1、參考答案一、填空題1. 非本質；本質 2. 自持振蕩 3. 初始條件；輸入信號大小 4. 飽和非線性；死區非線性；間隙非線性；繼電器非線性 5. 不穩定 6. 穩定；不穩定；半穩定 7. 自左向右；自右向左二、分析與計算題1. 求的描述函數。解：由于是單值奇函數，所以其傅里葉級數展開式中A0=0、A1=0、1=0，將代入B1的計算公式，可得所以2設具有滯環繼電器非線性特性的非線性系統結構如題圖8.1所示，已知b=1，a=0.3，試判斷系統是否存在自持振蕩，若存在，則求出自持振蕩的幅值和頻率。題圖8.1解：具有滯環的繼電器非線性特性的描述函數為其描述函數負倒數特性為可見，描述函數負倒數特性的虛部

2、為常數，即曲線為一條虛部為的直線。由于，所以由以上可知，曲線與必有交點，而且交點為穩定的，因此會產生自持振蕩。令，此時有將b=1，a=0.3代入可得=5.02rad/s，A=0.57。 所以，該系統存在自持振蕩，振蕩的幅值為0.57，角頻率為=5.02rad/s。3.設具有死區繼電器非線性特性的非線性系統結構如題圖8.2所示，已知b=3，a=1。試分析系統的穩定性，并求系統不產生自持振蕩時a與b應滿足什么關系。題圖8.2解：具有死區繼電器非線性特性的描述函數為其描述函數的負倒數特性為對上式求導，并令導數等于0，可知當時，有極大值。將b=3，a=1代入，可得當時，有極大值，即在負實軸上的最大值為

3、。由于，所以令G(j)的虛部為0，即ImG(j) = 0，可得rad/s。將代入到G(j)的實部，可得。所以G(j)曲線與負實軸的交點是(，j0)。 由于小于，所以G(j)曲線與曲線必有交點，如題3解圖所示。令 ，可得，解之得A1=4.9896，A2=1.0207。由于A2=1.0207小于，所以系統在A2=1.0207處不穩定，而A1=4.9896大于，所以系統在A1=4.9896處穩定，產生自持振蕩。即系統會產生自持振蕩，振幅為4.9896，頻率為1.414 rad/s。題3解圖要想使系統不產生自持振蕩，只需G(j)曲線與曲線沒有交點即可，即滿足可得當時，系統不會產生自持振蕩。4. 具有理

4、想繼電器非線性特性的非線性系統如題圖8.3所示，已知b=1。(1) 當 =0時，系統受到擾動后會出現什么樣的運動形式？(2) 當0時，如果系統輸出產生一個振幅為4、角頻率為1rad/s的自持振蕩，求系統參數K和的值。題圖8.3解：(1)理想繼電器非線性特性的描述函數為其負倒數特性為將b=1代入可得，即曲線為負實軸。當 =0時，線性部分的開環幅相頻特性為令G(j)的虛部為0，即ImG(j) = =0，可得rad/s。將代入到G(j)的實部，可得。所以G(j)曲線與負實軸的交點是(，j0)，如題4解圖所示。題4解圖 所以G(j)曲線與曲線必有交點，并且交點坐標與A和K值有關，并且，當A增大時，曲線

5、將從不穩定區進入穩定區域，所以交點為穩定點，會產生自持振蕩。因此，系統受到擾動后會產生穩定的自持振蕩。(2) 當0時，線性部分的開環幅相頻特性為由于系統要產生振幅為4、角頻率為1rad/s的自持振蕩，即=1rad/s。所以，K=9.935。又因為所以=0.32。5. 判斷如題圖8.4所示的系統是否穩定，是否存在自持振蕩。 (a) (b) (c) (d)題圖8.4解：(a) G(j)曲線與曲線有交點B，但當A增大時，由G(j)左側進入右側，即從穩定區進入不穩定區，所以交點B不是穩定工作點，不會產生自持振蕩。(b) G(j)曲線與曲線有交點B、C。對于B點，當A增大時，由G(j)左側穩定區進入右側

6、不穩定區，所以交點B不是穩定工作點，不會產生自持振蕩。對于交點C，當A增大時，由G(j)右側不穩定區進入左側穩定區，所以交點C是穩定工作點，會產生自持振蕩。 (c) G(j)曲線與曲線有交點B、C。對于B點，當A增大時，由G(j)右側穩定區進入左側不穩定區，所以交點B不是穩定工作點，不會產生自持振蕩。對于交點C，當A增大時，由G(j)右側不穩定區進入左側穩定區，所以交點C是穩定工作點，會產生自持振蕩。 (d) G(j)曲線與曲線有交點B，但當A增大時，由G(j)的不穩定區進入穩定區，所以交點B是穩定工作點，會產生自持振蕩。6. 將題圖8.5所示的非線性系統化為串聯形式，并求出等效的開環傳遞函數

7、。題圖8.5解：系統結構圖的簡化如題6解圖所示。題6解圖所以。7. 設具有死區繼電器非線性特性的非線性系統結構如題圖8.6所示，已知a=1，b=3。試用描述函數法分析K值與系統產生自持振蕩的關系，并求K=3時自持振蕩的振幅和振蕩頻率。題圖8.6解：具有死區繼電器非線性特性的描述函數為其描述函數的負倒數特性為對上式求導，并令導數等于0，可知當時，有極大值。將b=3，a=1代入，可得當時，有極大值，即在負實軸上的最大值為。由于，所以令G(j)的虛部為0，即ImG(j) = ，可得rad/s。將代入到G(j)的實部，可得。所以G(j)曲線與負實軸的交點是(，j0)，如題7解圖所示。題7解圖 當G(j

8、)曲線與曲線有交點時，即時系統產生自持振蕩，從而可得時產生自持振蕩，解之得，所以當時系統會產生自持振蕩。當K=3時，所以解之得A1=3.6756，A2=1.0392。由于A2=1.0392小于，所以系統在A2=1.0392處不穩定，而A1=3.6756大于，所以系統在A1=3.6756處穩定，產生自持振蕩。即系統會產生自持振蕩，振幅為3.6756，頻率為1.414 rad/s。所以，當K=3時系統的振蕩振幅A=3.6756，振蕩頻率rad/s。8. 設非線性系統結構如題8.7所示，已知a1=a2=a3=1，k1=k2= k3=1，b=1。分析當T=0.5時系統是否存在自持振蕩，如果存在，求出振

9、蕩時的振幅和頻率，并討論參數T的變化對系統自振的影響。題圖8.7解：題中飽和非線性特性和死區非線性特性恰好組成一個K=1的比例環節，所以，在已知條件下，系統結構圖可以簡化，如題8解圖1所示。題8解圖1由此可得系統線性部分的開環幅相頻特性為可見，G(j)曲線是一條拋物線。具有滯環的繼電器非線性特性的描述函數為其描述函數負倒數特性為將a3=b=1代入可得，描述函數負倒數特性的虛部為常數，即曲線為一條虛部為的直線。G(j)曲線與曲線如題8解圖2所示，可見G(j)曲線與曲線相交，在交點處產生自持振蕩。題8解圖2令G(j)=，可得，解之得=3.183。將=3.183代入到G(j)可得，。所以=-0.49

10、3，可得A=1.181。將A折合到輸出端，可得輸出端的振幅為。由于，所以，。可見，T增大時，振蕩頻率增大，同時減小，相應的A減小，即輸出端的振幅減小。9. 設非線性系統結構如題圖8.8所示，其中a=1，b=1，。(1) 當時，分析系統是否存在自持振蕩，如果存在，求出振蕩時的振幅和頻率。(2) 當時，試分析其對系統的影響。 題圖8.8解: 原系統結構圖可以簡化為如題9解圖1的形式。題9解圖1(1) 當G3(s)=1時，將，代入，可得線性部分的傳遞函數為所以 具有死區繼電器非線性特性的描述函數為其描述函數的負倒數特性為對上式求導，并令導數等于0，可知當時，有極大值。將a=1，b=1代入，可得當時，

11、有極大值，即在負實軸上的最大值為。令G(j)的虛部為0，即ImG(j) = ，可得rad/s。將代入到G(j)的實部，可得。所以G(j)曲線與負實軸的交點是(-2，j0)。 由于-2小于，所以G(j)曲線與曲線必有交點。令G(j)=，可得，即，解之得A1=2.29，A2=1.11。由于A2=1.11小于，所以系統在A2=1.11處不穩定，而A1=2.29大于，所以系統在A1=2.29處穩定，產生自持振蕩。即系統會產生自持振蕩，振幅為2.29，頻率為1 rad/s。(2) 當G3(s)=s時，線性部分的傳遞函數為所以顯然，題9解圖2可見，G(j)曲線與曲線沒有交點，如題9解圖2所示，所以系統不存

12、在自持振蕩，并且G(j)曲線不包圍曲線，系統穩定。10. 二階系統的運動方程為，試用等傾線法繪制系統的相軌跡。解：系統的微分方程可以化為令，則可以得到等傾線方程為所以。表明等傾線是過相平面原點的一簇直線。令，即等傾線的斜率用表示。解表8-1列出了取不同值時等傾線的斜率和等傾線與x軸的夾角。解表8-1 題10中不同取值所對應的等傾線的斜率和等傾線與x軸的夾角-3.75-2.19-1.58-1.18-0.82-0.420.191.750.360.841.735.67-5.67-1.73-0.84-0.36020°40°60°80°100°120&#

13、176;140°160°180°可得系統的等傾線如題10解圖所示。 題10解圖11. 求系統運動方程的全部平衡點及其相軌跡。解：先求平衡點，令，可得。所以系統的平衡點為。令所以原方程等效為在奇點xe，0的鄰域內，可將相軌跡方程線性化為其特征方程的解為，所以奇點xe，0為中心點。在奇點xe，0的鄰域內，可將相軌跡方程線性化為其特征方程的解為，所以奇點xe，0為鞍點。 所以，平衡點分布及其附近的相軌跡如題11解圖所示。題11解圖12. 試用相平面法分析二階系統的穩定性。解：由于，所以。則系統的等傾線方程為。令，可以求得系統的兩個奇點：(0,0)和(-4,0)。令，則有

14、在奇點(0,0)的鄰域內，可將相軌跡方程線性化為，其特征方程其特征方程的解為，所以奇點(0,0)為穩定焦點。在奇點(-4,0)的鄰域內，可將相軌跡方程線性化為，其特征方程其特征方程的解為，所以奇點(-4,0)為鞍點。繪制系統的相平面圖如題12解圖所示。從圖中可知，進入鞍點的兩條相軌跡起了分割線的作用，它們相平面分成兩個不同的區域，在其內部是穩定區域，初始條件在此區域內的相軌跡均收斂于原點；在其外部為不穩定區域，初始條件在此區域內的相軌跡會趨于無窮遠。題12解圖13. 設具有死區繼電器非線性特性的非線性系統結構如題圖8.9所示，假設系統開始時處于靜止狀態，求系統在階躍輸入信號時的相軌跡。題圖8.

15、9解：線性環節的微分方程為選取e和作為相變量，由于，所以當階躍輸入信號作用于系統時，由于，所以死區繼電器非線性的特性可以表示為 將y(t)代入可得 直線e=a和e=-a將相平面分成()、(e>a)、(e<-a)三個區域。在區，因為，所以令，則，即，相軌跡是斜率為的直線或者是的直線。由于，所以上的點都是奇點，都可以成為系統最終的平衡位置。在區，因為，所以令，則等傾線方程為區內相軌跡的等傾線是一簇平行于e軸的直線，當2=0，有，這是區內相軌跡的漸近線。并且在區內沒有奇點。在區，因為，所以令，則等傾線方程為區內相軌跡的等傾線是一簇平行于e軸的直線，當3=0，有，這是區內相軌跡的漸近線。并

16、且在區內沒有奇點。 根據以上分析，得到的相平面圖如題13解圖所示。題13解圖14. 設具有死區非線性特性的非線性系統結構如題圖8.10所示，假設系統開始時處于靜止狀態，已知，k=1。試畫出系統關于誤差e(t)的相平面圖。題圖8.10解：線性環節的微分方程為選取e和作為相變量，由于，所以當階躍輸入信號作用于系統時，由于，所以死區非線性的特性可以表示為 將y(t)代入可得 直線e=a和e=-a將相平面分成()、(e>a)、(e<-a)三個區域。在區，因為，所以令，則，即，相軌跡是斜率為的直線或者是的直線。由于，所以上的點都是奇點，都可以成為系統最終的平衡位置。在區，因為，所以令，相軌跡斜率為，令，可得解之得，即區奇點位置為(a，0)，由于該奇點位于區和區的分界線上，是個虛奇點。此時微分方程可以看成是關于奇點的線性方程，令x=e-a，可得由于T、K大