1、2 一、重點與難點一、重點與難點重點：重點：難點：難點：留數的計算與留數定理留數的計算與留數定理留數定理在定積分計算上的應用留數定理在定積分計算上的應用3二、內容提要二、內容提要留數留數計算方法計算方法可去奇點可去奇點孤立奇點孤立奇點極點極點本性奇點本性奇點函數的零點與函數的零點與極點的關系極點的關系留數定理留數定理留數在定積留數在定積分上的應用分上的應用 cdzzf)(計計算算 dxexrdxxfdraix)(. 3;)(. 2;)cos,(sin. 120 41）定義定義 如果如果函數函數)(zf0z在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內處處解析

2、內處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點的孤立奇點.1. 孤立奇點的概念與分類孤立奇點的概念與分類孤立奇點孤立奇點奇點奇點2）孤立奇點的分類孤立奇點的分類依據依據)(zf在其孤立奇點在其孤立奇點0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內的洛朗級數的情況分為三類內的洛朗級數的情況分為三類:i) 可去奇點可去奇點; ii) 極點極點; iii) 本性奇點本性奇點.5定義定義 如果洛朗級數中不含如果洛朗級數中不含 的負冪項的負冪項, 那末那末0zz 0z)(zf孤立奇點孤立奇點 稱為稱為 的可去奇點的可去奇點. i) 可去奇點可去奇點6ii) 極點極點 01012020)()()()(czzczz

3、czzczfmm 0, 1 mcm )(01zzc, )()(1)(0zgzzzfm 0zz 定義定義 如果洛朗級數中只有有限多個如果洛朗級數中只有有限多個的的10)( zz,)(0mzz 負冪項負冪項, 其中關于其中關于的最高冪為的最高冪為即即級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數稱為函數的的或寫成或寫成7極點的判定方法極點的判定方法0z在點在點 的某去心鄰域內的某去心鄰域內mzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內解析的鄰域內解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg)(zf的負冪項為有的負冪項為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項限項.(

4、a) 由定義判別由定義判別(b) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(c) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .8如果洛朗級數中含有無窮多個如果洛朗級數中含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)(zf的本性奇點的本性奇點.的負冪項的負冪項,注意注意: 在本性奇點的鄰域內在本性奇點的鄰域內)(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. iii) )本性奇點本性奇點9i) 零點的定義零點的定義 不恒等于零的解析函數不恒等于零的解析函數)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z解析且解析且m為某一正整數

5、為某一正整數, 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級零點級零點. 3)函數的零點與極點的關系函數的零點與極點的關系ii)零點與極點的關系零點與極點的關系如果如果0z是是)(zf的的 m 級極點級極點, 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 級零點級零點. 反過來也成立反過來也成立.10 2. 留數留數記作記作.),(res0zzf域域內內的的洛洛朗朗級級數數中中負負.)(101的系數的系數冪項冪項 zzc為中心的圓環為中心的圓環在在即即0)(zzf定義定義 如果如果)(0zfz 為函數為函數的一個孤立奇點的一個孤立奇點, 則沿則沿rzzz 000的的某某個個去去心心鄰鄰域域在在內包含內包

6、含0z的的任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 c 的積分的積分 czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數稱為后所得的數稱為.)(0的留數的留數在在zzf以以111)留數定理留數定理 設函數設函數)(zf在區域在區域 d內除有限個孤內除有限個孤nzzz,21外處處解析外處處解析, c 是是 d內包圍諸奇內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線點的一條正向簡單閉曲線, 那末那末 nkkczzfizzf1),(res2d )(立奇點立奇點留數定理將沿封閉曲線留數定理將沿封閉曲線c積分轉化為求被積函數積分轉化為求被積函數在在c內各孤立奇點處的留數內各孤立奇點處的留數.12(1) 如果如果0z為為)(zf的

7、可去奇點的可去奇點, 則則. 0),(res0 zzf)()(lim),(res0000zzfzzzzfzz 如果如果 為為 的一級極點的一級極點, 那末那末0z)(zf a) (2) 如果如果0z為為的本性奇點的本性奇點, 則需將則需將成洛朗級數求成洛朗級數求1 c)(zf)(zf展開展開(3) 如果如果0z為為的極點的極點, 則有如下計算規則則有如下計算規則)(zf2)留數的計算方法留數的計算方法13 c)設設,)()()(zqzpzf )(zp及及)(zq在在0z如果如果,0)(,0)(,0)(000 zqzqzp那末那末0z為一級極點為一級極點, 且有且有都解析，都解析，.)()(),

8、(res000zqzpzzf 如果如果 為為 的的 級極點級極點, 那末那末0z)(zfm)()(ddlim)!1(1),(res01100zfzzzmzzfmmmzz b)14.),(res1 czf也可定義為也可定義為 czzfid)(21記作記作 czzfizfd)(21),(res1.定義定義 設函數設函數)(zf在圓環域在圓環域 z0內解析內解析c為圓環域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線為圓環域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分那末積分值為值為)(zf在在 的留數的留數.的值與的值與c無關無關 , 則稱此定則稱此定 czzfid)(21 3)無窮遠點的留數無窮遠點的留數15如果

9、函數如果函數)(zf在擴充復平面內只有有限個在擴充復平面內只有有限個孤立奇點孤立奇點, 那末那末在所有各奇點在所有各奇點 (包括包括 點點) 的留數的總和必等于零的留數的總和必等于零.)(zf 定理定理163. 留數在定積分計算上的應用留數在定積分計算上的應用，令令 iez )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee zz212 20d)sin,(cos ri1）三角函數有理式的積分）三角函數有理式的積分當當 歷經變程歷經變程 2,0時時, z 沿單位圓周沿單位圓周1 z的的正方向繞行一周正方向繞行一周.17izzizzzzrizd21,21122 zzfzd )(1

10、 . ),(res21 nkkzzfi.)(1), 2 , 1(的孤立奇點的孤立奇點內的內的為包含在單位圓周為包含在單位圓周其中其中zfznkzk 18則則為偶函數為偶函數如果如果,)(xr nkkzzrixxr10.),(resd)(則則次多項式次多項式為為次多項式次多項式為為設設, 2,)(,)(, )()()( nmmzqnzpzqzpzr nkkzzrii1.),(res2.)(), 2 , 1(在上半平面內的極點在上半平面內的極點為為其中其中zrnkzk .)(,)(.d)(沒有孤立奇點沒有孤立奇點在實軸上在實軸上且且數高兩次數高兩次的次數至少比分子的次的次數至少比分子的次分母分母的

11、有理函數的有理函數是是其中其中zrxxrxxri 2）無窮積分）無窮積分19則則在實軸上沒有孤立奇點在實軸上沒有孤立奇點且且的次數高一次的次數高一次分母的次數至少比分子分母的次數至少比分子函數函數的有理的有理是是其中其中,)(,)(),0(d)(zrxxraxexriaix nkkaixaixzezrixexr1,)(res2d)(.)(), 2 , 1(在上半平面內的極點在上半平面內的極點為為其中其中zrnkzk 3）混合型無窮積分）混合型無窮積分20,2d1cos02mexxmx , 0d1sin2 xxmx).10(sind1,2dsin0 aaxeexxxxax 特別地特別地21三、典

12、型例題三、典型例題.,)(判別類型判別類型并并在擴充復平面上的奇點在擴充復平面上的奇點求下列函數求下列函數zf例1例1;)2(;sin)1(1tan3zezzz 解解:0)()1(內的洛朗展式為內的洛朗展式為在在由于由于 zzf zzzzzzzzzzf!7! 5! 31sin)(75333 ! 9!7! 5! 31642zzz.)(,)(0的本性奇點的本性奇點是是的可去奇點的可去奇點是是得得zfzzfz 22;)2(1tanze解解,1tanzw 令令, 01cos z由由,1tan 的一級極點的一級極點為為zw 又又且為本性奇點且為本性奇點僅有唯一的奇點僅有唯一的奇點而而, zew zkzz

13、1tanlim), 1, 0(211 kkzk得得.)(wezf 則則23), 1, 0(211 kkzk所以所以.)(的本性奇點的本性奇點都是都是zf因為因為時時當當, zzzzezf1tanlim)(lim .)(的可去奇點的可去奇點是是故知故知zfz ,1 24例例2 2 求函數求函數 的奇點，并確的奇點，并確定類型定類型.322)1()1(sin)5()( zzzzzzf解解110 z,z,z是奇點是奇點. zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因為因為),(1zgz 是單極點；是單極點；所以所以0 z1 z是二級極點是二級極點;1 z是三級極點是三級極點.25例例3 3 證明

14、證明 是是 的六級極點的六級極點.0 z)1(1)(33 zezzf.)1(1)(033的六級極點的六級極點是是所以所以 zezzfz的六級零點，的六級零點，是是因為因為)1()(1033 zezzfz證證)1()(133 zezzf ! 3! 21296zzz,1! 2)(12333 zzz26例例4 4 求下列各函數在有限奇點處的留數求下列各函數在有限奇點處的留數.,11sin)1( z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz解解(1)在在 內內, 10z,)1( ! 311111sin3 zzz11 ,)1sin(1res cz所以所以. 1 27,! 5! 3sin53 zzzz因為

15、因為內，內，所以在所以在 z0 5322! 51! 3111sinzzzzzz 3! 51! 31zzz120 ,1sinres czz故故.61 解解zz1sin)2(228zzsin1)3(解解), 2, 1, 0( nnz為奇點為奇點,0 n當當 時時 為一級極點，為一級極點， nzznznzsin1)(lim 因為因為)sin()1(limnzznznnz ,1) 1(nn zzzfzzzsinlim)(lim020 由由.0是二級極點是二級極點知知 z, 1 29,1)1(,sin1resnnzzn 所以所以 zzzzzzzsin1ddlim0 ,sin1res20zzzzz20si

16、ncossinlim . 0 30例例5 5 計算積分計算積分.d)()sin(28zizzizz 為一級極點，為一級極點， 為七級極點為七級極點.0 ziz )(lim0),(res0zzfzfz 80)()sin(limizizz ;sini iizizizzf )(1)()sin()(8iiziiziz 11)()sin(8 22357)(1)(11)( ! 71)( ! 51)( ! 31)(1iziiziiiziziziz解解31 izi1! 11! 31! 51! 71 ! 71! 51! 311),(resiizf所以所以由留數定理得由留數定理得 ),(res0),(res2d)

17、()sin(28izfzfizizzizz .!71! 51! 311sin2 iii32例例6 6 .d)1()5(3243213zzzzz 解解248326131151)( zzzzzzf24321115111 zzz28434211125511 zzzzz在在 內內, z333)1(2d)1()5(3243213 izzzzz故故.2 i 1),(res czf所所以以, 1 42211511zzz,1 z34 51255),(res2d)1)(3(1kkzzzfizzz解解例例7 7 計算計算 .d)1)(3(1255zzzz ),(res3),(res),(res51 zfzfzzf

18、kk)1)(3(1)3(lim3),(res53 zzzzfz,2421 35 55511311) 1)(3(1zzzzzz,1131156 zzz, 0),(res zf所所以以 51255),(res2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212 i.121i 36例例8 8 計算計算. )0(sind02 axax解解 00222cos1dsindxaxxax 022cos1)2d(21xax,2tx 令令 20022cos1d21sindtatxax37, 1, 1) 12(12121 zaaz1, 1) 12(12222 zaaz極點為：極點為：)1) 12(12(),(res22sind202 aazfiixax.1) 12 (22 a,1)12(2d212 zzazziizzzzazd22)1(112112 38例例9 計算積分計算積分.)cos32(d202 xx解解 122202d21321)cos32(dzizzzzxx,134d34122 zzzzzi極點為極點為, 3,3121 zz其中其中; 1, 121 zz由留數定理，有由留數定理，有3922202)(ddlim234)cos32(d1zzzziixxzz 42222)()(2)(lim381zzzzzzzzz 32121)()(3