1、 第三章第三章 控制系統的時域分析控制系統的時域分析 3-1 穩定性和代數穩定判據穩定性和代數穩定判據 3-2 典型輸入和階躍響應性能指標典型輸入和階躍響應性能指標 3-3 一階系統的時域分析一階系統的時域分析 3-4 二階系統的時域分析二階系統的時域分析 3-5 高階系統的時域分析高階系統的時域分析 3-6 穩態誤差分析穩態誤差分析 3-7 基本控制規律的分析基本控制規律的分析 3-8 利用利用matlab進行時域分析進行時域分析研究自動控制系統在典型輸入信號作用下研究自動控制系統在典型輸入信號作用下輸出信號隨時間的變化，稱為自動控制系統的輸出信號隨時間的變化，稱為自動控制系統的時域分析。時

2、域分析。 時域分析是一種直接在時間域中對系統分時域分析是一種直接在時間域中對系統分析的方法，可根據響應表達式和曲線分析系統析的方法，可根據響應表達式和曲線分析系統的穩、快、準等性能，具有準確、直觀等優點。的穩、快、準等性能，具有準確、直觀等優點。第三章 控制系統的時域分析重重 點點1. 二階系統的階躍響應（尤其是欠阻尼）分析二階系統的階躍響應（尤其是欠阻尼）分析及動態性能的改善方法及動態性能的改善方法2. 穩定判據及其應用穩定判據及其應用3. 穩態誤差的計算與減小穩態誤差的計算與減小ess的措施的措施難難 點點第三章 控制系統的時域分析 3 - 1 穩定性和代數穩定判據穩定性和代數穩定判據線性

3、系統穩定的充要條件：線性系統穩定的充要條件：11()( )( )( )( )()miignjjszc ssr ssksp 11111()( )( )()jminp tigjnjjjszc tlslka esp 設系統處于全零平衡狀態，現選單位脈沖信號作設系統處于全零平衡狀態，現選單位脈沖信號作為輸入信號，即為輸入信號，即 ，則系統輸出響應為：，則系統輸出響應為：( )1r s 假設系統特征根無重根，則假設系統特征根無重根，則11lim ( )limlim0jjnnp tp tjjtttjjc ta eae穩定的充要條件穩定的充要條件（續）（續）1( )jnp tjjc ta e即單位脈沖響應為

4、：即單位脈沖響應為：系統穩定系統穩定jp具有負實部具有負實部系統穩定的充要條件為：系統穩定的充要條件為：系統特征方程的根（即閉環極點）都為負實數或系統特征方程的根（即閉環極點）都為負實數或都都具有負的實部。亦即，特征根都嚴格位于具有負的實部。亦即，特征根都嚴格位于s左左半面上。半面上。從系統穩定的充要條件看，要判斷一個系統是否穩從系統穩定的充要條件看，要判斷一個系統是否穩定，需求出系統的全部特征根。且穩定性是系統的定，需求出系統的全部特征根。且穩定性是系統的固有特性，與系統的結構和參數有關，而與初始條固有特性，與系統的結構和參數有關，而與初始條件和外作用無關。件和外作用無關。穩定的充要條件（續

5、）穩定的充要條件（續）22100a sa sa211201.2242aaa asa二階系統：二階系統： 210,aaa當當均大于零時，特征根為負實數或具有負實部，均大于零時，特征根為負實數或具有負實部，系統穩定。系統穩定。010110aa sasa 穩定的充要條件（續）穩定的充要條件（續）一階系統：一階系統：當當大于大于0時，特征根為負，系統是穩定的。時，特征根為負，系統是穩定的。01,a a高階系統的穩定性需借助于穩定性判據。高階系統的穩定性需借助于穩定性判據。即，若果系統特征方程出現即，若果系統特征方程出現缺項缺項或或系數符系數符號互異號互異的情況，系統肯定是不穩定的。的情況，系統肯定是不

6、穩定的。勞斯（勞斯（routh）于）于1877年提出的穩定性判據能夠判定一年提出的穩定性判據能夠判定一個多項式方程是否存在位于復平面右半部的正根，而不個多項式方程是否存在位于復平面右半部的正根，而不必求解方程。但把它應用于判定系統的穩定性時，又稱必求解方程。但把它應用于判定系統的穩定性時，又稱為代數穩定判據。為代數穩定判據。勞斯穩定判據的應用程序如下：勞斯穩定判據的應用程序如下：（1）寫出系統特征方程：）寫出系統特征方程： 。并整理成如。并整理成如下形式：下形式：1( )0kgs111100nnnna sasa sa即，若系統特征方程出現即，若系統特征方程出現缺項缺項或或系數符號互異系數符號互

7、異的的情況，系統肯定是不穩定的。不必再使用穩定判情況，系統肯定是不穩定的。不必再使用穩定判據進行判斷。據進行判斷。（2）特征方程所有系數均存在且大于特征方程所有系數均存在且大于0，這是系統穩定，這是系統穩定的必要條件。的必要條件。（3）若特征方程所有系數均存在且大于）若特征方程所有系數均存在且大于0，則按下面的，則按下面的方式編制勞斯表：方式編制勞斯表：（2）、勞斯判據）、勞斯判據nn-2n-1n-3n-1n-2nn-31n-1n-1nn-3n-2n-1aaaaaa-a ab = -=aaa a= a-ann-4n-1n-5n-1n-4nn-52n-1n-1nn-5n-4n-1aaaaaa-a

8、 ab = -=aaa a= a-a三、勞斯判據的應用三、勞斯判據的應用 例例13232100a sa sa sa解：解： s3s2s1s0a3 a1a2 a0 0a012302a aa aa由勞斯判據得三階系統穩定的條件為：由勞斯判據得三階系統穩定的條件為：12301. 0 (0,1,2,3); 2. 0iaia aa a 例例205432234 ssss0554356110412462101234 sssss解：解： 所以系統不穩，所以系統不穩，且有兩個右根。且有兩個右根。 例例302233234 ssss解：解：3026223274718147373293101234同乘以同乘以 sss

9、ss所以系統不穩，所以系統不穩，且有兩個右根。且有兩個右根。 為簡化計算，可用某個正數去乘或除勞斯表中任意一行，為簡化計算，可用某個正數去乘或除勞斯表中任意一行，不會改變穩定性的結論。不會改變穩定性的結論。1、如果勞斯表第一列中出現、如果勞斯表第一列中出現0，則可用一個小的，則可用一個小的正數正數 代替它，然后繼續計算。代替它，然后繼續計算。這種情況系統肯定是不穩定的，當第一列元素無符這種情況系統肯定是不穩定的，當第一列元素無符號改變，表明系統有一對純虛根；有符號改變時，號改變，表明系統有一對純虛根；有符號改變時，表明系統有表明系統有s右平面的根。右平面的根。勞斯判據兩種特殊情況的處理勞斯判據

10、兩種特殊情況的處理i： 顯然系統不穩，且有兩個右根。顯然系統不穩，且有兩個右根。010121102202101234 sssss0122234 ssss 解：解： 例例4 3-5 線性系統的穩定性分析線性系統的穩定性分析勞斯判據兩種特殊情況的處理勞斯判據兩種特殊情況的處理i：2、勞斯表的某一行各元素均為零，說明特征方程、勞斯表的某一行各元素均為零，說明特征方程 有關于原點對稱的根有關于原點對稱的根.處理方法：利用全零行的上一行構筑處理方法：利用全零行的上一行構筑一輔助多項式一輔助多項式，再用該，再用該輔助多項式的導函數輔助多項式的導函數替代全零替代全零行，行， 繼續計算。繼續計算。 3-5 線

11、性系統的穩定性分析線性系統的穩定性分析勞斯判據兩種特殊情況的處理勞斯判據兩種特殊情況的處理ii：在這種情況下，系統肯定不穩定；而且對稱于原點的在這種情況下，系統肯定不穩定；而且對稱于原點的根可用輔助方程求得。根可用輔助方程求得。sssss5432533220例例。解：解： 3-5 線性系統的穩定性分析線性系統的穩定性分析. 064. 02322263323223411324012345 ssssssssss求導：求導：輔方：輔方：全全0行行4322( )32 (1)(2)0q sssss 由由得關于原點對稱的根為：得關于原點對稱的根為：, 2jj勞斯判據兩種特殊情況的處理勞斯判據兩種特殊情況的

12、處理ii： 1、判斷系統穩定性（前述）、判斷系統穩定性（前述）2、分析系統參數變化對穩定性的影響：、分析系統參數變化對穩定性的影響：利用判據可確定個別參數變化對系數穩定性的利用判據可確定個別參數變化對系數穩定性的影響，影響，以及以及使系統穩定的參數取值范圍使系統穩定的參數取值范圍。 穩定判據的應用：穩定判據的應用： 3-5 線性系統的穩定性分析線性系統的穩定性分析3、確定系統的相對穩定性、確定系統的相對穩定性4、結構不穩定系統及其改進措施、結構不穩定系統及其改進措施試確定使系統穩定的開環放大系數試確定使系統穩定的開環放大系數k的取值范圍及臨界值的取值范圍及臨界值kp 例例6單位反饋系統的開環傳

13、遞函數為：單位反饋系統的開環傳遞函數為：( )(0.11)(0.251)kkg ssss(0.11)(0.251)0sssk由勞斯判據確定某參數的取值范圍由勞斯判據確定某參數的取值范圍 3-5 線性系統的穩定性分析線性系統的穩定性分析解：系統的特征方程為：解：系統的特征方程為：即即321440400sssk014 40 1 400kk 使系統穩定的開環放大系數使系統穩定的開環放大系數k的范圍為：的范圍為：014k臨界放大系數為：臨界放大系數為：14pk由勞斯判據確定某參數的取值范圍由勞斯判據確定某參數的取值范圍 ，確定使系統穩，確定使系統穩 定的臨界值定的臨界值 （k為開環放大系數）為開環放大

14、系數） 例例7單位反饋：單位反饋：gkkg ss ss( )(1)(2) , gppkkggkkkg sks ss2( )(1)(0.51)2解解：32( )320gd sssskigak100），要要求求； 3-5 線性系統的穩定性分析線性系統的穩定性分析系統特征方程：系統特征方程：由勞斯判據確定某參數的取值范圍由勞斯判據確定某參數的取值范圍2) 32106; 06, 6ggggpkkkk 3-5 線性系統的穩定性分析線性系統的穩定性分析系統參數變化對穩定性的影響系統參數變化對穩定性的影響gpkkkk03 32而而，所所以以有有，即即。 1、判斷系統穩定性（前述）、判斷系統穩定性（前述）2、

15、分析系統參數變化對穩定性的影響：、分析系統參數變化對穩定性的影響：利用判據可確定個別參數變化對系數穩定性的利用判據可確定個別參數變化對系數穩定性的影響，影響，從而從而給出使系統穩定的參數取值范圍給出使系統穩定的參數取值范圍。 穩定判據的應用：穩定判據的應用：3、確定系統的相對穩定性、確定系統的相對穩定性4、結構不穩定系統及其改進措施、結構不穩定系統及其改進措施系統的相對穩定性（穩定裕度）：系統的相對穩定性（穩定裕度）：確定系統的相對穩定性確定系統的相對穩定性虛軸是系統的臨界穩定邊界，我們以特征方程虛軸是系統的臨界穩定邊界，我們以特征方程最靠近虛軸的根與虛軸的距離最靠近虛軸的根與虛軸的距離 來表

16、示系統的來表示系統的相對穩定性或穩定裕度。一般相對穩定性或穩定裕度。一般 越大系統的穩越大系統的穩定度越高定度越高 。s z 確定系統穩定裕度的做法：確定系統穩定裕度的做法：以以 代入原特征方程，得到以代入原特征方程，得到以z為變量的方程；為變量的方程；把勞斯判據應用于把勞斯判據應用于z方程；方程；若滿足穩定的充要條件，則系統具有若滿足穩定的充要條件，則系統具有 的穩定裕度。的穩定裕度。解解: 系統特征方程為：系統特征方程為：32(1)14(1)40(1) 400zzzk 將將s=z-1代入特征方程得：代入特征方程得： 確定系統的相對穩定性確定系統的相對穩定性 例例8單位反饋系統的開環傳遞函數

17、為：單位反饋系統的開環傳遞函數為：( )(0.11)(0.251)kkg ssss 若要使系統具有若要使系統具有=1=1以上的穩定裕度，試確以上的穩定裕度，試確定定k的取值范圍。的取值范圍。321440400sssk整理得：整理得：321115(4027)0zzzk確定系統的相對穩定性確定系統的相對穩定性321115(4027)0zzzk4027011 15(4027)0kk0.6754.8kk=0.675時，系統有一特征根時，系統有一特征根-1；k=4.8時，系統有一對特征根時，系統有一對特征根-13.87j；041310223 sss1 設設例例9. ，檢驗之。，檢驗之。解解: 1)先判原

18、系統穩定與否：先判原系統穩定與否：0ia210 132 41220d 所以穩定。所以穩定。041310223sss014223zzz2)將將 s = z-1代入代入 中得到：中得到： 確定系統的相對穩定性確定系統的相對穩定性顯然，系統不具有顯然，系統不具有=1的穩定裕度。的穩定裕度。)10)(4()( sssksggk確定系統的相對穩定性確定系統的相對穩定性答案：答案：(1) 0560(2) 27192kgkg 1、判斷系統穩定性（前述）、判斷系統穩定性（前述）2、分析系統參數變化對穩定性的影響：、分析系統參數變化對穩定性的影響： 穩定判據的應用：穩定判據的應用：3、確定系統的相對穩定性、確定系統的相對穩定性4、結構不穩定系統及其改進措施、結構不穩定系統及其改進措施結構不穩定系統：僅靠調整參數無法穩定的系統。結構不穩定系統：僅靠調整參數無法穩定的系統。改造措施：改造措施：改變積分環節的性質改變積分環節的性質; 引入比例微分環節。引入比例微分環節。結構不穩定系統及其改進措施結構不穩定系統及其改進措施系統的特征方程為：系統的特征方程為：32120mmt ssk k k缺項，不穩定缺項，不穩定一般，單位反饋系統，若其前向通道包含兩個或一般，單位反饋系統，若其前向通道包含兩個或兩個以上的