1、本章主要討論：本章主要討論：Z變換的定義、收斂域、性質(zhì)；變換的定義、收斂域、性質(zhì)；利用利用z變換解差分方程；變換解差分方程；利用利用z平面零極點(diǎn)的分布研究系統(tǒng)的特性平面零極點(diǎn)的分布研究系統(tǒng)的特性；與傅氏變換和拉氏變換的關(guān)系。與傅氏變換和拉氏變換的關(guān)系。一一z變換的導(dǎo)出變換的導(dǎo)出抽樣信號(hào)的拉氏變換抽樣信號(hào)的拉氏變換離散信號(hào)的離散信號(hào)的z變換變換s( )( )( )Tx tx tt( )()() ()nnx ttnTx nTtnT對(duì)對(duì) 取拉氏變換取拉氏變換s( )x tss( )( )() ()nXsL x tLx nTtnT)(stxDA/)(nxk數(shù)字濾波器)(ngkAD/)(tg)(tp)(

2、txOt( () )txsTT2( () ) ( () )nTtnTx On( ( ) )nx1 2( )s()()()esnTnnXsx nT LtnTx nT js其中 e sTz 引入復(fù)變量，為連續(xù)變量se( )|( )( )sTnznXsx n zX z( ) x nz對(duì)任一信號(hào)的（雙邊） 變換式為( )( )nnX zx n z()( )x nTx n，將表示為( )( )nnX zx n z21012( 2)( 1) (0)(1)(2)( )znzxzxzxzxzxzx n z 的正冪的負(fù)冪( ( ) )的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)是是1 zzX( ( ) )的位置的位置指出指出中的中的冪冪

3、nxnn ( ( ) )nx 級(jí)數(shù)的系數(shù)是級(jí)數(shù)的系數(shù)是二對(duì)二對(duì)z變換式的理解變換式的理解說(shuō)明說(shuō)明0( )( ),nnX zx n zz單邊 變換0 nz 的負(fù)冪級(jí)數(shù)構(gòu)成右邊序列1 nz 的正冪級(jí)數(shù)構(gòu)成左邊序列若雙邊序列取單邊若雙邊序列取單邊z變換，或?qū)σ蚬盘?hào)（有起因序變換，或?qū)σ蚬盘?hào)（有起因序列）列） 存在的序列取存在的序列取z z變換變換 0n z變換的定義 變換變換雙邊雙邊變換變換單邊單邊nnnnznxzXzznxzXz)()()()(0( ( ) )的生成函數(shù)。的生成函數(shù)。為為某些文獻(xiàn)中也稱(chēng)某些文獻(xiàn)中也稱(chēng)數(shù)）；數(shù)）；的冪級(jí)數(shù)（亦稱(chēng)羅朗級(jí)的冪級(jí)數(shù)（亦稱(chēng)羅朗級(jí)復(fù)變量復(fù)變量)(1nxzXz

4、 典型序列的z變換一單位樣值函數(shù)一單位樣值函數(shù) 0 001)(nnn 1)()( nnznzX 二單位階躍序列二單位階躍序列 0001)(nnnu1 z1111)(1321 zzzzzzzXnO)(n 1nO)(nu11 2 3三斜變序列的三斜變序列的z z變換變換？， 0)()()(nnnzzXnnunx已知已知 1 11)(10 zzznuZnn1101 1nnzzz對(duì) 式兩邊，對(duì)求導(dǎo)21011)1(1)( zznnn兩邊同時(shí)乘以?xún)蛇呁瑫r(shí)乘以z-1 ，可得，可得 1 z( ( ) ) 20)1( zzznnnuZnn（用間接方法求）（用間接方法求）指數(shù)序列指數(shù)序列( )( )nx na u

5、 nza( )0nnnX za z111zazza1 1右邊序列右邊序列( )()2. 1nx na un 左邊序列zzaza()1( )nnnX za zmn 令()1111mmma zaza z五正弦與余弦序列五正弦與余弦序列 ( () )( ( ) )nun0cos ( () )2eecos 00jj0nnn 因?yàn)橐驗(yàn)? )00jjee nzZu nz 1z 單邊余弦序列單邊余弦序列 () ( )()0000jj20cos1 cos2ee2 cos1z zzzZ n u nzzzz所以同理同理() ( )0000jj20sin1 sin2 jee2 cos1zzzL n u nzzzz收

6、斂域的定義收斂域的定義討論幾種情況討論幾種情況一收斂域的定義一收斂域的定義收斂的所有收斂的所有z 值之集合為收斂域。值之集合為收斂域。( )( )nnX zx n z ( ) ROCnnx n z 即滿(mǎn)足的區(qū)域（）對(duì)于任意給定的序列對(duì)于任意給定的序列x(n) ，能使，能使ROC: Region of convergence不同的不同的x(n)的的z變換，由于收斂域不同，可能對(duì)應(yīng)于相變換，由于收斂域不同，可能對(duì)應(yīng)于相同的同的z 變換，故在確定變換，故在確定 z 變換時(shí)，必須指明收斂域。變換時(shí)，必須指明收斂域。二討論幾種情況二討論幾種情況1有限長(zhǎng)序列的收斂域12( ),x nnnn2右邊序列的收斂

7、3左邊序列的收斂4雙邊序列的收斂( )( )0nx na u nn ()( )11nx na unn ( )0nx nbnb 2132( )( )( )nnnn nnX zx n zx n z122,3nn 2101230( 2)( 1)(0) (1)(2)(3)zzxzxzxzxzxzxz 常數(shù)所以，收斂域?yàn)樗裕諗坑驗(yàn)?的的z平面。平面。 例8-3-1 z02 2右邊序列的收斂右邊序列的收斂( )( )nx na u n1001( )lim1nnnnnnnaazX za zazz1azaz當(dāng)，即時(shí)收斂( )11zX zazazzaROC：例8-3-21 0( )30 0nnx nzn求信

8、號(hào)的 變換的收斂域。2311113(3 )(3 )zzz 若該序列收斂，則要求若該序列收斂，則要求113 z00011( )( )33nnnnnnnX zx n zzz即收斂域?yàn)椋杭词諗坑驗(yàn)椋?13z )Re(z)Im(jz0313左邊序列的收斂( )zX zza()( )11nx na unn ()1( )nnnX za zmn 令()111( )1mmma zX zaza z1zzaa當(dāng)，即時(shí)收斂ROC: za例8-3-30 0( )1 02nnx nzn求信號(hào)的 變換的收斂域。1232222zzzzz111111( )( )222nnnnnnnnnnzX zx n zzz收斂域?yàn)椋菏諗坑?/p>

9、為： 12z所以2z )Re(z)Im(jz024 4雙邊序列的收斂雙邊序列的收斂( )0nx nbnb ()()()11111nnb unbunzzbzb ( ) nzb u nzbzb1 01bbb若1ROC:bzb則( )( )()00 1nnnnx nb u nb un 或n( ( ) )nbnx 10 b1n( ( ) )nbnx 1 b1例8-3-4103( )102nnnx nnROC:123z)Re(z)Im(jzO23 / 1四總結(jié)四總結(jié)x(n)的收斂域（的收斂域（ROC）為）為 z 平面以原點(diǎn)為中心平面以原點(diǎn)為中心 的圓環(huán)；的圓環(huán)； ROC內(nèi)不包含任何極點(diǎn)（以極點(diǎn)為邊界）；

10、內(nèi)不包含任何極點(diǎn)（以極點(diǎn)為邊界）；有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列的ROC為整個(gè)為整個(gè) z 平面平面 （可能除去（可能除去z = 0 和和z = ）；）；右邊序列的右邊序列的ROC為為 的圓外；的圓外；1zR左邊序列的左邊序列的ROC為為 的圓內(nèi)；的圓內(nèi)；2zR 雙邊序列的雙邊序列的ROC為為 的圓環(huán)。的圓環(huán)。12RzR部分分式展開(kāi)法部分分式展開(kāi)法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法圍線積分法圍線積分法留數(shù)法留數(shù)法一部分分式展開(kāi)法一部分分式展開(kāi)法( ) (1)nna u nzazza unzaza 變換的基本形式1z變換式的一般形式 zRz包括包括收斂域收斂域右邊序列右邊序列因果序列因果序列, , zkr 為了保證

11、處收斂，其分子多項(xiàng)式的階次不能大于分母多項(xiàng)式的階次 即必須滿(mǎn)足。kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()( )1etu ts拉氏變換的基本形式：2求逆z變換的步驟( ( ) )為真分式為真分式zzx z 提出一個(gè)( ) x zzz查反變換表查反變換表 再部分分式展開(kāi)再部分分式展開(kāi) 3 3極點(diǎn)決定部分分式形式極點(diǎn)決定部分分式形式 NmmmzzzAAzX10)(0,)()()()()( 22110 nzAzAzAnAnxnNNnn 對(duì)一階極點(diǎn)對(duì)一階極點(diǎn)NNNmmmzzAzzAzzAzAzzAzAzzX 2211010)(000 0bAza

12、極點(diǎn)的系數(shù)( )() mmmmz zX zAzzzzz極點(diǎn)的系數(shù)NNzzzAzzzAzzzAAzX 22110)( 所以所以( ) X z 的極點(diǎn)也可分為一階極 點(diǎn)和高階極點(diǎn)。例8-4-1221)( zzzzzX)()2(2)()(nununxn ( ( ) ) ( ( ) )nun122 ( ( ) )。求求，已知已知nxzzzzzX, 2:ROC)2)(1()(2 ( )X zz除以( ) X zz將展開(kāi)為部分分式( ( ) )21 zBzAzzX2211)( zzzzX所以所以1(1)1(1)(2)zzAzzz 同理：同理：B2 z部分分式乘以)2)(1()( zzzzzX查表查表收斂域

13、與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)221)( zzzzzX2z 右右右右)()2(2)()(nununxn 12z右左右左)1()2(2)()( nununxn1z 左左左左)1()2(2)1()( nununxnO zRe zImj12高階極點(diǎn)（重根）高階極點(diǎn)（重根） sjjijzzzBzX1)()( 設(shè)設(shè)BsjddzzzX zzjsjsjisz zi1()!()( )例8-4-2zBzBzBzzzzX32212)1(1)1(1)( ( () )( () )11111222 zzzzB( () )( () )1 111dd)!12(11221 zzzzzB( () )111023 zzzzB2 ( )11(1)

14、zzX zzz所以( )( )( )( )x nu nnu nn ( ( ) )。求求nxzzzX, 1,)1(1)(2 2,1,2sj這里izzsijsjsjzzXzzzjsB )()(dd)!(1二冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法二冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法 2101221012zxzxzxzxzx)()()()()(kkkkrrrrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()(z z變換式一般是變換式一般是z的的有理函數(shù)有理函數(shù)，可表示為：，可表示為： 直接用長(zhǎng)除法進(jìn)行逆變換直接用長(zhǎng)除法進(jìn)行逆變換( ( ) )( ( ) ) nnznxzX( )x n級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列（是一個(gè)（是

15、一個(gè)z z 的冪級(jí)數(shù)）的冪級(jí)數(shù)）1冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法2 2右邊序列的逆右邊序列的逆z z變換變換( ) X zz將以的降冪排列 2100)2()1()0()()(zxzxzxznxzXnn3左邊序列的逆z變換 3211 )3()2()1()()(zxzxzxznxzXnn( ) X zz將以 的升冪排列例8-4-3012 ( )(0) (1)(2)X zxzxzxz因?yàn)? ( ) ) , 4, 3, 2, 1, 0 nx所以所以( ( ) )( ( ) )。，求，求已知已知nxzzzzzX1122 nzz收斂域在圓外，故是右邊序列，一定是形式，采用 的降冪排列：z122 zz 43214 3 2 z

16、zzz12 zz12 z21242 zz212 3 zz321363 zzz3234 zz432484 zzz4345 zz( )00 x因?yàn)殚L(zhǎng)除結(jié)果無(wú)常數(shù)項(xiàng)，則。例8-4-4( ( ) ) 11, 2, 3, 4, nnx所以所以( ( ) )1211222 zzzzzzzzXz221zz 4324 3 2 zzzz322 zzz 322zz 432242zzz 432 3zz 543363zzz 5434zz 654484zzz 6545zz 主要內(nèi)容線性線性位移性位移性序列線性加權(quán)序列線性加權(quán)序列指數(shù)加權(quán)序列指數(shù)加權(quán)初值定理初值定理終值定理終值定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理z z域卷積定理

17、（自閱）域卷積定理（自閱）一線性一線性a,b為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。 ( () ) ( () ) ( () )212121 )()()()( )()( )()( RzRzbYzaXnbynaxZRzRzYnyZRzRzXnxZyyxx 則則若若ROC：一般情況下，取二者的一般情況下，取二者的重疊重疊部分部分),min(),max( 2211yxyxRRzRR 即即某些線性組合中某些某些線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域可能擴(kuò)，則收斂域可能擴(kuò)大。大。( (表現(xiàn)為疊加性和均勻性）表現(xiàn)為疊加性和均勻性） )()(nuanxnaz )1()(nuanynaz ( ( ) ) nn

18、ynx)()(例8-5-1零極點(diǎn)相消，收斂域擴(kuò)大為整個(gè)零極點(diǎn)相消，收斂域擴(kuò)大為整個(gè)z平面。平面。( )zX zza( )aY zza( )( )1X zY z二位移性二位移性1.1.雙邊雙邊z變換變換2.2.單邊單邊z變換變換(1) 左移位性質(zhì)左移位性質(zhì)(2) 右移位性質(zhì)右移位性質(zhì)nO)(nx4nO)2( nx4nO)2( nx411 211 211 2 原序列不變，只影響在時(shí)間軸上的位置。原序列不變，只影響在時(shí)間軸上的位置。處處收斂域：只會(huì)影響收斂域：只會(huì)影響 zz, 0( ( ) ) )()()()(zXzmnxZzzXnxZznxm 變換為變換為的的，則其右移位后，則其右移位后變換為變換

19、為的雙邊的雙邊若序列若序列1 1雙邊雙邊z變換的位移性質(zhì)變換的位移性質(zhì) )()(zXzmnxZzm 變換為：變換為：同理，左移位后的同理，左移位后的2 2單邊單邊z變換的位移性質(zhì)變換的位移性質(zhì)nO( ( ) )nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 ( () ) ( ( ) ) ( () ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) ,的長(zhǎng)度有所增減。的長(zhǎng)度有所增減。較較nunxnumnxnumnx 若若x(n)為雙邊序列，其為雙邊序列，其單單邊邊z變換為變換為 )()(nunxZ(1)(1)左移位性質(zhì)左移位性質(zhì) )()()( zXnunxZ

20、 若若 10)()()()( mkkmzkxzXznumnxZ則則為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中m( () ) ( ( ) )( ( ) )01zxzzXnxZ ( () ) ( ( ) )( ( ) )( ( ) )10222zxxzzXznxZ (2)(2)右移位性質(zhì)右移位性質(zhì) )()()( zXnunxZ 若若 1)()()()( mkkmzkxzXznumnxZ則則為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中m( ( ) )，則，則時(shí)，時(shí)，注意：對(duì)于因果序列注意：對(duì)于因果序列00 nxn() ( )( )mZ x nm u nzX z而而左左移位序列的移位序列的單單邊邊z變換變換不變不變。( () ) ( (

21、) )( () )111 xzXznxZ( () ) ( ( ) )( () )( () )21212 xxzzXznxZ七時(shí)域卷積定理七時(shí)域卷積定理 ( () ) ( () ) )()()(*)( )()( )()( 2121zHzXnhnxZRzRnhZzHRzRnxZzXhhxx 則則已知已知),min(),max(2211hxhxRRzRR 收斂域：收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分一般情況下，取二者的重疊部分即即描述：描述：兩序列在兩序列在時(shí)時(shí)域中的域中的卷積卷積的的z變換等效于在變換等效于在z域中域中兩序列兩序列z變換的變換的乘積乘積。注意：注意：如果在某些如果在某些線性組合線性

22、組合中某些中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消消，則收斂域，則收斂域可能擴(kuò)大可能擴(kuò)大。例8-5-7。求求，)()()(,)()(),()(nhnxnynubnhnuanxnn ( () )azazzzX )( () )bzbzzzH )()()()()( 2bzazzzHzXzY 所以所以max( , )za b收斂域：解：解：a bO( ( ) )zRe( ( ) )zImj收斂域收斂域由由Y(z)求求y(n) bzbzazazbazY1)( 因?yàn)橐驗(yàn)?)()(1)( nubbnuaabanynn 所以所以( () )(111nubabann 2( )()()zY zza zb 描述離散時(shí)間

23、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為差分方程。求解差分描述離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為差分方程。求解差分方程是我們分析離散時(shí)間系統(tǒng)的一個(gè)重要途徑。方程是我們分析離散時(shí)間系統(tǒng)的一個(gè)重要途徑。 求解線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程有兩種方法：求解線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程有兩種方法：時(shí)域方法時(shí)域方法第七章中介紹，煩瑣第七章中介紹，煩瑣z變換方法變換方法差分方程經(jīng)差分方程經(jīng)z變換變換代數(shù)方程；代數(shù)方程；可以將時(shí)域卷積可以將時(shí)域卷積頻域（頻域（z域）乘積；域）乘積；部分分式分解后將求解過(guò)程變?yōu)椴楸?；部分分式分解后將求解過(guò)程變?yōu)椴楸恚磺蠼膺^(guò)程自動(dòng)包含了初始狀態(tài)。求解過(guò)程自動(dòng)包含了初始狀態(tài)。8.7 用z變換解差分方程一應(yīng)用一應(yīng)用z

24、變換求解差分方程步驟變換求解差分方程步驟(1)對(duì)差分方程進(jìn)行對(duì)差分方程進(jìn)行單邊單邊z變換變換（移位性質(zhì)移位性質(zhì)）；(2)由由z變換求出響應(yīng)變換求出響應(yīng)Y(z) ；(3) 求求Y(z) 的反變換，得到的反變換，得到y(tǒng)(n) 。 )()()( zXnunxZ 若若 1)()()()( mkkmzkxzXznumnxZ則則為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中m右移位性質(zhì)右移位性質(zhì)( () ) ( ( ) )( () )111 xzXznxZ( () ) ( ( ) )( () )( () )21212 xxzzXznxZ例8-7-1(原教材例7-10(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。若邊界條件若邊界條件

25、達(dá)式為達(dá)式為已知系統(tǒng)的差分方程表已知系統(tǒng)的差分方程表, 1)1()(05. 0)1(9 . 0)( ynunyny( ( ) )( ( ) )( () ) 105. 019 . 01 zzyzYzzY( ( ) )( () )( () )( () )9 . 019 . 09 . 0105. 02 zzyzzzzY解：解：方程兩端取方程兩端取z變換變換( )0.050.9(1)(0.9)0.9Y zzzzzz45. 0 5 . 021 AA( )0.50.4510.9zzY zzz( ( ) )( () )( () )0 9 . 045. 05 . 0 nnyn( )1210.9Y zAAzzz

26、( )0.050.9(1)(0.9)0.9Y zzzzzz例8-7-2 ( ( ) )( () )( ( ) )( () )1121 LTIS nxnxnyny的差分方程為的差分方程為( )( )()( )112 2nx nu nyy n，求。解解: :( ( ) )( ( ) )( () ) ( ( ) )( ( ) )( () )112111 xzXzzXyzYzzY( ( ) )( ( ) )( ( ) )( () )0112111 zzXzYzzY方程兩邊取方程兩邊取z變換變換代入邊界條件代入邊界條件( ( ) )( ( ) )nunynn 212123 所以所以整理為整理為( ( )

27、 ) 212123212123 211111121zzzzzzzzzzzzY( ( ) )( ( ) )( ( ) )( () )0112111 zzXzYzzY( )12zX zz例8-7-3解：解：已知系統(tǒng)框圖已知系統(tǒng)框圖列出系統(tǒng)的差分方程。列出系統(tǒng)的差分方程。求系統(tǒng)的響應(yīng)求系統(tǒng)的響應(yīng) y(n)。 （1） 列差分方程，從加法器入手列差分方程，從加法器入手( ( ) )( () )( () )( () )( ( ) )nynynynxnx 22131( ( ) )( () )( () )( ( ) )( () )12213 nxnxnynyny所以所以E1( ( ) )nxE1E12 3 (

28、 ( ) )ny ( ( ) )( () )( ( ) )( ( ) ) , 010,0002yynnnxn ( () )( () )452,211 yy( ( ) )( ( ) )( () ) ( ( ) )( () )( () ) 21213121 yyzzYzyzYzzY( () )( () )( ( ) )1 01221 xzzzzz（3）差分方程兩端取）差分方程兩端取z變換，利用右移位性質(zhì)變換，利用右移位性質(zhì)（2）( () )( () )( ( ) )( ( ) )由方程迭代出由方程迭代出用用變換求解需要變換求解需要用用0,1,2,1yyyyz ( )()()( )()31221y

29、ny ny nx nx n( ( ) )( () )( ( ) )( ( ) ) , 010,0002yynnnxn( )( )()( )( )1302110yyyxxa.由激勵(lì)引起的零狀態(tài)響應(yīng)由激勵(lì)引起的零狀態(tài)響應(yīng)( ( ) ) 2123121zs zzzzzY( )()()()2zs222222zzzYzzzz( )()()( )zs12nynnu n( )( )()( )()()12113121222zzY zz Y zyz Y zz yyzzz( () )( () )452,211 yy2,)()(2 aazaznunan( ( ) ) ( () )( () )( () )221312

30、231121zi yyyzzzzY( ( ) )( () )( () )( () )1223121zi zzzzzzzzzY( )()()zi32210nnynn b.由儲(chǔ)能引起的零輸入響應(yīng)由儲(chǔ)能引起的零輸入響應(yīng)( )()()()()21222 0nnny nnn( ( ) )( () )( () )( () )22112221212 zBzBzAzzzzY()()()()2121d22222 1 ! d12Bzzzzz ( ( ) )( () )2222212 zzzzzY所以所以( ( ) )( () )2222212 zzzzzzzY( )()()()()21222 0nnny nnn2

31、, 221 BA( ( ) )( () )( () )2212 zzzzY( )( )()( )()()12113121222zzY zz Y zyz Y zz yyzzz( () )( () )452,211 yy由方程解由方程解y(n)表達(dá)式可以得出表達(dá)式可以得出y(0)=0, y(1)=0，和已知條，和已知條件一致。件一致。驗(yàn)證( )()()()()21222 0nnny nnn二差分方程響應(yīng)二差分方程響應(yīng)y(n)的起始點(diǎn)確定的起始點(diǎn)確定( ( ) )( () )( () )2212 zzzzY全全響應(yīng)響應(yīng)y(n)根據(jù)根據(jù)輸入輸入信號(hào)信號(hào)加上加上的時(shí)刻定的時(shí)刻定對(duì)因果系統(tǒng)對(duì)因果系統(tǒng)y(n

32、)不可能出現(xiàn)在不可能出現(xiàn)在x(n)之前之前觀察觀察Y(z)分子分母分子分母的冪次的冪次分母分母高高于分子的于分子的次數(shù)次數(shù)是響應(yīng)的是響應(yīng)的起點(diǎn)起點(diǎn) ( )2 ny n從開(kāi)始有不為零的值 。三差分方程解的驗(yàn)證三差分方程解的驗(yàn)證( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 解答是正確的解答是正確的兩種迭代結(jié)果相同兩種迭代結(jié)果相同解的表達(dá)式迭代出解的表達(dá)式迭代出原方程迭代出原方程迭代出,2,1,02,1,0yyyyyy8.8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)特性的影響系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)特性

33、的影響確定單位樣值響應(yīng)確定單位樣值響應(yīng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性因果性因果性一單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)一單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)1.1.定義定義2.2. h(n)和和H(z)為一對(duì)為一對(duì)z z變換對(duì)變換對(duì)( ( ) )( ( ) )( ( ) ) NkkkMrrrzazbzXzYzH00( ( ) ) ( ( ) )zHnhZ ( () )( () ) MrrNkkrnxbknya001 1定義定義線性時(shí)不變離散系統(tǒng)由線性常系線性時(shí)不變離散系統(tǒng)由線性常系數(shù)差分方程描述，一般形式為數(shù)差分方程描述，一般形式為 ( ( ) )( ( ) ) MrrrNkkkzbzXzazY00( ( ) )( ( ) )( ( )

34、) NkkkMrrrzazbzXzYzH00 所以所以( () )( () )021 xx( () )( () )021 yy激勵(lì)為因果序列激勵(lì)為因果序列系統(tǒng)處于零狀態(tài)系統(tǒng)處于零狀態(tài)上式兩邊取上式兩邊取z變換得變換得 只與系統(tǒng)的差分只與系統(tǒng)的差分方程的方程的系數(shù)、結(jié)構(gòu)系數(shù)、結(jié)構(gòu)有有關(guān)，描述了系統(tǒng)的關(guān)，描述了系統(tǒng)的特特性。性。 ( ( ) )zH( ( ) )數(shù)。數(shù)。離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函： zH2 h(n)和和H(z)為一對(duì)為一對(duì)z變換變換( ( ) ) ( ( ) )zHnhZ ( )( )( )( )( )( )zsynh nx nY zH zX z系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)

35、的零狀態(tài)響應(yīng)：( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ) zHZnhnhzH1: 求求由由系統(tǒng)系統(tǒng))(n )(nh例8-8-1( ( ) )( () )( () )( ( ) )( () )12213 nxnxnynyny， ( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( () )121123 zzXzYzzYzzY則則( ( ) )( ( ) )( ( ) )zXzYzH 解：解：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)在零狀態(tài)條件下，對(duì)差分方程兩邊取單邊在零狀態(tài)條件下，對(duì)差分方程兩邊取單邊z變換變換已知離散系統(tǒng)的差分方程為：已知離散系統(tǒng)的差分方程為：激勵(lì)激勵(lì)( ( )

36、 )( () )( ( ) )( ( ) )( ( ) )。及零狀態(tài)響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)求系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)nyzHnunxnzs ,2 X( ( ) )( ( ) )( ( ) )2222 zzzzzzzXzHzY( ( ) )( () )( () )( ( ) )nunnyn21 zs 所以所以( () )( () )( () )22112311211 zzzzzzzzz二二系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)特性的影響系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)特性的影響1.1.由零極點(diǎn)分布確定單位樣值響應(yīng)由零極點(diǎn)分布確定單位樣值響應(yīng)2.2.離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.3.系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)的因果性( ( ) )

37、( ( ) )( ( ) )( ( ) )的特性的特性確定單位樣值響應(yīng)確定單位樣值響應(yīng)的零極點(diǎn)分布情況，的零極點(diǎn)分布情況，所以可以從，所以可以從因?yàn)橐驗(yàn)閚hzHzHnh一單位樣值函數(shù)一單位樣值函數(shù)( )1n二單位階躍序列二單位階躍序列1 z( )1zu nz( )nza u nza三指數(shù)序列三指數(shù)序列四單位斜變序列四單位斜變序列2( )(1)znu nzza(1)nza unza za正弦與余弦序列正弦與余弦序列 ()0000jjjj0ee( e)( e)cos22 n nnnnnrrr nr()00jj0ee cos2 n n n( )00jj( e)enzZru nzr zr() ( )(

38、)0000jj20cos1 cos2ee2 cos1z zzzZ n u nzzzz() ( )000jj1 cos2eenzzZ r n u nzrzr OzRezjIm1 1 極點(diǎn)位置與極點(diǎn)位置與h(n)形狀的關(guān)系形狀的關(guān)系( () )( )( 1 1 )4()( 1)( )3()( 1 1 )2()( )10( )1(02221二階極點(diǎn)二階極點(diǎn)nnuzzppnubbzzbbpnuzzpnuaazzaapnn j4j4j44(1) e (01) 2cos( ) 4(2) e 2cos( )4(3) e (1) 2cos( ) 4nnnpaaau nnpu nnpbbbu n減幅振蕩等幅振蕩

39、增幅振蕩j22e 2cos( )2npu n3j43j43j4343 (1) e (01) 2cos( ) 43 (2) e 2cos( )43 (3) e (1) 2cos( ) 4nnnpaaau nnpu nnpbbbu n減幅振蕩等幅振蕩增幅振蕩( )()( )jj(1) e (01) 2cos ( ) 21( )(2) e1 2cos ( ) nnnpaaaau nau npu n 減幅振蕩等幅振蕩()( )()j 1( )(3) e (1) 2cos ( ) 21( )nnnnu npbbbbu nbu n 增幅振蕩s平面平面z平面平面極點(diǎn)位置極點(diǎn)位置h(t)特點(diǎn)特點(diǎn)極點(diǎn)位置極點(diǎn)位

40、置h(n)特點(diǎn)特點(diǎn)虛軸上虛軸上等幅等幅單位圓上單位圓上等幅等幅原點(diǎn)時(shí)原點(diǎn)時(shí) 左半平面左半平面衰減衰減單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)減幅減幅右半平面右半平面增幅增幅單位圓外單位圓外增幅增幅( ( ) )stu10 ( ( ) )1 zznu利用利用zs平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系1 z2 2離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性( )nh n 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，只要輸入是有界的，輸出必對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，只要輸入是有界的，輸出必定是有界的（定是有界的（BIBO)。(2)(2)穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)(1)定義：定義：判據(jù)判據(jù)1 1：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：?jiǎn)挝粯又淀憫?yīng)絕對(duì)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：?jiǎn)挝粯又淀憫?yīng)絕對(duì)可和?？珊汀Ｅ袚?jù)判

41、據(jù)2 2：對(duì)于對(duì)于因果因果系統(tǒng)，其穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)，其穩(wěn)定的充要條件為： H(z)的全部極點(diǎn)應(yīng)落在單位圓之內(nèi)。即收斂域應(yīng)包括單的全部極點(diǎn)應(yīng)落在單位圓之內(nèi)。即收斂域應(yīng)包括單位圓在內(nèi)位圓在內(nèi): 。 1 , aaz(3)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的比較 ( ( ) ) tthd( ( ) ) nnh連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定的充系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件要條件極點(diǎn)極點(diǎn)H(s)的極點(diǎn)全的極點(diǎn)全部在左半平面部在左半平面H(z)的極點(diǎn)全部的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi)收斂域收斂域含虛軸的右半含虛軸的右半平面平面含單位圓的圓含單位圓的圓外外臨界穩(wěn)定的極臨界穩(wěn)定的極點(diǎn)點(diǎn)沿虛軸沿虛軸單位圓單位圓3系統(tǒng)

42、的因果性系統(tǒng)因果性的判斷方法：系統(tǒng)因果性的判斷方法：z域：域： 收斂域在圓外收斂域在圓外 輸出不超前于輸入輸出不超前于輸入( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )nunhnh ：時(shí)域時(shí)域例8-8-2( ( ) )( () )( () )( ( ) )( () )1224. 012 . 0 nxnxnynyny( ( ) )( () )( () )( ( ) )( () )1224. 012 . 0 nxnxnynyny下面方程所描述的系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)？下面方程所描述的系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)？ 解：解：輸出未超前于輸入，輸出未超前于輸入，所以是因果系統(tǒng)。所以是因果系統(tǒng)。例8-8-3解：解：(

43、( ) )( ( ) )。，判斷因果性，穩(wěn)定性，判斷因果性，穩(wěn)定性系統(tǒng)系統(tǒng)nunh LTI( ( ) ) nnh不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)( ( ) )( ( ) ) 0, 00, 1nnnunh從時(shí)域判斷從時(shí)域判斷因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)( ( ) )1 :ROC 1 zzzzH，從從z域判斷域判斷極點(diǎn)在單位圓上，收斂域不包括單位圓極點(diǎn)在單位圓上，收斂域不包括單位圓不穩(wěn)定（邊不穩(wěn)定（邊界穩(wěn)定）。界穩(wěn)定）。 h(n)為右邊序列，收斂域?yàn)閳A外，為因果系統(tǒng)。為右邊序列，收斂域?yàn)閳A外，為因果系統(tǒng)。 例8-8-4LTILTI系統(tǒng)，系統(tǒng)， ，判斷因果性、穩(wěn)定性。，判斷因果性、穩(wěn)定性。 ( )()()0.5nh nun

44、注意：對(duì)于因果系統(tǒng)，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)穩(wěn)定。注意：對(duì)于因果系統(tǒng)，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)穩(wěn)定。( )()()()1h n231( )()()1120.521122nnnnnzzH zzzzz從時(shí)域判斷：從時(shí)域判斷：( ) nh n 所以不穩(wěn)定不穩(wěn)定從從z域判斷：域判斷：收斂域收斂域 ，極點(diǎn)在處，極點(diǎn)在處 ，12z 12z 是非因果系統(tǒng)，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)也不穩(wěn)定。是非因果系統(tǒng)，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)也不穩(wěn)定。從時(shí)域判斷：從時(shí)域判斷： 不是因果系統(tǒng)不是因果系統(tǒng) ()1,00,0nunn三補(bǔ)充三補(bǔ)充1兩個(gè)加法器情況下，列差分方程兩個(gè)加法器情況下，列差分方程2如何由如何由H(z)列

45、系統(tǒng)的差分方程列系統(tǒng)的差分方程 )()1(4)()()1(3 . 0)(nynwnwnwnwnx )()(4)()()(3 . 0)(11zYzWzzWzWzWzzX3 . 03373403 . 04)()()()()( zzzzzXzWzWzYzH所以所以例8-8-5解：解：分別取分別取z變換變換系統(tǒng)框圖如下，求系統(tǒng)框圖如下，求H(z),h(n)。 1 z( ( ) )nx( ( ) )ny43 . 0 )1()3 . 0(337)()()3 . 0(337)(340)( nunnunnhnn方法：設(shè)中間序列方法：設(shè)中間序列w(n)列差分方程列差分方程( )w n()1w n例8-8-6)(

46、4)()(3 . 0)( 11zXzzXzYzzY 所以所以)1(4)()1(3 . 0)( nxnxnyny。，列出系統(tǒng)的差分方程，列出系統(tǒng)的差分方程已知已知3 . 04)( zzzH解：解： 分子分母同除以分子分母同除以z的最高次冪的最高次冪)()(3 . 0141)(11zXzYzzzH 畫(huà)出系統(tǒng)的框圖為：畫(huà)出系統(tǒng)的框圖為：使用多個(gè)加法器節(jié)省了延時(shí)單元。使用多個(gè)加法器節(jié)省了延時(shí)單元。1 z 1 z3 . 04( ( ) )nx( ( ) )ny 一定義一定義OTT2T3tT ( ( ) )( ( ) )ttxT O123n1 ( ( ) )nx nnnTnTxnTtnTxFttxFTje

47、)()()()()()( ), x nTx nT令DTFT:Discrete-time Fourier transform為研究離散時(shí)間系統(tǒng)的頻為研究離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作準(zhǔn)備，從抽樣信率響應(yīng)作準(zhǔn)備，從抽樣信號(hào)的傅里葉變換引出：號(hào)的傅里葉變換引出： ( ( ) ) ( () )nnTXnxFnxttxFjjee)()()( ()( )jjjee( )enznXX zx n( ( ) )( ( ) ) nnznxzXje ,1,zzz令即單位圓上的 變換 2周期為周期為()jje( )ennXx nsResImjO)j(W W s虛軸虛軸zRezImjO 1 )e(j z單位圓單位圓( ( )

48、 ) ( () )( ( ) )( () ) ( ( ) )( () )XnxXnxXnxnnndee21eIDTFTdeeDTFTjjjjj 二傅氏變換、拉氏變換、二傅氏變換、拉氏變換、z z變換的關(guān)系變換的關(guān)系1.1. 三種變換的比較三種變換的比較2.2.頻率的比較頻率的比較3.3.s平面虛軸上的拉氏變換即為傅氏變換平面虛軸上的拉氏變換即為傅氏變換4.z平面單位圓上的平面單位圓上的z變換即為序列的傅氏變換變換即為序列的傅氏變換（DTFT）1 1四種變換的比較四種變換的比較( ( ) )tx 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)jsj esTjzre變換名變換名稱(chēng)稱(chēng)傅里葉變傅里葉變換換拉普拉拉普拉斯變換斯變換z

49、 z變換變換信號(hào)類(lèi)信號(hào)類(lèi)型型變量變量離散時(shí)間傅離散時(shí)間傅里葉變換里葉變換( () )nTx 離散信號(hào)離散信號(hào)je( ) x n對(duì)于離散序列：( )()esnTsnXsx nT拉氏變換 nnTzsT,e( )( ) nnzX zx nz變換jez ,TnTnW ()( )jjeennXx nDTFT()()ej nTsnXjx nT WW FT變換sjW( )( )() ()Tnx t tx nT tnT2 2頻率的比較頻率的比較模擬角頻率模擬角頻率 ，量綱：弧度，量綱：弧度/ /秒；秒；數(shù)字角頻率數(shù)字角頻率 ，量綱：弧度；，量綱：弧度； 是周期為是周期為 的周期函數(shù)的周期函數(shù)關(guān)系：關(guān)系： Tj

50、e23 3s平面虛軸上的拉氏變換即為傅氏變換平面虛軸上的拉氏變換即為傅氏變換sj, 0 ( () )( ( ) )ssHHjj 4.z平面單位圓上的z變換即為序列的離散時(shí)間傅氏變換（DTFT）zzje, 1 ( () )( ( ) )zzXXjej 例：求例：求 的的DTFTDTFT1|anuanhnWWWWjnnjnnjnaeaeeaH11)()(0a=3/4，a=-3/4時(shí)，時(shí)，hn對(duì)信號(hào)起什么作用？對(duì)信號(hào)起什么作用？( )()( )jjDTFTeednnx nXx nWWWWcos2316911)sin43()cos431 (1| )(|221HWWjeH4311)(1a=-3/4時(shí)時(shí)W

51、WjeH4311)(2WWWWcos2316911)sin43()cos431 (1| )(|222Ha=3/4時(shí)時(shí)02| )(|1WHW02| )(|2WHW93nxn02 ()jX eDTFT11sin(21)/ 2()sin(/ 2)jNX e1N 求如圖所示信號(hào)的求如圖所示信號(hào)的DTFTDTFT。25225552222222(1)()1()()5sin()2sin()2jjjj njnjjjjjjjeeX eeeeeeeeee94tnjTnntnjnetxTcectx00)(1)(0 dtetxXdeXtxtjtj )()()(21)( W W W W Nnnk jkNknk jken

52、xNcecnx00)(1)(21 ()2() j njnnx nXedXx n eWWWWW DFSDTFTCFSCTFTWWkkNkcX)/2(2)(10101NnnkNknkWnxNkXWkXnxDFTnnncX)(2)(095 ntjnnTectx0)( dtetxTcTtjnTn00)(10 dejtxtj)(21)( dtetxjtj )()(nnncX)(2)(0)(1tGTtA02/ 2/ A 202 CTFT02T 0TA 20 nt0T 2/0T2/A)(txCFS)(X0/2TA00t0T 2/0T2/A)(txCTFTCFS、CTFT、DFS、DTFT、DFT的關(guān)系的關(guān)系

53、96nN1N 01W1210 NNc10NcDFSnxNkNNck/2)2/sin(2/) 12sin1WWWnxn02 )(WXDTFT1) 2/sin( 2/) 12sin)(1WWWNX1N nN1N 01WNNc12210DTFTnx)/2()2/sin(2/) 12sin2)(1NkNXkWWWN22NnnNjkkNknNjkkenxNcecnx)/2()/2(1WWkkNkcX)/2(2)(WWWWWnjnnjenxXdeXnx)()(212W0Nc10NckXDFT1, 1 , 0/2)2/sin(2/) 12sin1WWWNkNkNNckXknxn011N 10)(10)(22

54、1NnnjkNknjkNNenxkXekXNnx n=0,1,2, N-1 k=0,1,2, N-18.10 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性離散系統(tǒng)頻響特性的定義離散系統(tǒng)頻響特性的定義頻響特性的幾何確定法頻響特性的幾何確定法一離散系統(tǒng)頻響特性的定義一離散系統(tǒng)頻響特性的定義( ( ) )nx( ( ) )nyzs( ( ) )zH離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的因果( ( ) )nxnO( () )1sinnA 1A( ( ) )nyzsnO( () )2sinnB 2B正弦穩(wěn)態(tài)（正弦序列作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）正弦穩(wěn)態(tài)（正弦序列作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）系統(tǒng)對(duì)不同頻率的輸入，產(chǎn)生不同的加權(quán)，這就是系系統(tǒng)

55、對(duì)不同頻率的輸入，產(chǎn)生不同的加權(quán)，這就是系統(tǒng)的統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)特性。特性。由系統(tǒng)函數(shù)得到頻響特性由系統(tǒng)函數(shù)得到頻響特性()( )()( )jjjjeeeeHH zHz()jeH( )離散時(shí)間系統(tǒng)在單位圓上的離散時(shí)間系統(tǒng)在單位圓上的z變換即為傅氏變換，即系變換即為傅氏變換，即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性: :：幅頻特性：幅頻特性：相頻特性：相頻特性( () )DTFT)(ej的的即即nhH ( () )。為周期函數(shù)，其周期為為周期函數(shù)，其周期為為周期函數(shù)，所以為周期函數(shù)，所以2 e ejjH 例8-10-1已知離散時(shí)間系統(tǒng)已知離散時(shí)間系統(tǒng)的框圖如右圖，求的框圖如右圖，求系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性

56、。系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性。1 z 2121( ( ) )nx( ( ) )ny解：解：( ( ) )( ( ) )( () )15 . 05 . 0 nxnxny( ( ) )( ( ) )( ( ) )zXzzXzY15 . 05 . 0 ( ( ) )( ( ) )( ( ) )15 . 05 . 0 zzXzYzH系統(tǒng)的差分方程系統(tǒng)的差分方程設(shè)系統(tǒng)為零狀態(tài)的，方程兩邊取設(shè)系統(tǒng)為零狀態(tài)的，方程兩邊取z z變換變換系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性( () )( ( ) )( () )2j2j2j2jjeje2cos22eee5 . 0e15 . 0ej zzHH幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性( () )2cosej H( ( ) )2 ( ( ) )( ( ) )( ( ) )15 . 05 . 0 zzXzYzH頻率響應(yīng)特性曲線頻率響應(yīng)特性曲線O22 2( () )j 圖圖 (1) 幅頻特性曲線幅頻特性曲線圖圖 (2) 相頻曲線相頻曲線O22 ( ( ) )Hje1離散系統(tǒng)（數(shù)字濾波器）的分類(lèi)離散系統(tǒng)（數(shù)字濾波器）的分類(lèi)O( ( ) )Hje帶通帶通Oc( ( ) )Hje低通低通O( ( ) )Hje高通高通O(