面的一般式方程 三三、 兩平面的夾角兩平面的夾角xyzo0mm 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該

39、平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內的任一向量垂直于平面內的任一向量已知已知,cban ),(0000zyxm設平面上的任一點為設平面上的任一點為),(zyxmnmm 0必有必有00 nmm一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程n,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,cban 已知點已

40、知點).,(000zyx.(2,2,1)23ijk例求過點且垂直于向量的平面方程。解：因為平面垂直于向量，所以平面可以取法向量為解：因為平面垂直于向量，所以平面可以取法向量為又因為平面過點（又因為平面過點（2，1，1），所以由平面的點法式方程得：），所以由平面的點法式方程得：(2)2(1)3(1)0 xyz2370 xyz化簡得1, 2,3n 例例 1 1 求過三點求過三點)4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 ab1, 3, 2 ac取取acabn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(

41、9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx例例 2 2 求過點求過點)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,cban 二、平面的一般方程二、平面

42、的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( d平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( a , 0, 0dd平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb類似地可討論類似地可討論 情形情形.例例 3 3 設平面過原點及點設平面過原點及點)2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設平面為設平面為, 0 dczbyax由平面過原點知由平面過原點知, 0 d由由平平

43、面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 cba,2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 4 4 設設平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設平面為設平面為, 0 dczbyax將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解,ada ,bdb ,cdc 將將代入所設方程得代入所設方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x

44、軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa

45、例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關系：研究以下各組里兩平面的位置關系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm兩平面平行兩平面平行兩平面重

46、合兩平面重合.平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）小結小結第五節第五節 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數方程二、空間曲線的參數方程 三、空間曲線在坐標平面上的投影三、空間曲線在坐標平面上的投影第六節第六節 空間的直線及其方程空間的直線及其方程 一一、空間直線的一般方程、空間直線的一般方程 二二、空間直線的對稱式與參數方程、空間直線的對稱式與參數方程 三三、 兩直線的夾角兩直線的夾角 四四、直線與平面的夾角、直線與平面的夾角xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa空間直線的一般方程空間直線的一般方程l一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一