1、第三節(jié)第三節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 混合積混合積一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積三、兩向量的混合積三、兩向量的混合積 一一物物體體在在常常力力f作作用用下下沿沿直直線線從從點點1m移移動動到到點點2m，以以s表表示示位位移移，則則力力f所所作作的的功功為為 cos|sfw (其中其中 為為f與與s的夾角的夾角)啟示啟示向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)實例實例兩向量作這樣的運算兩向量作這樣的運算, 結(jié)果是一個數(shù)量結(jié)果是一個數(shù)量.1.定義定義數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積點積”、“內(nèi)積內(nèi)

2、積”.一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 ba),cos(|)3( bab這個數(shù)叫做向量這個數(shù)叫做向量在向量在向量上的投影上的投影.即即記作記作，barjp),cos(| babbparj bpabababaarj|),cos(| apbbabrj|結(jié)論：兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另結(jié)論：兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另 一個向量在這向

3、量方向上的投影的乘積一個向量在這向量方向上的投影的乘積. .， kzajyaixaa對于對于,cos(|） xaaax由于由于),cos(| yaaay),cos(| zaaaz),(zyxaaa在在所以所以a的坐標(biāo)的坐標(biāo)正是向量正是向量azyx,軸上的投影軸上的投影。（4）基本向量的數(shù)量積公式1, 1, 1 kkjjii0, 0, 0 kjkiji2.數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba ,ka

4、jaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 3.數(shù)量積的坐標(biāo)表達式數(shù)量積的坐標(biāo)表達式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為4.兩向量夾角余弦及向量方向余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦及向量方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1m 2m 由圖分

5、析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .xzyxaaaaia )0 , 0 , 1(),(pqr， cos|aay 同理同理 cos|aaz 向量向量a與三坐標(biāo)軸的夾角與三坐標(biāo)軸的夾角 ,稱為向量稱為向量a的方向角的方向角0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos

6、,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為解解 （1 1）)1, 0 , 1(),0 , 1, 1( cabc2| , 2| cabc1)1(00)1()1()1( cabc21|cos cabccabc )0 , 1, 1( bc（2）0cos,21cos,21cos .2,43 方向角方向角|0 bcbca設(shè)設(shè)（3）例例 2 2 證明平行四邊形的對角線的平方和等于各證明平行四邊形的對角線的平方和等于各邊的平方和邊的平方和. 證：證：)0 ,21,21(0 a則則（4）21212 cos| cacapbcrjoacb mocnbabobaoa bamban,則

7、則 bababbbaaababannn2| 2 )()(|222于是于是222|2| )()(| bbaababammm2222|2|2| banm 設(shè)設(shè)o為為一一根根杠杠桿桿l的的支支點點，有有一一力力f作作用用于于這這杠杠桿桿上上p點點處處力力f與與op的的夾夾角角為為 ，力力f對對支支點點o的的力力矩矩是是一一向向量量m，它它的的模模|foqm sin|fop m的的方方向向垂垂直直于于op與與f所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實例實例lfpqo 二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac (其中其中 為為a

8、與與b的夾角的夾角)1.定義定義c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.2.向量積符合下列運算規(guī)律：向量積符合下列運算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 ,kajaiaazy

9、x kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達式向量積的坐標(biāo)表達式3.向量積的坐標(biāo)表達式向量積的坐標(biāo)表達式向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaa補充補充|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊 的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積. . xb、

10、yb、zb不不能能同同時時為為零零，但但允允許許兩兩個個為為零零， 例如例如，abbac 解解(11,-7,1) 711321132 kjikjiba例例 4 4 在頂點為在頂點為)2 , 1, 1( a、)2 , 6, 5( b和和)1, 3 , 1( c的三角形中，的三角形中，求求ac邊上的高邊上的高bd. abc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面積為的面積為|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd定義定義 設(shè)設(shè)已已知知三三個個向向量量a、b、c，數(shù)數(shù)量量c

11、ba )(稱稱為為這這三三個個向向量量的的混混合合積積，記記為為cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達式混合積的坐標(biāo)表達式三、向量的混合積三、向量的混合積（1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個數(shù)，它的絕對值的一個數(shù)，它的絕對值表示以向量表示以向量a、b、c為為棱的平行六面體的體積棱的平行六面體的體積. . acbba 關(guān)于混合積的說明：關(guān)于混合積的說明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面 . 0 cba 已知已知2 cba， 計算計算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例5例例 6 6 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點已知空間內(nèi)不在一平面上的四點),(111zyxa、),(222zyxb、),(333zyxc、),(444zyxd, 求四面體的體積求四面體的體積. . 解解由立體幾何知，四面體的體積等于以向量由立體幾何知，四面體的體積