1、隨機服務系統理論 1;.2l排隊系統描述l基本概念基本概念 lM / M / 1 模型模型lM / M / S 模型3l顧客要求服務的對象統稱為“顧客”l服務臺把提供服務的人或機構稱為“服務臺”或“服務員” 4 5678910l 面對擁擠現象，人們通常的做法是增加服務設施，但是增加的數量越多，人力、物力的支出就越大，甚至會出現空閑浪費，如果服務設施太少，顧客排隊等待的時間就會很長，這樣對顧客會帶來不良影響。如何做到既保證一定的服務質量指標，又使如何做到既保證一定的服務質量指標，又使服務設施費用經濟合理服務設施費用經濟合理，恰當地解決顧客排隊時間與服務設施費用大小這對矛盾，就是隨機服務系統理論排

2、隊論所要研究解決的問題。11 一、排隊系統的描述 二、排隊系統的主要數量指標12l (一)系統特征和基本排隊過程l (二)排隊系統的基本組成部分l（三)排隊系統的描述符號13l相似的特征及數學抽象相似的特征及數學抽象： (1)請求服務的人或者物顧客； (2)有為顧客服務的人或者物，即服務員或服務臺； (3)顧客到達系統的時刻是隨機的，為每一位顧客提供服務的時間是隨機的，因而整個排隊系統的狀態也是隨機的。14l基本排隊過程基本排隊過程 可以用圖66表示。從圖66可知，每個顧客由顧客源按一定方式到達服務系統，首先加入隊列排隊等待接受服務，然后服務臺按一定規則從隊列中選擇顧客進行服務，獲得服務的顧客

3、立即離開。15 排隊系統由排隊系統由3 3個部分組成個部分組成 1、輸入過程 2、服務規則 3、服務臺16 這是指要求服務的顧客是按怎樣的規律到達排隊系統的過程，有時也把它稱為顧客流。一般這是指要求服務的顧客是按怎樣的規律到達排隊系統的過程，有時也把它稱為顧客流。一般可以從可以從3 3個方面來描述個方面來描述個輸入過程。個輸入過程。 (1)(1)顧客總體數，又稱顧客源、輸入源。這是指顧客的來源。顧客源可以是有限的，也可以是無顧客總體數，又稱顧客源、輸入源。這是指顧客的來源。顧客源可以是有限的，也可以是無限的。限的。 (2)(2)顧客到達方式。這是描述顧客是怎樣來到系統的，是單個到達，還是成批到

4、達。顧客到達方式。這是描述顧客是怎樣來到系統的，是單個到達，還是成批到達。 (3)(3)顧客流的概率分布，或稱相繼顧客到達的時間間隔的分布。這是求解排隊系統有關運行指標顧客流的概率分布，或稱相繼顧客到達的時間間隔的分布。這是求解排隊系統有關運行指標問題時，首先需要確定的指標。顧客流的概率分布一般有定長分布、二項分布、泊松流問題時，首先需要確定的指標。顧客流的概率分布一般有定長分布、二項分布、泊松流( (最簡最簡單流單流) )、愛爾朗分布等若干種。、愛爾朗分布等若干種。17 這是指服務臺從隊列中選取顧客進行服務的順序。一般可以分為損失制、等待制和混合制等3大類。 (1)(1)損失制損失制。這是指

5、如果顧客到達排隊系統時，所有服務臺都被先到的顧客占用，那么他們就自動離開系統永不再來。18 (2)(2)等待制等待制 這是指當顧客來到系統時，所有服務臺都不空，顧客加入排隊行列等待服務。等待制中，服務臺在選擇顧客進行服務時常有如下四種規則： 1)先到先服務。按顧客到達的先后順序對顧客進行服務。 2)后到先服務。 3)隨機服務。即當服務臺空閑時，不按照排隊序列而隨意指定某個顧客接受服務。 4)優先權服務。 19 (3)(3)混合制混合制 這是等待制與損失制相結合的一種服務規則，一般是指允許排隊，但又不允許隊列無限長下去。具體說來，大致有三種： 1)隊長有限。當排隊等待服務的顧客人數超過規定數量時

6、，后來的顧客就自動離去，另求服務，即系統的等待空間是有限的。 2)等待時間有限。即顧客在系統中的等待時間不超過某一給定的長度T，當等待時間超過T時，顧客將自動離去，并不再回來。 3)逗留時間(等待時間與服務時間之和)有限。 20l (1)(1)服務臺數量及構成形式服務臺數量及構成形式。從數量上說，服務臺有單服務臺和多服務臺之分。從構成形式上看，服務臺有：單隊單服務臺式；單隊-多服務臺并聯式;多隊多服務臺并聯式；單隊多服務臺串聯式；單隊多服務臺并串聯混合式，以及多隊多服務臺并串聯混合式等等。l (2)(2)服務方式服務方式。這是指在某一時刻接受服務的顧客數，它有單個服務和成批服務兩種。l (3)

7、(3)服務時間的分布服務時間的分布。在多數情況下，對每一個顧客的服務時間是一隨機變量。21描述符號描述符號：/ 各符號的意義各符號的意義： 表示顧客相繼到達間隔時間分布，常用下列符號： M表示到達的過程為泊松過程或負指數分布； D表示定長輸入； EK表示K階愛爾朗分布； G表示一般相互獨立的隨機分布。 22表示服務時間分布，所用符號與表示顧客到達間隔時間分布相同。表示服務臺(員)個數：“1”表示單個服務臺，“s”(s1)表示多個服務臺。 表示系統中顧客容量限額，或稱等待空間容量。如系統有K個等待位子，則，0K1)個服務臺；系統等待空間容量無限(等待制)；顧客源無限，采用先到先服務規則。 某些情

8、況下，排隊問題僅用上述表達形式中的前3個符號。例如，某排隊問題為MMS， 如不特別說明則均理解為系統等待空間容量無限；顧客源無限，先到先服務，單個服務的等待制系統。25 描述一個排隊系統運行狀況的主要數量指標有： 1 1隊長和排隊長隊長和排隊長(隊列長) 隊長是指系統中的顧客數(排隊等待的顧客數與正在接受服務的顧客數之和)；排隊長是指系統中正在排隊等待服務的顧客數。隊長和排隊長一般都是隨機變量。26 2 2等待時間和逗留時間等待時間和逗留時間 從顧客到達時刻起到他開始接受服務止這段時間稱為等待時間。等待時間是個隨機變量。從顧客到達時刻起到他接受服務完成止這段時間稱為逗留時間，也是隨機變量。 3

9、.3. 忙期和閑期忙期和閑期 忙期是指從顧客到達空閑著的服務機構起，到服務機構再次成為空閑止的這段時間，即服務機構連續忙的時間。這是個隨機變量，是服務員最為關心的指標，因為它關系到服務員的服務強度。與忙期相對的是閑期,即服務機構連續保持空閑的時間。在排隊系統中，忙期和閑期總是交替出現的。27 4 4數量指標的常用記號數量指標的常用記號 (1)(1)主要數量指標主要數量指標L平均隊長，即穩態系統任一時刻的所有顧客數 的期望值；Lq平均等待隊長，即穩態系統任一時刻等待服務的顧客數的期望值；W平均逗留時間，即(在任意時刻)進入穩態系統的顧客逗留時間的期望值；Wq平均等待時間，即(在任意時刻)進入穩態

10、系統的顧客等待時間的期望值。28 (2)(2)其他常用數量指標其他常用數量指標 s系統中并聯服務臺的數目； 平均到達率；1平均到達間隔； 平均服務率；1/平均服務時間；N穩態系統任一時刻的狀態（即系統中所有顧客數）；U任一顧客在穩態系統中的逗留時間；Q任一顧客在穩態系統中的等待時間；29 全部空閑的概率；即穩態系統所有服務臺），時（系統中顧客數為特別當的概率；為穩態系統任一時刻狀態000nn:PnNPPn30服務強度，即每個服務臺單位時間內的平均服務時間，般有=(s)，這是衡量排隊系統繁忙程度的重要尺度，當趨近于0時，表明對期望服務的數量來說，服務能力相對地說是很大的。這時，等待時間一定很短，

11、服務臺有大量的空閑時間；如服務強度趨近于1，那么服務臺空閑時間較少而顧客等待時間較多。我們一般都假定平均服務率大于平均到達率，即/1,否則排隊的人數會越來越多，以后總是保持這個假設而不再聲明。31l 在系統達到穩態時，假定平均到達率為常數，平均服務時間為常數1/，則有下面的李特爾公式：l L= W l Lq= Wq l W= Wq +1/l L= Lq +/32 排隊系統運行情況的分析，就是在給定輸人與服務條件下，通過求解系統狀態為n(有n個顧客)的概率Pn，再進行計算其主要的運行指標： 系統中顧客數(隊長)的期望值L； 排隊等待的顧客數(排隊長)的期望值Lq； 顧客在系統中全部時間(逗留時間

12、)的期望值W； 顧客排隊等待時間的期望值Wq。33模型的條件是：1、輸入過程顧客源是無限的，顧客到達完全是隨機的，單個到來，到達過程服從普阿松分布，且是平穩的；2、排隊規則單隊，且隊長沒有限制，先到先服務；3、服務機構單服務臺，服務時間的長短是隨機的，服從相同的指數分布 。 10P)1 (nnP1LLLq1)(221WWWq)(1)(kkNP34 某醫院急診室同時只能診治一個病人，診治時間服從指數分布，每個病人平均需要某醫院急診室同時只能診治一個病人，診治時間服從指數分布，每個病人平均需要1515分鐘。分鐘。病人按泊松分布到達，平均每小時到達病人按泊松分布到達，平均每小時到達3 3人。試對此排

13、隊隊系統進行分析。人。試對此排隊隊系統進行分析。解解 對此排隊隊系統分析如下：對此排隊隊系統分析如下：（1 1）先確定參數值：這是單服務臺系統，有：先確定參數值：這是單服務臺系統，有： 故服務強度為：故服務強度為：hhh/4/1560,/3人人人75. 0433575. 010P25. 075. 0110P36人人3343L人人25. 275. 03LLqmin6013411hhWmin4575. 075. 01hhWWq37211Wmin12511h389 . 0) 1(1) 1(xNPxNP1 . 0) 1( xNP1 . 021)1(xx39401 . 021)1(xx875. 0lg1

14、lg1 . 0lg2x41l此模型與M/M/1模型不同之處在于有S個服務臺，各服務臺的工作相互獨立，服務率相等，如果顧客到達時，S個服務臺都忙著，則排成一隊等待，先到先服務的單隊模型。l整個系統的平均服務率為s，*/s，（*0Q0）0.750.750 02020L Lq q2.252.25人人0 01212人人L L3 3人人0 08787人人W W60min60min17174min4minW Wq q45min45min2 24min4min46.3,qq0NPWWLLP，1430.93，SS 0748. 03/2.251132.2522.2512.2502.251

15、132100！整個掛號間空閑的概率P47 人稱隊列長等待掛號的平均人數或7 . 10748. 0!34/32.2523qL 人稱隊長掛號間平均逗留人數或95. 325. 27 . 13qLL 分鐘在掛號間平均逗留時間分鐘等候掛號的平均時間4.390.411.89589.19 .07 .14WWq48 57. 00748. 04/132.253363！閑）的概率人或各掛號員都沒有空者不少于（即系統中就診就診者到達后必須等待NP495051 表表6 62 2 兩個模型的比較兩個模型的比較指標指標（1 1）M/M/3M/M/3型型（2 2）M/M/1M/M/1型型掛號間空閑掛號間空閑的概率的概率0.

16、07480.07480.250.25（各子系統）（各子系統）就診者必須等待的概率就診者必須等待的概率P(N3)= 0.57P(N3)= 0.570.750.75平均隊列長平均隊列長1.71.7（人）（人）2.252.25（人）（人）（各子系統）（各子系統）平均隊長平均隊長3.953.95（人）（人）9 9（人）（人）（整個系統）（整個系統）平均逗留時間平均逗留時間4.394.39（分鐘）（分鐘）1010（分鐘）（分鐘）平均等待時間平均等待時間1.891.89（分鐘）（分鐘）7.57.5（分鐘）（分鐘）521思考題（1）排隊論主要研究的問題是什么？（2）試述排隊系統的基本組成部分。（3）理解平均到達率、平均服務率、平均服務時間和顧客到達間隔時間等概念。（4）試述隊長和排隊長、等待時間和逗留時間、忙期和閑期等概念。532設有一個醫院門診，只有一個值班醫生。病人的到達過程為泊松流，平均到達時間間隔為20min，診斷時間服從負指數分布，平均需12mi