1、第一大部分理想流體運(yùn)動(dòng)基本方程組第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)第三節(jié)理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式第1頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程 單位時(shí)間內(nèi)ABCD面流入xzyABCDEFGHdxdydzxvzvyvdydzdxvxvxx2第2頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程 單位時(shí)間內(nèi)EFGH面流出xzyABCDEFGHdxdydzxvzvyvdydzdxvxvxx2第3頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程 單位時(shí)間內(nèi)x方向凈質(zhì)量流量dydzdxvxvxx2dxdydzxvx)(xzyABCDEFGHdxdydzxvzvyvdydzd

2、xvxvxx2第4頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程 同理：單位時(shí)間內(nèi)y方向凈質(zhì)量流量dxdydzyvy)(lz方向：dxdydzzvz)(因此，單位時(shí)間流過微元體控制面的總凈通量為:dxdydzvzvyvxdAvzyxnCS第5頁/共56頁微元六面體內(nèi)由于密度隨時(shí)間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為： dxdydztdxdydztdVtCVCVl單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)密度變化引起的質(zhì)量變化量為：dxdydzt 第6頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程 由質(zhì)量守恒：即：控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增長率 通過界面流出控制體的質(zhì)量流量00)()()(zvyvxvtzyx微分形式的連續(xù)方程0dAvdVtCVCSn第

3、7頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程引入哈密頓算子kzjyixzvyvxvvzyx 連續(xù)方程：zvyvxvvzyx)()()()(0)(vt第8頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程用歐拉法分析流體運(yùn)動(dòng)時(shí):zvyvxvtdtdzyx當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)0)(zvyvxvdtdzyx0)(vdtd0)()()(zvyvxvtzyx展開并整理，得：第9頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程 散度：vzvyvxvvzyx)div(0)(divvt0)(divvdtd 微分形式的連續(xù)方程適用于所有流體（粘性、理想），所有流態(tài)（層、紊、亞音速、超音速等）。第10頁/共56頁第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程 對定常流動(dòng)

4、：0)()()(zvyvxvzyx0)(divv0)(vl對不可壓縮流體定常流動(dòng)：0zvyvxvzyx0)(divv0 v第11頁/共56頁l對不可壓縮流體二維定常流動(dòng)：0yvxvyx第12頁/共56頁 0zvyvxvzyx044zvyxzyxzvz44 ),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv第13頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解剛體的運(yùn)動(dòng)速度剛體任意參考點(diǎn)的平移速度繞參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)速度流體任一質(zhì)點(diǎn)速度質(zhì)點(diǎn)上任意參考點(diǎn)的平移速度繞通過該點(diǎn)的瞬時(shí)軸旋轉(zhuǎn)速度變形速度第14頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 流體微團(tuán)

5、的運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)平移轉(zhuǎn)動(dòng)變形運(yùn)動(dòng)第15頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解xzyABCDEFGHdxdydzyvxvzvdzzvdyyvdxxvvxxxx第16頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解dzzvdyyvdxxvvvxxxxFXdzzvdyyvdxxvvvyyyyFYdzzvdyyvdxxvvvzzzzFZ第17頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解dzzvdyyvdxxvvvxxxxFXdzxvdyxvzy2121)(21)(21dzxvzvdyxvyvdxxvvzxyxxx)(21)(21dzxvzvdyxvyvzxyx移動(dòng)線變形運(yùn)動(dòng)角變形運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)第18頁/共56頁第二節(jié)流體

6、微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 移動(dòng)移動(dòng)速度： xv yv zv第19頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 線變形線變形速度：xvxyvyzvz每秒內(nèi)單位長度的伸長（或縮短）量稱為線應(yīng)變速度第20頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 角變形角變形速度的定義為每秒內(nèi)一個(gè)直角的角度變化量。記為：2第21頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 角變形 通過形心互相垂直的兩條中心線直角夾角的減小量（即變化量）為 ，于是得流體微團(tuán)在垂直于z軸的平面上的角變形速度分量dtddtdz2)(21)(21yvxvdtddtdxyz流體微團(tuán)角變形速度之半的三個(gè)分量)(21zvyvyzx)(21xvzvzxy)(21yvxvxyzd

7、d第22頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度的定義為每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉(zhuǎn)角度的平均值。dtxvdydtyvdx第23頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解流體微團(tuán)沿z軸的旋轉(zhuǎn)角速度分量流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的三個(gè)分量第24頁/共56頁第二節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 把以上結(jié)果代入F點(diǎn)的速度公式 由此證明，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：隨流體微團(tuán)中某一點(diǎn)一起前進(jìn)的平移運(yùn)動(dòng)；繞這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；變形運(yùn)動(dòng)（包括線變形和角變形）。第25頁/共56頁第二節(jié)有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零的流動(dòng)稱為有旋流動(dòng)；l流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于

8、零的流動(dòng)稱為無旋流動(dòng)。00即:第26頁/共56頁第二節(jié)有旋運(yùn)動(dòng)與無旋運(yùn)動(dòng) 注意: 有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。 旋轉(zhuǎn)角速度是一個(gè)空間三維矢量第27頁/共56頁舉例：1.三個(gè)液體旋轉(zhuǎn)的例子2.三個(gè)氣體旋轉(zhuǎn)的例子第28頁/共56頁左圖每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的速度方向、大小都知道，如何評(píng)價(jià)該截面旋轉(zhuǎn)流動(dòng)。第29頁/共56頁兩種方法第30頁/共56頁kzjyixzvyvxvvzyx散度divergencev)div(kzvjyvixvv?zyxvvvzyxkjiv旋度rotationv)rot(梯度gradientv)grad(第31頁/共56頁第三節(jié)

9、 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程在x方向：xzyABCDEFGHdxdydz2dxxpp2dxxppxfzfyf第32頁/共56頁第三節(jié) 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程在x方向：amF xpfdtdvxx1ypfdtdvyy1zpfdtdvzz1理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組矢量形式：pfdtvd1第33頁/共56頁第三節(jié) 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 方程式左邊展開：第34頁/共56頁第三節(jié) 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 歐拉方程對于不可壓縮流體和可壓縮流體都是適用的。l當(dāng) 時(shí)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程成為歐拉平衡微分方程。0zyxvvv01pf第35頁/共56頁理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程的另一種形式此方程組稱為蘭姆（HLamb）運(yùn)動(dòng)

10、微分方程特點(diǎn)是把有旋流動(dòng)凸現(xiàn)出來，無旋流動(dòng)就大簡化寫成矢量形式 pvt1fv22v2（8-12a） 第36頁/共56頁如果流體是在有勢的質(zhì)量力作用下，流場是正壓性的，則： xfxyfyzfz此時(shí)存在一壓強(qiáng)函數(shù): pPFd（8-18） 將壓強(qiáng)函數(shù)對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)有: xpxPF 1ypyPF1zpzPF1將上述關(guān)系代入式（8-16），得: 22 22 22222xyyxzFzxxzyFyzzyxFvvtvPvzvvtvPvyvvtvPvx（8-19） 寫成矢量形關(guān)系式 vv222tPvF（8-20） 第37頁/共56頁 正壓流體 如果流體的密度僅與壓強(qiáng)有關(guān)，即=(p) ，則這種流場稱為正壓性的，流

11、體稱為正壓流體。這時(shí)存在著一個(gè)壓強(qiáng)函數(shù)pF(x,y,z,t)(pdppF第38頁/共56頁 常見的正壓流體1）等溫（TT1）流動(dòng)中的可壓縮流體;2）絕熱流動(dòng)中的可壓縮流體;對于不可壓縮流體，ppF第39頁/共56頁定解條件 方程組的封閉問題（能不能有唯一解）連續(xù)方程 1個(gè)運(yùn)動(dòng)方程 3個(gè)4個(gè)未知量,pvvvzyx5個(gè)還需要增添一個(gè)方程，使方程組封閉，才能求解。對于不可壓縮流體，const對于密度僅是壓強(qiáng)的函數(shù)的流體)(p第40頁/共56頁定解條件 方程組的定解條件（結(jié)果符合實(shí)際嗎？）定解條件初始條件邊界條件第41頁/共56頁定解條件一、初始條件 初始條件是指在起始瞬時(shí)t0所給定的流場中每一點(diǎn)的流

12、動(dòng)參數(shù)。 也就是說，求得的解在t0時(shí)所應(yīng)分別滿足的預(yù)先給定的坐標(biāo)函數(shù)。定常流動(dòng)不需要給定初始條件。第42頁/共56頁定解條件二、邊界條件 邊界條件是指任一瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)流體所占空間的邊界上必須滿足的條件。 邊界條件運(yùn)動(dòng)學(xué)條件：邊界上速度動(dòng)力學(xué)條件：邊界上的力（壓強(qiáng)）第43頁/共56頁定解條件 運(yùn)動(dòng)學(xué)條件，例如：固體壁面 流體既不能穿透壁面，也不能脫離壁面而形成空隙，即流體與壁面在法線方向的相對分速度應(yīng)等于零。即：wnnvv 若固壁是靜止的0nv在兩種不同流體交界面上nnvv21第44頁/共56頁定解條件 動(dòng)力學(xué)條件 流體在不同流體交界面或固體壁面上的動(dòng)力學(xué)條件為：外界流體或壁面作用在流體上的壓強(qiáng)Pa

13、mb與位于交界面或壁面上該處流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)P的絕對值必然相等。ppamb第45頁/共56頁Flow InletFlow OutletWallWallWallWall第46頁/共56頁第47頁/共56頁第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式 關(guān)于理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分，目前僅對幾種特殊的流動(dòng)可以進(jìn)行，最常見的有定常無旋流動(dòng)的歐拉積分和定常流動(dòng)的伯努利積分。第48頁/共56頁第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式積分的前提條件：1.流動(dòng)是定常的2.作用在流體上的質(zhì)量力是有勢的3.流體不可壓縮或?yàn)檎龎毫黧w0tvtvtvtzyx第49頁/共56頁第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式 在以上三個(gè)前提條件下,蘭姆

14、運(yùn)動(dòng)微分方程可簡化為:第50頁/共56頁第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式一、歐拉積分在無旋流動(dòng)中0zyx歐拉積分式第51頁/共56頁第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式 對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，流場中任一點(diǎn)的單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強(qiáng)勢能、和動(dòng)能的總和保持不變，而這三種機(jī)械能可以互相轉(zhuǎn)換。第52頁/共56頁第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式二、伯努利積分：對有旋流動(dòng)，沿某條流線求積分第53頁/共56頁第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式代入方程組，相加并積分，得： 由于是定常流動(dòng)，流場中的流線和跡線重合，因此dx、dy、dz就是在dt時(shí)間內(nèi)流體微團(tuán)的位移dsvdt在三個(gè)軸向的分量。dtvdxxdtvdyydtvdzzconst22vpF