1、1計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)原理排列組合排列組合標(biāo)綱解讀標(biāo)綱解讀：1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理。 2.會用分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題。 3.理解排列、組合的概念，區(qū)分它們的異同。 4.能利用計(jì)數(shù)原理推到排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，能解決簡單實(shí)際問題。命題規(guī)律與趨勢命題規(guī)律與趨勢：排列組合是高考每年必考內(nèi)容之一，一般有 12 道小題，且多為選擇題、填空題。雖然在高考之中所占比重不大，但試題都具有一定得靈活性和綜合性。高考對排列、組合內(nèi)容的考查一般以實(shí)際應(yīng)用題形式出現(xiàn)，這是因?yàn)榕帕小⒔M合的應(yīng)用性比較強(qiáng)，并充滿思辨性，解決具有多樣性，符合高考選擇題的特點(diǎn)，易于考查學(xué)生

2、理解問題的能力、分析和解決問題的能力及分類討論的思想。突破方法突破方法：1.使用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理要根據(jù)我們完成某件事情時采取的方式而定，分類來完成這件事時用分類計(jì)數(shù)原理，分步驟來完成這件事情時用分步計(jì)數(shù)原理。怎樣確定是分類還是分步呢？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事情，而分“步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事情，所以準(zhǔn)確理解兩個原理的關(guān)鍵在于明確分類計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此之間的交集為空寂，并集為全集，不論哪一類辦法中的那一種方法都能單獨(dú)完成事件。分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟之間缺一不可，需要一次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前

3、一步用什么方法不影響后一步采取什么方法。2.排列與組合定義相近，它們的卻別在于是否與順序有關(guān)。3.復(fù)雜的排列問題常常通過試驗(yàn)、畫簡圖、小數(shù)字簡化等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難以直接檢驗(yàn)，因而常需要用不同的方法求解來獲得檢驗(yàn)。4.按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合問題的基本思想方法，要注意題設(shè)中“至少” “至多”等限制詞的意義。25.處理排列、組合的綜合性問題，一般思想方法是先選元素（組合） ，后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步” ，始終是處理排列、組合問題的基本方法結(jié)合原理，通過解題訓(xùn)練要注意積累分類和分步的基本技能。6.

4、運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理時，要恰當(dāng)選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。7.運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理時，要確定好次序，并且每一步都是獨(dú)立、互不干擾的，還要注意元素是否可以重復(fù)選取。8.對于復(fù)雜問題，可同時御用兩個基本原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析。9.在解決排列、組合綜合性問題時，必須深刻理解排列與組合的概念，能夠熟練確定一個問題是排列問題還是組合問題，牢記排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式與組合數(shù)性質(zhì)。容易產(chǎn)生錯誤的是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)解題技巧：解題技巧：1解決排列與組合綜合問題的方法和規(guī)律 （1）排列與組合的應(yīng)用題是高考常見題型，其中主要考查有附加條件的應(yīng)用問題解決這類問題通常有三條途徑： 以元素為主考慮，應(yīng)先滿足特殊元素的

5、要求，再考慮其他元素； 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； 先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)前兩種方法叫直接解法，后一種方法叫間接解法 （2）在求解排列與組合應(yīng)用問題時，應(yīng)注意： 把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題； 通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理； 分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏； 列出式子計(jì)算并作答2常見的解題策略有以下幾種：（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略（2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略（3）排列、組合混合問題先選后排的策略（4）正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略（5）相鄰問題捆綁處理的策略（6）不相鄰問題插空處理的策略

6、（7）定序問題除法處理的策略（8）分派問題直排處理的策略3（9）“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略（10） 構(gòu)造模型的策略3解排列組合的應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)：（1）仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題。要按元素性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步。（2）深入分析，嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏，辯證思維，多角度分析，全面考慮。（3）對限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡單的基本問題后用兩個計(jì)數(shù)原理來解決。（4）由于排列組合問題答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決方案是否完備，有無重復(fù)和遺漏，也

7、可采用多種不同的方法求解，看看結(jié)果是否相同，在對排列組合問題分類時，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一。知識導(dǎo)學(xué)知識導(dǎo)學(xué)：1.分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有類辦法，在第 1 類辦法中，有1m種不同的方法，在第2 類辦法中，有2m種不同的方法，在第類辦法中，有nm種不同的方法，那么完成這件事共有N1m2mnm種不同的方法.2. 分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成個步驟，做第 1 步，有1m種不同的方法，做第2 步，有2m種不同的方法，做第步，有nm種不同的方法，那么完成這件事共有N1m2mnm種不同的方法.排列數(shù)公式： )1()3)(2)(1( mnnnnnAmn（這里、*N，且）（2）組合數(shù)公式nmnnnnnAAC

8、mmmnmn) 1()3)(2)(1( （這里、*N，且）)!(!mnnAmn)!( !mnmnCmn4組合數(shù)的兩個性質(zhì)mnnmnCC規(guī)定：10nC 11mnmnmnCCC 例 l、分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？分析：分析：該問題與計(jì)數(shù)有關(guān)，可考慮選用兩個基本原理來計(jì)算，完成這件事，只要兩位數(shù)的個位、十位確定了，這件事就算完成了，因此可考慮安排十位上的數(shù)字情況進(jìn)行分類解法一：解法一：按十位數(shù)上的數(shù)字分別是 1，2，3，4，5，6，7，8 的情況分成 8 類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是 8 個，7 個，6 個，5 個，4 個，3 個，2

9、 個，l 個由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l 36 個解法二：解法二：按個位數(shù)字是 2，3，4，5，6，7，8，9 分成 8 類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是 l 個、2 個、3 個、4 個、5 個、6 個、7 個、8 個，所以按分類加法計(jì)數(shù)原理共有 l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 個點(diǎn)評：點(diǎn)評：分類加法計(jì)數(shù)原理是對涉及完成某一件事的不同方法種數(shù)的計(jì)數(shù)方法，每一類的各種方法都是相互獨(dú)立的，每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立完成這件事。解決該類問題應(yīng)從簡單分類討論入手，要做到不重不漏

10、，盡量做到一題多解，從不同角度考慮問題例 2、分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 書架上的一格內(nèi)有 6 本不同的書，現(xiàn)在再放上 3 本不同的書，但要保持原有書的相對順序不變，那么所有不同的放法共有多少種？解析：解析：把 3 本不同的書放入書架，需保持書架上原有書的相對位置不變完成這件事分為三個步驟，每一步各放 1 本第一步有 m1 = 7 種放法，第二步有 m2 = 8 種放法，第三步有 m3 = 9 種放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有 N = m1m2m3 = 789= 504 種放法 例 3、兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用有一項(xiàng)活動，需在 3 名老師，8 名男同學(xué)和 5 名女同學(xué)中選人參加（l）若只需一人參

11、加，有多少種不同方法？（2）若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加，有多少種不同選法？（3）若需一名老師和一名同學(xué)有多少種不同選法？ 解析：解析：（l）有三類選人的方法：3 名老師中選一人，有 3 種方法；8 名男同學(xué)中選一人，有8 種方法；5 名女同學(xué)中選一人，有 5 種方法。 由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 38516 種選法（2）分三步選人：第一步選老師，有 3 種方法；第二步選男同學(xué)，有 8 種方法；第三步選女同學(xué)，有 5 種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 385 = 120 種選法 5（3）可分兩類，每一類又分兩步第一類：選一名老師再選一名男同學(xué)，有 38 = 24 種選法；第二類：選一名老師再

12、選一名女同學(xué)，共有 3515 種選法由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 241539 種選法 點(diǎn)評：點(diǎn)評：在用兩個計(jì)數(shù)原理處理具體問題時，首先要分清是“分類”還是“分步”，其次要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)在“分類”時要遵循“不重、不漏”的原則，在“分步”時要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注意“步”與“步”之間的連續(xù)性 例 4、排列的應(yīng)用問題 六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？ （l）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端分析：分析：本題主要考查有限制條件的排列應(yīng)用題的解法及分類討論的思想和分析問題、

13、解決問題的能力解析：解析：（l）方法一：方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間 4 個位置上任選 1 個，有種站法，然后其余 5 人在另外 5 個位置上作全排列有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法480 （種）方法二：方法二：由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余 5 個人中選 2 個人站，有種站法，然后中間 4 人有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法480 （種）方法三：方法三：若對甲沒有限制條件共有種站法，甲在兩端共有種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即得所求的站法數(shù)，共有480（種）（2）方法一：方法一：先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，有種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列

14、，有種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有240 （種）站法方法二：方法二：先把甲、乙以外的 4 個人作全排列，有種站法，再在 5 個空檔中選出一個供甲、乙放入，有種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有240 （種） （3）因?yàn)榧住⒁也幌噜彛虚g有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的 4 個人站隊(duì)，有種；第二步再將甲、乙排在 4 人形成的 5 個空檔（含兩端）中，有種，故共有站法為= 480 （種）.也可用“間接法”，6 個人全排列有種站法，由（2）知甲、乙相鄰有240 種站法，所以不相鄰的站法有720240480（種）6（4）方法一：方法一：先將甲、乙以外的 4 個人作全排列，有種，

15、然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有種，故共有種站法方法二：方法二：先從甲、乙以外的 4 個人中任選 2 人排在甲、乙之間的兩個位置上，有種，然后把甲、乙及中間 2 人看作一個“大”元素與余下 2 人作全排列有種方法，最后對甲、乙進(jìn)行排列，有種方法，故共有144 種站法（5）方法一：方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他 4 人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種站法方法二：方法二：首先考慮兩個特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間 4 個位置，由剩下的 4 人去站，有種站法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有種站法（6）方法一：方法一：甲在左端的站法有種，乙在右端的站法

16、有種，且甲在左端而乙在右端的站法有種，共有種站法方法二：方法二：以元素甲分類可分為兩類： 甲站右端有種， 甲在中間 4 個位置之一，而乙不在右端有種，故共有=504 種站法例 5、組合的應(yīng)用問題課外活動小組共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名隊(duì)長，現(xiàn)從中選 5 人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？ （1）只有一名女生；2）兩隊(duì)長當(dāng)選；（3）至少有一名隊(duì)長當(dāng)選；（4）至多有兩名女生當(dāng)選； （5）既要有隊(duì)長，又要有女生當(dāng)選解析：解析：（l）一名女生，四名男生故共有350 （種）（2）將兩隊(duì)長作為一類，其他 11 人作為一類，故共有 =165 （種）（3）至少有

17、一名隊(duì)長含有兩類：只有一名隊(duì)長和兩名隊(duì)長故共有：（種）或采用間接法：825 （種）（4）至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生故選法為：（種）（5）分兩類：第一類女隊(duì)長當(dāng)選：；第二類女隊(duì)長不當(dāng)選：。故選法共有：（種）例 6、排列、組合的綜合應(yīng)用問題7從 1，3，5，7，9 五個數(shù)字中選 2 個，0，2，4，6，8 五個數(shù)字中選 3 個，能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？分析：分析：從 5 個奇數(shù)中選出 2 個， 5 個偶數(shù)中選 3 個，按有 0 與無 0 分成兩類，含 0 時，從其余 4 個偶數(shù)中再選出 2 個；不含 0 時，從其余 4 個偶數(shù)中再選出 3 個，然后再排成五位

18、數(shù)解析：解析：從 5 個奇數(shù)中選出 2 個，再從 2、4、6、8 四個偶數(shù)中選出 3 個，排成五位數(shù)，有4800 個從 5 個奇數(shù)中選出 2 個，再從 2，4，6，8 四個偶數(shù)中再選出 2 個，將選出的 4 個數(shù)再選一個做萬位數(shù)余下的 3 個數(shù)加上 0 排在后 4 個數(shù)位上，有=5760 個由分類加法計(jì)數(shù)原理可知這樣的五位數(shù)共有=10560 個（20102010 全國卷全國卷 2 2 理數(shù)）理數(shù)） （6）將標(biāo)號為 1，2，3，4，5，6 的 6 張卡片放入 3 個不同的信封中若每個信封放 2 張，其中標(biāo)號為 1，2 的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12 種 （B）18 種 （C）36

19、 種 （D）54 種【答案】B【命題意圖】本試題主要考察排列組合知識，考察考生分析問題的能力.【解析】標(biāo)號 1,2 的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有種方法，共有種，故選 B.（2010 全國卷全國卷 2 文數(shù)）文數(shù)） （9）將標(biāo)號為 1，2，3，4，5，6 的 6 張卡片放入 3 個不同的信封中，若每個信封放 2 張，其中標(biāo)號為 1，2 的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A） 12 種 (B) 18 種 (C) 36 種 (D) 54 種【 【解析解析】 】B：本：本題題考考查查了排列了排列組組合的知合的知識識 先從先從 3 個信封中個信封中選選一個放一個

20、放 1， ，2 有有 3 種不同的種不同的選選法，再從剩下的法，再從剩下的 4 個數(shù)中個數(shù)中選選兩個放一個信封有兩個放一個信封有246C ，余下放入最后一個信封，余下放入最后一個信封， 共有共有24318C （2010 重慶文數(shù)） （10）某單位擬安排 6 位員工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午節(jié)假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天 . 若 6 位員工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，則不同的安排方法共有（A）30 種 （B）36 種（C）42 種 （D）48 種解析：法一：所有排法減去甲值 14 日或乙值 16 日，再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法 即22

21、12116454432C CC CC C =42 法二：分兩類8 甲、乙同組，則只能排在 15 日，有24C=6 種排法 甲、乙不同組，有112432(1)C CA =36 種排法，故共有 42 種方法（2010 重慶理數(shù)）重慶理數(shù)）(9)某單位安排 7 位員工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案共有A. 504 種 B. 960 種 C. 1008 種 D. 1108 種 解析：分兩類：甲乙排 1、2 號或 6、7 號 共有4414222AAA種方法甲

22、乙排中間,丙排 7 號或不排 7 號，共有)(43313134422AAAAA種方法故共有 1008 種不同的排法（20102010 北京理數(shù)）北京理數(shù)） （4）8 名學(xué)生和 2 位第師站成一排合影，2 位老師不相鄰的排法種數(shù)為（A）8289A A （B）8289A C （C） 8287A A （D）8287A C 答案：A（2010 四川理數(shù)）四川理數(shù)） （10）由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 解析：先選一個偶數(shù)字排個位，有 3 種選法 若 5 在十位或十萬位，則 1、3 有三個位

23、置可排，32232A A24 個若 5 排在百位、千位或萬位，則 1、3 只有兩個位置可排，共 32222A A12 個算上個位偶數(shù)字的排法，共計(jì) 3(2412)108 個答案：C（20102010 天津理數(shù)）天津理數(shù)）(10) 如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F 六個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用（A）288 種 （B）264 種 （C）240 種 （D）168 種【答案】D【解析】本題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識與分類討論思想，屬于難題。（1）B,D,E,F 用四種顏色，則有441 124A 種涂色方法；（2）B,D,E,

24、F 用三種顏色，則有33442 22 1 2192AA 種涂色方法；（3）B,D,E,F 用兩種顏色，則有242 248A 種涂色方法；所以共有 24+192+48=264 種不同的涂色方法。【溫馨提示】近兩年天津卷中的排列、組合問題均處理壓軸題的位置，且均考查了分類討論思想9及排列、組合的基本方法，要加強(qiáng)分類討論思想的訓(xùn)練。（20102010 全國卷全國卷 1 1 理數(shù)）理數(shù)）(6)某校開設(shè) A 類選修課 3 門，B 類選擇課 4 門，一位同學(xué)從中共選 3 門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(A) 30 種 (B)35 種 (C)42 種 (D)48 種（2010 四川文數(shù)）

25、四川文數(shù)） （9）由 1、2、3、4、5 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、2 都不與 5 相鄰的五位數(shù)的個數(shù)是（A）36 （B）32 （C）28 （D）24解析：如果 5 在兩端，則 1、2 有三個位置可選，排法為 22232A A24 種 如果 5 不在兩端，則 1、2 只有兩個位置可選，32222A A12 種 共計(jì) 122436 種答案：A（2010 湖北文數(shù)）湖北文數(shù)）6現(xiàn)有名同學(xué)支聽同時進(jìn)行的個課外知識講座，名每同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是A45B. 56C. 5 6 5 4 3 22 D.6 5 4 3 2（2010 湖南理數(shù)）湖南理數(shù)）7、在某種信息傳輸過程中，用 4

26、個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有 0 和 1，則與信息 0110 至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為A.10 B.11 C.12 D.15（2010 湖北理數(shù)）8、現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每10人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是A152 B.126 C.90 D.548 【答案】B【解析】分類討論：若有 2 人從事司機(jī)工作，則方案有233318CA；若有 1 人從事司機(jī)工作，則方案有

27、123343108CCA種，所以共有 18+108=126 種，故 B 正確（2010 浙江理數(shù)）浙江理數(shù)） （17）有 4 位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、 “立定跳遠(yuǎn)”、 “肺活量”、 “握力”、 “臺階”五個項(xiàng)目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項(xiàng)目，且不重復(fù). 若上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測試一人. 則不同的安排方式共有_種（用數(shù)字作答）.解析：本題主要考察了排列與組合的相關(guān)知識點(diǎn)，突出對分類討論思想和數(shù)學(xué)思維能力的考察，屬較難題（20102010 江西理數(shù)）江西理數(shù)）14.將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個各 2 人，另兩個組各

28、1 人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答） 。【答案】 1080 【解析】考查概率、平均分組分配問題等知識，重點(diǎn)考查化歸轉(zhuǎn)化和應(yīng)用知識的意識。先分組，考慮到有 2 個是平均分組，得221164212222C CC CAA兩個兩人組兩個一人組，再全排列得：221146421422221080C CC CAAA（20102010 全國卷全國卷 1 1 文數(shù)）文數(shù)）(15)某學(xué)校開設(shè) A 類選修課 3 門，B 類選修課 4 門，一位同學(xué)從中共選 3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 種.(用數(shù)字作答)【命題意圖】本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識,以及

29、分類討論的數(shù)學(xué)思想.【解析 1】:可分以下 2 種情況:(1)A 類選修課選 1 門,B 類選修課選 2 門,有1234C C種不同的選法;(2)A 類選修課選 2 門,B 類選修課選 1 門,有2134C C種不同的選法.所以不同的選法共有1234C C+213418 1230C C 種.【解析 2】: 33373430CCC二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué)111.二項(xiàng)式定理：*222110,)(NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn 上列公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理.右邊的多項(xiàng)式叫做nba)( 的二項(xiàng)展開式，它一共有1 項(xiàng).其中各項(xiàng)的系數(shù)), 2 ,

30、 1 , 0(nrCrn 叫做二項(xiàng)式系數(shù).式中的rrnrnbaC叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用1rT表示，即1rTrrnrnbaC.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)： （1）對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式mnnmnCC得到.（2）增減性與最大值. 二項(xiàng)式系數(shù)), 2 , 1 , 0(nrCrn ，當(dāng)21n時，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的.由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值.當(dāng)是偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)相等，且同時取得最大值.（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和.nba)( 的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和等于n2.二、疑難知識導(dǎo)析二、疑難知

31、識導(dǎo)析1二項(xiàng)式定理是代數(shù)公式2222)(bababa和3223333)(babbaaba的概括和推廣，它是以乘法公式為基礎(chǔ)，以組合知識為工具，用不完全歸納法得到的.同學(xué)們可對定理的證明不作要求，但定理的內(nèi)容必須充分理解.2對二項(xiàng)式定理的理解和掌握，要從項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、通項(xiàng)等方面的特征去熟悉它的展開式.通項(xiàng)公式1rTrrnrnbaC在解題時應(yīng)用較多，因而顯得尤其重要，但必須注意，它是nba)( 的二項(xiàng)展開式的第1 項(xiàng)，而不是第項(xiàng).3二項(xiàng)式定理的特殊表示形式（1）nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba) 1() 1()(110 .這時通項(xiàng)是1rTn) 1(rrnrnbaC.（2）

32、nrrnnnnxxCxCxCx 22111)1 (.這時通項(xiàng)是1rTrrnxC.12131202 nnnnnCCCC（3）nnrnnnnnCCCCC 210) 11 (.即各二項(xiàng)式系數(shù)的和為n2.4二項(xiàng)式奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和等于二項(xiàng)式偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和.即例 7、求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)已知的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列（l）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中所有有理項(xiàng)分析：分析：此類問題一般由通項(xiàng)公式入手分析，要注意系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)和有理項(xiàng)的概念區(qū)別解析：解析：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值是 1， 且，即 （n=1 舍去） （1）若為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即 3r=16，這不可能，

33、展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)。（2）若為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)。，4，8，即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是 例 8、求二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)在的展開式中，求：（l）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；（3）系數(shù)最大的項(xiàng)分析：分析：求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用性質(zhì)考慮，展開式中的中間項(xiàng)（或中間兩項(xiàng)），系數(shù)最大的項(xiàng)，必須將 x、y 前的系數(shù)均考慮進(jìn)去，包括“、”號 解析：解析： （1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 11 項(xiàng)。13 。 （2）設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第 r+1 項(xiàng)，于是 ， 化簡得，解之得 所以 r=8，即是系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)。 （3）由于系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，故可設(shè)第 2r1 項(xiàng)系數(shù)最大

34、，于是 ， 化簡得 解之得 r=5，得 251=9 項(xiàng)系數(shù)最大。 點(diǎn)評：點(diǎn)評：二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)是兩個不同的概念，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)一定是展開式中的中間項(xiàng)（或中間兩項(xiàng)）；而系數(shù)最大的項(xiàng)通過解不等式組的方法解決，且一定要考慮到系數(shù)前的符號 例 9、求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和若，求： （1）（2）（3）解析：解析：（1）令 x = 0，則令則 （2）令 x=1，則 由得： （3）由得：14 例 10、整除或求余問題（1）求證：能被 25 整除；（2）求證：能被 26 整除（n 為大于 1 的偶數(shù)） 分析：分析：（1），而，將此二項(xiàng)式展開后就會出現(xiàn)； （2）先利用等比數(shù)列求和，然后應(yīng)用類似（1）的方法。

35、解析：（1）原式以上各項(xiàng)均為 25 的整數(shù)倍，故得證。（2）因?yàn)槎驗(yàn)?n 為大于 1 的偶數(shù)，所以能被 26 整除。所以能被 26 整除。 （20102010 江西理數(shù)）江西理數(shù)）6. 82x展開式中不含4x項(xiàng)的系數(shù)的和為（ ）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】考查對二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，重點(diǎn)考查實(shí)踐意識和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反。采用賦值法，令 x=1 得：系數(shù)和為 1，減去4x項(xiàng)系數(shù)80882 ( 1)1C即為所求，答案為 0.（2010 重慶文數(shù)）（1）4(1)x的展開式中2x的系數(shù)為（A）4 （B）6（C）10 （D）2015解析：由通項(xiàng)公式得2234TC6xx

36、（20102010 全國卷全國卷 1 1 文數(shù)）文數(shù)）(5)43(1) (1)xx的展開式2x的系數(shù)是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命題意圖】本小題主要考查了考生對二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力.【解析】134323422(1) (1)1 4641 33xxxxxxxxx2x的系數(shù)是 -12+6=-6（20102010 全國卷全國卷 1 1 理數(shù)）理數(shù)）(5)353(12) (1)xx的展開式中 x 的系數(shù)是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4（2010

37、2010 全國卷全國卷 2 2 理數(shù)）理數(shù)） （14）若9()axx的展開式中3x的系數(shù)是84，則a 【答案】1 【命題意圖】本試題主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和求指定項(xiàng)系數(shù)的方法.【解析】展開式中3x的系數(shù)是3339()8484,1Caaa .（2010 遼寧理數(shù)）遼寧理數(shù)） （13）261(1)()xxxx的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_.【答案】-5【命題立意】本題考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，考查了二項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)的求解方法【解析】21()xx的展開式的通項(xiàng)為6 216( 1)rrrrTCx，當(dāng) r=3 時，34620TC ，當(dāng) r=4時，45615TC ，因此常數(shù)項(xiàng)為-20+15=-5（2010 全國卷

38、全國卷 2 文數(shù)）文數(shù)）(14)(x+1/x)9的展開式中，x3的系數(shù)是_【 【解析解析】 】84：本：本題題考考查查了二了二項(xiàng)項(xiàng)展開式定理的基展開式定理的基礎(chǔ)礎(chǔ)知知識識 9191( )rrrrTC xx， ， 923,3rr， ， 3984C （2010 四川理數(shù)）四川理數(shù)） （13）631(2)x的展開式中的第四項(xiàng)是 . 16解析：T43336311602 ()Cxx 答案：160 x（2010 四川文數(shù)）四川文數(shù)）(13)(x2x)4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_(用數(shù)字作答)解析：展開式的通項(xiàng)公式為 Tr1442()rrrC xx 取 r2 得常數(shù)項(xiàng)為 C42(2)224答案：24（2010

39、湖北文數(shù)）湖北文數(shù)）11.在2 10(1)x的展開中， 4x的系數(shù)為_。【答案】45【解析】2 10(1)x展開式即是 10 個（1-x2）相乘，要得到 x4，則取 2 個 1-x2中的（-x2）相乘，其余選 1，則系數(shù)為222410()45Cxx ，故系數(shù)為 45.（2010 湖北理數(shù)）湖北理數(shù)）11、在（x+ 43y）20的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)。【答案】6【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為20204412020( 3 )( 3)(020)rrrrrrrrTC xyCxyr要使系數(shù)為有理數(shù)，則 r 必為 4 的倍數(shù)，所以 r 可為 0.、4、8、12、16、20 共 6 種，故系

40、數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有 6 項(xiàng).【模擬試題模擬試題】一、選擇題（每小題 5 分，滿分 60 分）1、9 種產(chǎn)品中有 3 種是名牌，要從這 9 種產(chǎn)品中選出 5 種參加博覽會，而且名牌產(chǎn)品要求全部參加，那么不同的選法種數(shù)是（ ） A、36 B、30 C、15 D、12 2、由數(shù)字 1、2、3、4、5 可以組成沒有重復(fù)數(shù)字且比 15000 大的正整數(shù)（ ） A、102 個 B、96 個 C、126 個 D、78 個 3、A、B、C、D、E 五個學(xué)生排成一列，甲必須排在乙的前面（可以不相鄰）的排法共有（ ） A、 B、 C、 D、 4、以一個正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有多少個（ ） A、6 B、8

41、C、12 D、30 5、某班上午要上語文、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、體育四門課，又體育老師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是（ ）17 A、6 B、 C、8 D、 6、若，且 x55，則等于（ ） A、 B、 C、 D、 7、已知集合 M=1，2，3，10，A 是集合 M 含有 3 個元素的子集，且其中至少有 2 個偶數(shù)元素，這樣的子集有多少個（ ） A、60 B、120 C、160 D、720 8、把 18 個人分成 3 排，每排 6 人，則不同排法的總數(shù)是（ ） A、 B、 C、 D、 9、的展開式中，有理項(xiàng)的個數(shù)是（ ） A、16 B、17 C、12 D、13 10、二項(xiàng)式的展開式中系

42、數(shù)最大的項(xiàng)為（ ） A、第 2n+1 項(xiàng) B、第 2n+2 項(xiàng)C、第 2n 項(xiàng) D、第 2n+1 項(xiàng)或第 2n+2 項(xiàng) 11、已知集合 M=1，2，3，4，5，6，N=6，7，8，9，從 M 中選 3 個元素，N 中選 2 個元素組成一個含 5 個元素的新集合 C，則這樣的集合 C 共有（ ） A、126 個 B、120 個 C、90 個 D、26 個 12、A、B、C、D 四個人排一個四天的值日表，每人可以值多天或不值，但相鄰兩天不能由同一個人值，那么值日表的總排法為（ ） A、100 B、108 C、106 D、110 二、填空題（每小題 4 分，滿分 16 分） 13、有 50 件產(chǎn)品，

43、其中有 25 件一等品、15 件二等品和 10 件次品，從中任取 10 件，則恰有兩件一等品和兩件二等品的取法是_。 14、要買臺式電腦和筆記本電腦各一臺，5 家商場均有出售，則到不同商場購買的方法總數(shù)為_。 15、由數(shù)字 1、2、3、4、5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于 50000 的偶數(shù)共有_個。 16、展開式中不含 b 的項(xiàng)系數(shù)之和是_。三、解答題（共 6 個小題，共 74 分） 17、（12 分）用 1、2、3、4、5 五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)之間的五位數(shù)的個數(shù)是多少？ 18、（12 分）平面內(nèi)有 12 個點(diǎn)，其中有 4 點(diǎn)共線，此外再無任何

44、3 點(diǎn)共線，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可得到多少個不同的三角形？18 19、（12 分）在的展開式中，如果第 4r 項(xiàng)和第 r+2 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。 （1）求 r 的值；（2）寫出展開式中的第 4r 項(xiàng)和第 r+2 項(xiàng)。 20、（13 分）一個口袋里有 4 個不同的紅球，6 個不同的白球。 （1）從中任取 4 個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記 2 分，取一個白球記 1 分，從中任取五個球，使總分不少于 7 分的取法有多少種？ 21、（13 分）某旅行社有導(dǎo)游 9 人，其中 3 人只會英語，2 人只會日語，其余 4 人既會英語又會日語。現(xiàn)要從中選 6 人，其中 3 人做英語

45、導(dǎo)游，另外 3 人做日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有多少種？ 22、（12 分）從包含甲的若干名同學(xué)中選出 4 名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和英語競賽，每名同學(xué)只能參加一科競賽，且任 2 名同學(xué)不能參加同一科競賽，若甲不參加物理和化學(xué)競賽，則共有 72 種不同的參賽方法，問一共有多少名同學(xué)？23.的展開式的第 3 項(xiàng)小于第 4 項(xiàng)，則求的取值范圍1031xxx24.已知的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為，這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？若展開式的nxx) 1(2log321倒數(shù)第二項(xiàng)為，求的值112x 19【試題答案試題答案】 1、C 2、A 3、D 4、C 5、D 6、B 7、A 8、B 9、B 10、A 11、C

46、 12、B 13、 14、25 15、36 16、32 17、解：滿足要求的五位數(shù)分為三類： 偶奇偶奇奇：； 奇偶奇偶奇：； 奇奇偶奇偶：。 共有（個）。 18、解：該問題可看做一個組合問題，可考慮用直接法求解。 把從共線的 4 個點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn)。 第一類：共線的 4 點(diǎn)中有兩點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有：（個）； 第二類：共線的 4 點(diǎn)中有一點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有（個）； 第三類：共線的 4 點(diǎn)中沒有點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有：（個）。 由分類計(jì)數(shù)原理知，共有三角形：（個）。 答：可得到 216 個不同的三角形。 19、解：（1）展開式第 4r 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第 r+2 項(xiàng)的二項(xiàng)式

47、系數(shù)為，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng)或時它們的二項(xiàng)式系數(shù)相等，解得（舍），。（2）當(dāng) r=4 時第 4r 項(xiàng)是；第 r+2 項(xiàng)是。 20、解：（1）紅球的個數(shù)要大于或等于白球的個數(shù)，當(dāng)紅球取 4 個時取法是，當(dāng)紅球取 3個、白球取一個時取法是，當(dāng)紅球取 2 個、白球取 2 個時取法是，取法共有 （種）（2）可設(shè)取紅球 x 個，取白球 y 個，滿足以下關(guān)系得 x2。因此可分三類：第一類紅球取 2 個、白球取 3 個共有種；第二類紅球取 3 個、白球取 2 個共有種；第三類紅球取 4 個、白球取 1 個共有種。因此所有取法有20（種）。 21、解：只會日語的 2 人都出場，有種；只會日語的 2

48、人有 1 人出場，有種；只會日語的 2 人都不出場，有種。 共有種選擇方法。 22、解：設(shè)共有 n 名同學(xué)，首先從這 n 名同學(xué)中選出 4 人。 然后再分別參加競賽，按同學(xué)甲進(jìn)行分類： 第一類，不選甲，則從剩下的 n1 名同學(xué)中選出 4 人分別參加 4 種競賽，有種參賽方式； 第二類：選甲，首先安排甲，有種方法，再從剩下的 n1 名同學(xué)中選出 3 人參加剩下的 3 科競賽，有種方法，共有種參賽方式。 所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，一共有種方法，根據(jù)題意，得，解得 n=523. 解：使有意義，必須；1031xx0 x依題意，有，即43TT 3373102382101)(1)(xxCxxC（） 31123

49、891012910 xx0 x解得5648980 x的取值范圍是x5648980 xx應(yīng)填：5648980 x24. 解：設(shè)連續(xù)三項(xiàng)是第、項(xiàng)（且） ，則有k1k2kNk1k，32111knknknCCC21即321!) 1)(1(!)( !) 1)(1(!knknknknknkn321) 1(1)(1) 1)(1kkknkknkn32)() 1(21132)() 1(21) 1)()(knkknkknkkkknknknk，所求連續(xù)三項(xiàng)為第、三項(xiàng)14 n5k567又由已知，即1122log1314xxC82logxx兩邊取以為底的對數(shù)，23)(log22x3log2x，或32x32x隨機(jī)事件與概

50、率隨機(jī)事件與概率新課標(biāo)要求新課標(biāo)要求1、理解事件，必然事件、不可能事件，隨機(jī)事件、互斥事件、對立事件等概念。2、會求出某些簡單的離散型隨機(jī)變量的概率分布。3、理解 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，能進(jìn)行一些與 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布有關(guān)的概率的計(jì)算。5、了解離散型隨機(jī)變量的期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義；并會利用它們的定義解決一些實(shí)際問題6、會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出其期望與方差.高考分析及預(yù)測高考分析及預(yù)測本講內(nèi)容在高考中所占比重不大，縱貫近幾年的高考形式對涉及到有關(guān)概念的某些計(jì)算要求降低，但試題中具有一定的靈活性、機(jī)動性。預(yù)測 09 年高考：（1）對于理科生來講，對隨機(jī)事件

51、的考察，結(jié)合選修中排列、組合的知識進(jìn)行考察，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)；（2）對概率考察的重點(diǎn)為互斥事件、古典概型的概率事件的計(jì)算為主，而以實(shí)際應(yīng)用題出現(xiàn)的形式多以選擇題、填空題為主。教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的分布列的概念教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的分布列的概念教學(xué)難點(diǎn)：求離散型隨機(jī)變量的期望與方差教學(xué)難點(diǎn)：求離散型隨機(jī)變量的期望與方差知識導(dǎo)學(xué)：知識導(dǎo)學(xué)：一、掌握隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算。1、 事件間的關(guān)系是指：事件的包含、相等、互斥、互逆關(guān)系。2、 事件的運(yùn)算是指：事件的和、積、差、逆。22要特別注意下述性質(zhì)： , BAABABAABA , BABABAAB二、理解概率的概念，掌握概率的性質(zhì)，理解

52、條件概率。1、 概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量。包括主觀概率 、 客觀概率。2、 概率的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：0）（AP（2）規(guī)范性： , 1）（P0）（P（3）可列可加性：)()(1121iiiiAPAPAA兩兩互斥，則，若3、 對事件 A、B，若 ,則為事件 B 發(fā)生的條件下 A 發(fā)生的概率。0BP）（）（）（）（BPABPBAP注意：與的聯(lián)系和區(qū)別。）（ BAP）（）及（ABPAP三、了解古典概型的條件，會求解簡單的古典概型問題。1、 古典概型的條件：（1）有限性：隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果是有限個基本事件。（2）等可能性：每個基本事件發(fā)生的概率均等。2、 古典概型的概率公式： nmAP）（

53、 m 是 A 所包含的基本事件個數(shù)，n 是基本事件總數(shù)。四、熟練掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握全概率公式。（1）加法公式：）（）（）（）（ABPBPAPBAP特別地，當(dāng)時 AB）（）（）（BPAPBAP（2）乘法公式：若,則01AP）（）（）（）（12121AAPAPAAP 若,則021AAP）（）（）（）（）（213121321AAAPAAPAPAAAP(3) 全概率公式： 若 事件兩兩互斥，nAAA，21且，則niiA1), 2 , 10)(niAPi，（)()(1iniiABPAPBP）（23五、理解事件獨(dú)立性的概念，會求解簡單的伯努里概型問題。、對兩個事件 A、，若，則稱事件與相互

54、獨(dú)立。）（）（）（BPAPABP、性質(zhì)：（） 必然事件與任何事件獨(dú)立，不可能事件與任何事件獨(dú)立。（） 若事件與相互獨(dú)立，且，則00BPAP）（，）（，）（）（BPABP）（）（APBAP（） 若事件與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立。BAAB、n 重伯努里概型：若一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有兩個：和，且；這一試驗(yàn)在相同的條件下獨(dú)立重復(fù)A）（APn 次，則稱此為 n 重伯努里概型。n 重伯努里概型中結(jié)果恰出現(xiàn) k 次的概率為。knkknnCkP)1 ()(六、期望(1)概念若離散型隨機(jī)變量 的概率分布為則稱 E x1p1x2p2xnpn 為 的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱期望，它反映

55、了離散型隨機(jī)變量取值的 平均水平(2)性質(zhì)E(C) C (C 為常數(shù))若 是隨機(jī)變量，ab，則 E(ab) aEb .(3)E 是一個實(shí)數(shù)，由 的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量的 是可變的，可取不同的值，而 E 是不變的，它描述 取值的平均狀態(tài)2方差如果離散型隨機(jī)變量 所有可能取的值是 x1，x2，xn，且取這些值的概率分別是p1，p2，pn，設(shè) E 是隨機(jī)變量 的期望，那么把 D (x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn叫做隨機(jī)變量 的均方差，簡稱方差 的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量 的 標(biāo)準(zhǔn)差，記作 .隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨

56、機(jī)變量本身有相同的單位。241離散型隨機(jī)變量的期望和方差求離散型隨機(jī)變量期望和方差的方法：(1)定義法：寫出隨機(jī)變量的分布列，用期望和方差的定義求解(2)性質(zhì)法：利用性質(zhì)：E(ab)aEbD(ab)a2D 求解；(3)公式法：利用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的期望和方差公式求解2期望和方差的性質(zhì)E(ab)aEbE()EED(ab)a2D3二項(xiàng)分布的期望和方差若 B(n，p)，則 Enp，Dnp(1p)4對于應(yīng)用問題，首先要審好題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，設(shè)出隨機(jī)變量，求出分布列，利用定義計(jì)算隨機(jī)變量的期望和方差例、設(shè)有一批產(chǎn)品，其中 820 件是正品，180 件是次品，從中依次抽取 2 件，2 件都是

57、次品的概率是多少？解：令 則所求概率為次抽到的是次品第iAi2 , 1i)(21AAP 因?yàn)?， ，1000180)(1AP999179)(12AAP 應(yīng)用乘法公式可得： ）（）（）（12121AAPAPAAP 03225. 09991791000180例、有一張電影票，五個人依次抓鬮，問第 個人得電影票的概率是多少？i)5 , 4 , 3 , 2 , 1i（解：設(shè)， 個人得到電影票第iAi5 , 4 , 3 , 2 , 1i則 ， 。51)(1AP54)(1AP若第 2 個人抓到票的話，必須第 1 個人沒有抓到票，因此 ）（）（）（）（121212AAPAPAAPAP25 514154若第

58、3 個人抓到票的話，必須第 1，2 個人沒有抓到票，因此）（）（）（）（）（2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 51314354類似地可得 ， 51)(4AP51)(5AP例、設(shè) 1000 個男人中有 5 個色盲者，而 10000 個女人中只有 25 個色盲者。某社區(qū)有 3000 個男人，2000 個女人，任檢查一人，求此人是色盲的概率。解：設(shè) ， 檢查的人是男人1A檢查的人是女人2A則，且互斥與21AA21AA ， 。53500030001）（AP52500020002）（AP設(shè) ， 則檢查的人是色盲B ， 2001100051）（ABP400110000252）（ABP由全

59、概率公式有）（）（）（）（）（2211ABPAPABPAPBP004. 0400152200153（2010 上海文數(shù)）上海文數(shù)）10. 從一副混合后的撲克牌（52 張）中隨機(jī)抽取 2 張，則“抽出的 2 張均為紅桃”的概率為351（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示） 。解析：考查等可能事件概率“抽出的 2 張均為紅桃”的概率為513252213CC（2010 湖南文數(shù)）湖南文數(shù)）11.在區(qū)間-1,2上隨即取一個數(shù) x，則 x0,1的概率為 。【答案】13【命題意圖】本題考察幾何概率，屬容易題。（20102010 遼寧文數(shù)）遼寧文數(shù)） （13）三張卡片上分別寫上字母 E、E、B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰

60、好排成英文單詞 BEE 的概率為 。 解析：填13 題中三張卡片隨機(jī)地排成一行，共有三種情況：,BEE EBE EEB，概率為：1.3（2010 重慶文數(shù)）加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為170、26169、168，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為_ .解析：加工出來的零件的次品的對立事件為零件是正品，由對立事件公式得加工出來的零件的次品率6968673170696870p （2010 重慶理數(shù)）重慶理數(shù)） （13）某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為1625，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為_.解析：由251612