1、學 號： 課程設計題目專業綜合實踐-圖像頻率域處理程序設計學院信息工程學院專業電子信息工程班級姓名指導教師 年 月 日 學生姓名:專業班級:指導教師: 工作單位: 信息工程學院題 目:圖像頻率域處理程序設計初始條件:（1） 提供實驗室機房及其matlab軟件；（2） 數字圖像處理的基本理論學習。要求完成的主要任務:(包括課程設計工作量及其技術要求,以及說明書撰寫等具體要求):（1）掌握頻率域處理的基本原理，利用matlab設計程序完成以下功能；（2）選擇二幅大小不一的256級的灰度圖像；（3）用頻域方法計算它們的空間域的運算結果；（4）頻域中需要利用周期延拓的方法計算空域中的相關結果，分析周期

2、延拓的必要性；（5）對結果進行分析；（6）要求閱讀相關參考文獻不少于5篇；（7）根據課程設計有關規范，按時、獨立完成課程設計說明書。時間安排: (1) 布置課程設計任務，查閱資料，確定方案1.5天； (2) 進行編程設計、調試 2天； (3) 完成課程設計報告書、答辯 1.5天；指導教師簽名:年月日系主任(或責任教師)簽名: 年 月 日目 錄摘要3Abstract31 MATLAB簡介31.2MATLAB功能特性31.3MATLAB優勢特點32概述33 設計原理33.1二維連續傅里葉變換33.2二維離散傅里葉變換34 軟件實現34.1檢查圖片格式34.2頻域處理程序設計35 程序運行結果及分析

3、36 心得體會3參考文獻3摘要圖像的頻域處理是指根據一定的圖像模型，對圖像頻譜進行不同程度修改的技術。要對圖像進行頻域處理首先要對其進行傅里葉變換，傅里葉變換之后可以將圖像的高頻和低頻分量分開來，低頻分量主要是對整幅圖像的綜合強度的度量，高頻成分主要是對圖像邊緣和輪廓的度量，利用這個特點使圖像可以在頻域得到很好的處理。同時傅里葉變換的卷積特性和周期性在圖像的頻域處理中也起著重要的作用，本次課設將對此做詳細介紹。關鍵字：傅里葉變換卷積特性周期性AbstractImage processing in the frequency domain is based on a certain image

4、model, the image of the spectrum to modify the degree of technology. The image of processing in the frequency domain, we must first of its Fourier transform, Fourier transform can separate images with high frequency and low frequency components and low frequency component is mainly the comprehensive

5、 strength of the whole image metrics, high frequency components is mainly a measure of image edges and contours of, use this feature to make the image can get good treatment in the frequency domain. At the same time, Fu Liye transform and periodicity of the convolution of the image processing in the

6、 frequency domain also plays an important role in this course will be described in detail.Key words：Fourier transform Convolution property Periodicity1MATLAB簡介1.1MATLAB簡介MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，用于算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB是matrix&laboratory兩個詞的組合，意為

7、矩陣工廠（矩陣實驗室）。是由美國mathworks公司發布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環境。它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數學軟件。它在數學類科技應用軟件中在數值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實

8、現算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優點，使MATLAB成為一個強大的數學軟件。在新的版本中也加入了對C，FORTRAN，C+，JAVA的支持。1.2MATLAB功能特性 MATLAB作為一款強大的處理軟件，其主要功能有：數值分析數值和符號計算工程與科學繪圖控制系統的設計與仿真數字圖像處理

9、數字信號處理通訊系統設計與仿真財務與金融工程MATLAB 的應用范圍非常廣，包括信號和圖像處理、通訊、控制系統設計、測試和測量、財務建模和分析以及計算生物學等眾多應用領域。附加的工具箱（單獨提供的專用 MATLAB 函數集）擴展了 MATLAB 環境，以解決這些應用領域內特定類型的問題。1.3MATLAB優勢特點高效的數值計算及符號計算功能，能使用戶從繁雜的數學運算分析中解脫出來；具有完備的圖形處理功能，實現計算結果和編程的可視化；友好的用戶界面及接近數學表達式的自然化語言，使學者易于學習和掌握；功能豐富的應用工具箱(如信號處理工具箱、通信工具箱等) ，為用戶提供了大量方便實用的處理工具。編程

10、環境MATLAB由一系列工具組成。這些工具方便用戶使用MATLAB的函數和文件，其中許多工具采用的是圖形用戶界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作空間、文件的瀏覽器。隨著MATLAB的商業化以及軟件本身的不斷升級，MATLAB的用戶界面也越來越精致，更加接近Windows的標準界面，人機交互性更強，操作更簡單。而且新版本的MATLAB提供了完整的聯機查詢、幫助系統，極大的方便了用戶的使用。簡單的編程環境提供了比較完備的調試系統，程序不必經過編譯就可以直接運行，而且能夠及時地報告出現的錯誤及進行出錯原因分析。簡單易用Matlab是一個

11、高級的矩陣/陣列語言，它包含控制語句、函數、數據結構、輸入和輸出和面向對象編程特點。用戶可以在命令窗口中將輸入語句與執行命令同步，也可以先編寫好一個較大的復雜的應用程序（M文件）后再一起運行。新版本的MATLAB語言是基于最為流行的C+語言基礎上的，因此語法特征與C+語言極為相似，而且更加簡單，更加符合科技人員對數學表達式的書寫格式。使之更利于非計算機專業的科技人員使用。而且這種語言可移植性好、可拓展性極強，這也是MATLAB能夠深入到科學研究及工程計算各個領域的重要原因。強處理能力MATLAB是一個包含大量計算算法的集合。其擁有600多個工程中要用到的數學運算函數，可以方便的實現用戶所需的各

12、種計算功能。函數中所使用的算法都是科研和工程計算中的最新研究成果，而且經過了各種優化和容錯處理。在通常情況下，可以用它來代替底層編程語言，如C和C+ 。在計算要求相同的情況下，使用MATLAB的編程工作量會大大減少。MATLAB的這些函數集包括從最簡單最基本的函數到諸如矩陣，特征向量、快速傅立葉變換的復雜函數。函數所能解決的問題其大致包括矩陣運算和線性方程組的求解、微分方程及偏微分方程的組的求解、符號運算、傅立葉變換和數據的統計分析、工程中的優化問題、稀疏矩陣運算、復數的各種運算、三角函數和其他初等數學運算、多維數組操作以及建模動態仿真等。圖形處理MATLAB自產生之日起就具有方便的數據可視化

13、功能，以將向量和矩陣用圖形表現出來，并且可以對圖形進行標注和打印。高層次的作圖包括二維和三維的可視化、圖象處理、動畫和表達式作圖。可用于科學計算和工程繪圖。新版本的MATLAB對整個圖形處理功能作了很大的改進和完善，使它不僅在一般數據可視化軟件都具有的功能（例如二維曲線和三維曲面的繪制和處理等）方面更加完善，而且對于一些其他軟件所沒有的功能（例如圖形的光照處理、色度處理以及四維數據的表現等），MATLAB同樣表現了出色的處理能力。同時對一些特殊的可視化要求，例如圖形對話等，MATLAB也有相應的功能函數，保證了用戶不同層次的要求。另外新版本的MATLAB還著重在圖形用戶界面（GUI）的制作上作

14、了很大的改善，對這方面有特殊要求的用戶也可以得到滿足。程序接口新版本的MATLAB可以利用MATLAB編譯器和C/C+數學庫和圖形庫，將自己的MATLAB程序自動轉換為獨立于MATLAB運行的C和C+代碼。允許用戶編寫可以和MATLAB進行交互的C或C+語言程序。另外，MATLAB網頁服務程序還容許在Web應用中使用自己的MATLAB數學和圖形程序。MATLAB的一個重要特色就是具有一套程序擴展系統和一組稱之為工具箱的特殊應用子程序。工具箱是MATLAB函數的子程序庫，每一個工具箱都是為某一類學科專業和應用而定制的，主要包括信號處理、控制系統、神經網絡、模糊邏輯、小波分析和系統仿真等方面的應用

15、。2概述圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。頻域處理是指根據一定的圖像模型，對圖像頻譜進行不同程度修改的技術，通常作如下假設：引起圖像質量下降的噪聲占頻譜的高頻段；圖像邊緣占高頻段；圖像主體或灰度緩變區域占低頻段。基于這些假設，可以在頻譜的各個頻段進行有選擇性的修改。在頻率域進行圖像處理的原因：可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應關系。一些在空間域表述困難的增強任務，在頻率域中變得非常普通。濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質。可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結果濾波器作為空間域濾波器的指導。頻率域處理可以解決許多空間域無法

16、解決的問題，例如模式噪聲問題、同態濾波等。頻率域處理有很強的理論基礎，有很多高級或復雜算法，簡單方便。3 設計原理圖像的二維傅里葉變換是將圖像的空間表示變換為頻率域表示，圖像中的平坦區域可以理解為變化比較緩慢，頻率比較低，而圖像的邊緣和紋理區域變化較快，即高頻部分。傅里葉變換能將圖像的不同頻率部分按照頻率軸分布，由于圖像平坦區域構成了圖像的大部分內容，故低頻成分更多一些，將坐標系原點移到圖像中心后，就表現為中心是低頻，外圍是高頻。3.1二維連續傅里葉變換如果二維連續函數f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則將有下面的傅立葉變換對存在：（1）（2）與一維傅立葉變換類似，二維傅立葉變換的傅立葉譜和相位譜

17、為：3.2二維離散傅里葉變換一個M×N大小的二維函數f(x,y)，其離散傅立葉變換對為：在數字圖像處理中，圖像一般取樣為方形矩陣，即N×N，則其傅立葉變換及其逆變換為：3.3二維離散傅里葉變換的性質離散傅里葉變換主要有以下性質：1. 平移性質2. 分配律3. 尺度變換（縮放）4. 旋轉性5. 周期性和共軛對稱性6. 平均值7. 可分性8. 卷積9. 相關性。這里主要簡述周期性，卷積相關內容會在下一節中介紹。離散傅里葉變換有如下周期性性質：反變換也是周期性的：頻譜也是關于原點對稱的：這些等式的有效性是建立在二維離散傅里葉變換公式基礎上的，圖像的周期性在圖像處理中有非常重要的作

18、用。基于卷積理論，頻率域的乘法相當于空間域的卷積，反之亦然。當處理離散變量和傅里葉變換時，要記住不同函數所包含的周期性。雖然可能不太直觀，但周期性是定義離散傅里葉變換對時產生的數學副產品。周期性是處理操作的一部分,不應忽視。圖3.1列舉了周期性的重要性。圖3.1左邊（ae）：兩個離散函數的卷積右邊（fj）：相同函數的卷積，考慮DFT周期性的應用。圖的左邊一列是用下式的一維形式計算的卷積：可以通過圖3.1右邊一列考察這種隱含的周期性。圖3.1(f)同圖3.1(a)一樣，但同樣的函數在兩個方向上周期性地無限擴展(擴展部分用虛線表示)。從圖3.1(g)到圖3.1(i)同樣應用該擴展。現在，可以通過將

19、h(x-m)滑過f(m)進行卷積。如前面一樣，變化x完成滑動。然而，h(x-m)的周期性擴展產生了圖3.1左邊的計算中所沒有的值。例如，在圖3.1(i)中，當x=0時，看到h(x-m)右側第一個擴展周期的一部分進入圖3.1(f)中所示的f(m)(從原點開始)的一部分。當h(x-m)向右滑動時，在f(m)中的那部分開始向右側移出，但被h(x-m)左側相同部分所取代。這引起卷積產生一個常量值，如圖3.1(j)所示的0，100的一段.從100到4OO的一段是正確的，但周期性是周而復始的，這樣就引起卷積函數尾部的一部分丟失，由圖3.1(j)和圖3.1(e)實線部分的比較可以看出這一點。在頻率域，該過程

20、需要計算圖3.1(a)和(b)中函數的傅里葉變換。根據卷積理論，兩個變換要相乘，再計算傅里葉反變換。結果包含40O個點的卷積，如圖3.1(j)的實線部分所示。簡單的解釋表明當使用傅里葉變換得出卷積函數時，錯誤地處理周期性將得到錯誤的結論。結果，在開頭有錯誤數據，結尾將丟失數據。問題的解決辦法很簡單。假設f和h分別由A和B個點組成。對兩個函數同時添加零，以使它們具有相同的周期，表示為P。這個過程產生擴展的或延拓的函數，如下所示：和可以看出,除非選擇PA+B-1，否則卷積的獨立周期將會混疊。已經在圖3.1中看到了這種現象的結果，這通常歸于纏繞誤差。若P=A+B-1，周期便會鄰接起來。若PA+B-1

21、，周期將會是分隔開的，分隔的程度等于P與A+B-1的差。擴展后的卷積結果如圖3.2所示。這樣，如果要在頻率域計算卷積，應該：(1)得到兩個擴展序列的傅里葉變換；(2)將兩個變換相乘；(3)計算傅里葉反變換。圖3.2（ae）用擴展函數執行卷積的結果這些概念擴展到二維函數時遵循了相同的前提。假設有f(x,y)和h(x,y)兩幅圖像，大小分別為A×B和C×D。如同一維情況，這些行列必須假定在x方向上有相同的周期P，在y方向上有相同的周期Q。二維卷積的混疊可由選擇如下周期避免：擴展f(x,y)和h(x,y)形成如下周期性序列：為了簡化圖例，假設f和h是方形的，且大小相同，圖3.3

22、對二維函數周期延拓的說明。（a）沒有延拓執行二維卷積的結果；（b）合格的函數延拓；（c）正確的卷積結果。圖3.3(a)顯示了圖像沒有延拓時得到的濾波結果。這通常是由于沒有對一幅輸入圖像進行延拓就進行傅里葉變換，然后又乘上同樣大小的函數(也沒有延拓)，計算傅里葉反變換。結果就是與輸入圖像相同的大小為A×B的圖像，如圖3.3(a)左上象限所示。如同一維情況，圖像前面邊沿(阻影部分)由于周期性而引入了錯誤數據，而在尾部邊沿將丟失數據。如圖3.3(b)所示，通過對輸入圖像和函數進行合適的延拓，將得到正確的、大小為P×Q的過濾圖像。4軟件實現4.1檢查圖片格式Info=imfinfo

23、(1.jpg) Info=imfinfo(2.jpg)圖4.1.11.jpg圖片信息圖4.1.22.jpg圖片信息由以上圖片信息可知，兩幅圖均為256級灰度圖像，圖1寬和高為224、240，圖2寬和高為250、250，大小不相等，符合要求。4.2頻域處理程序設計MATLAB中提供的變換函數（1）fft2:用于計算二維快速傅立葉變換，語句格式：B=fft2(I,m,n)按指定的點數計算m,返回矩陣B的大小為m×n,不寫默認為原圖像大小。（2）ifft2:用于計算圖像的二維傅立葉反變換，語法格式：B=ifft2(i)%直接卷積程序I1=imread('1.jpg');I2

24、=imread('2.jpg');I5=conv2(I1,I2);figure(1);imshow(I5,);title('直接函數卷積得到的圖像 ')%正確的頻域處理程序I1=imread('1.jpg');I2=imread('2.jpg');m1,n1=size(I1);m2,n2=size(I2);I1(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;I2(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;I3=ifft2(fft2(I1).*fft2(I2);I3=I3(1:m1+m2-1,1:n1+n2-1);I3=real(I3);fig

25、ure(2);imshow(I3,);title('正確延拓頻域法得到的卷積圖像')%比較頻域方法與直接卷積的結果，顯示差矩陣并且顯示錯誤數據數F=minus(I3,I5);figure(3)imshow(F);title('正確延拓差矩陣的二值圖像')s=0;fori=1:m1+m2-1for j=1:n1+n2-1if (minus(abs(F(i,j),0.000001)>0) s=s+1;end; end;end;disp(sprintf('差錯 1: %d',s);%補0不夠的頻域處理程序I1=imread('1.jpg&

26、#39;);I2=imread('2.jpg');m1,n1=size(I1);m2,n2=size(I2);I1(m1+m2-100,n1+n2-100)=0;I2(m1+m2-100,n1+n2-100)=0;I3=ifft2(fft2(I1).*fft2(I2);I3=I3(1:m1+m2-100,1:n1+n2-100);I3=real(I3);I3(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;figure(4);imshow(I3,);title('補0不夠頻域法得到的卷積圖像')%比較頻域方法與直接卷積的結果，顯示差矩陣并且顯示錯誤數據數F=minus(I

27、3,I5);figure(5)imshow(F);title('補0不夠的差矩陣的二值圖像')s=0;fori=1:m1+m2-100for j=1:n1+n2-100if (minus(abs(F(i,j),0.000001)>0) s=s+1;end; end;end;disp(sprintf('差錯 2: %d',s);5程序運行結果及分析圖5.1直接卷積的圖像圖5.2 正確延拓頻域法得到的卷積圖像圖5.3 正確延拓差距陣的二值圖像圖5.4 補0不夠頻域法得到的卷積圖像圖5.5補0不夠的差距陣的二值圖像比較圖5.1和圖5.2，看不出兩個圖像有任何區別。通過作差，認為舍入誤差小于0.000001的均可作為0來處理，這里差錯為0，差值矩陣的二值圖像全為黑，兩圖沒有任何區別，即頻域方法的卷積結果是完全正確的。比較圖5.1和圖5.4，表面上也看不出兩個圖像有什么區別，圖5.4的靠左