1、學習必備歡迎下載三角函數化簡求值專題復習高考要求1、理解任意角的概念、弧度的意義、正確進行弧度與角度的換算；掌握任意角三角函數的定義、會利用單位圓中的三角函數線表示正弦、余弦、正切。2、 掌握三角函數公式的運用（即同角三角函數基本關系、誘導公式、和差及倍角公式）3、 能正確運用三角公式進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明。熱點分析1.近幾年高考對三角變換的考查要求有所降低，而對本章的內容的考查有逐步加強的趨勢，主要表現在對三角函數的圖象與性質的考查上有所加強.2.對本章內容一般以選擇、填空題形式進行考查，且難度不大，從1993 年至 20XX 年考查的內容看，大致可分為四類問題（ 1）與

2、三角函數單調性有關的問題； （ 2）與三角函數圖象有關的問題； （3）應用同角變換和誘導公式，求三角函數值及化簡和等式證明的問題； （ 4）與周期有關的問題3.基本的解題規律為：觀察差異 （或角， 或函數， 或運算），尋找聯系 （借助于熟知的公式、方法或技巧） ，分析綜合 （由因導果或執果索因） ，實現轉化 .解題規律：在三角函數求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉化為由一個三角函數表達的形式求解 .【例 1】求值： 2sin 20cos10tan 20 sin 10 .csc40 cot 80解： 原

3、式的分子cos10cos20sin 20 sin102 sin 20cos202sin 20cos10sin 40cos10cos 20cos 20sin 40sin 802 sin 60cos 203，cos20cos 20原式的分母1cos 802cos 40cos80sin 40sin 80sin 80cos 40cos 40cos80cos 402cos 60cos20sin 80sin 80cos 40cos 202 cos30cos103 ，sin 80cos10所以，原式【變式】 1、求值 2 cos40cos10 1tan60 tan101cos102 cos 40 21 co

4、s103 sin 10解：原式2 cos 40cos103 sin 10222 cos52 cos52 cos 402cos 60102 cos 40 cos 50·2 2 cos 45 cos 52 cos 52 cos 522 cos5【變式】 2、求 (310 )10 。sin2140022sin 10cos 140分析： 原式 = 3 cos2 140 0sin 2 140 01sin 2 140 0 cos2 140 02 sin 10 0學習必備歡迎下載( 3 cos1400sin 1400 )( 3 cos1400sin140 0 )1( sin 400 cos400

5、) 22 sin 1004 sin 800sin 200018sin 200016 sin 200016128002sin10 0sin 800 cos80 0sin1600sin4【例 2】（三兄弟） 已知 cossin32 ，且3，求sin 22sin21tan的值52解：原式 = sin 2cos2sin 2cos= sin 2cossinsincossincos cos sin 32 ，上式兩邊平方，得：181 sin 2525 sin 27 ；又3252 cos0，sin0，cossin0 cossin2cossin24 sincoscossin22 sin 23225742 cos

6、sin42 ，原式25528327555【變式】（ 05 天津）已知sin(72,cos 27，求 sin及 tan() )102543【解析】：由題設條件，應用兩角差的正弦公式得7 2sin()2 (sincos) ，即 sincos710425由題設條件，應用二倍角余弦公式得7cos2cos2sin 2(cossin)(cossin)7 (cossin )2515故 cossin5由和式得 sin34， cos535因此， tan，由兩角和的正切公式4tan333433482534tan()313 tan334331114【例 3】（最值輔助角）已知函數f(x)=2 asin2x23 as

7、inxcosx+a+b 1，（ a、 b 為常數， a<0 ），它的定義域為 0, ，值2域為 3,1 ，試求 a、b 的值。解： f(x)=2 asin2x 23asinxcosx+a+b1學習必備歡迎下載=a(1 cos2x)3 asin2x+a+b 1= 2asin (2x2ab1)6 0 x2x+71 sin( 2x62) 12666 a<0 a 2asin ( 2x) 2a6 3a+b 1 2asin (2x6) +2 a+b 1 b 1值域為 3,1 b11 a4b333a1b2【變式】已知00< < <900，且 sin ，sin 是方程 x 2(

8、2 cos 40 0 ) xcos 2 4001 =0 的兩個實數根，求 sin( -52 ) 的值。解：由韋達定理得sin +sin =2 cos40 0， sin sin =cos2400- 12 sin -sin =(sinsin) 2(sinsin) 24 sinsin2(1cos 2 400 )2 sin 400又 sin +sin =2 cos40 0sin12 cos4002 sin 40 0 )sin 85 0(21sin(2 cos4002 sin 400 )sin 5 02 0 0< << 90 0850 sin( -5 )=sin600=3502【例 4

9、】（最值二次型）已知6，3sin 22 sin 22 sin，試求 sin 21sin 2的最值。42解： -1sin2 ， 0sin 21 02 sin 2164222 2 sin23sin 22 sin 03sin22 sin1即 3sin 3sin222sin1或 sin02 sin032 sin1 01sin131sin 0或 2sin 133y= sin 21 sin 21 (3 sin 22sin)1 sin 2(sin1 ) 2122224當 sin 2 ， 1時函數 y 遞增，當 sina= 2 時 ymin=2 ；339當 sin (1 ， 0)時，函數 y 遞減，當sin

10、=0 時， ymin=132 故當 sin2 時，(sin 21 sin 2) min2 , (sin 21 sin 2) 無最大值3292學習必備歡迎下載【變式】 設關于 x 的函數 y=2cos2x 2acosx(2a+1)的最小值為 f(a)，試確定滿足f(a)= 1 的 a 值，并對此時的a 值求 y2的最大值 .解：由 y=2(cosx a )2 a 24a 2 及 cosx 1， 1得：221(a2)f(a)a 22a1(2 a2)214a(a2) f(a)= 1, 1 4a=1a=1 2,+ )228故a21，解得： a= 1，此時，2a1=22y=2(cosx+1)2+1 ，當

11、 cosx=1 時，即 x=2k ， kZ ，ymax=5.22【例 5】（角的變換） 已知 3,cos( )= 12,sin( + )= 3 ,求 sin2 的值 _.24135解：332 , 0 . + ,444 sin( )=1cos 2 ( )5 ,cos( )1 sin 2 ( )4 .135 sin2=sin ( )+( + )=sin( )cos( + )+cos( )sin( + )5(4 )12( 3 )56 .13513565【變式】（ 1）已知 8cos(2 + )+5cos =0，求 tan( + ) · tan 的值；（ 2）已知 2 sincos5 ，求

12、3cos24 sin2 的值。sin3 cos解：（ 1）從變換角的差異著手。 2 + =( + )+ ， =( + )- 8cos( + )+ +5cos( + )- =0展開得： 13cos( + )cos -3sin(+ )sin =0同除以 cos( + )cos 得： tan( + )tan = 133（1）以三角函數結構特點出發 2 sincos2 tan1 2 tan15 tan =2sin3 costan3tan3 3 cos 24 sin 23(cos2sin 2) 8 sincos3 3 tan 28 tan7sin 2cos21 tan 25【例 6 】已知奇函數 f(x

13、)的定義域為實數集,且 f(x)在 0,) 上是增函數，當 0時，是否存在這樣的實數m，2使 f (4 m2m cos) f (2sin 22)f (0) 對所有的0, 均成立？若存在，求出所有適合條件的實數m；2若不存在，說明理由。解：f ( x) 為奇函數，f ( x)f ( x)(xR)f (0)0學習必備歡迎下載f (4m 2mcos ) f (2sin22)0f (4m2mcos )f (2sin22)又f (x) 在 0,上是增函數，且f (x) 是奇函數f (x) 是 R 上的增函數，4m2mcos2sin220,，令 lcos (l 0,1 )cos2mcos2m 20c os

14、0, 12滿足條件的 m 應該使不等式 l 2mt2m20對任意 m0,1均成立。設 g(t)l2 mt2m 2(lm)22m2，由條件得2mm10 或022或g(0)0g(m)02m 1解得，4 2 2m 2或 m 22g(1)0即 m存在，取值范圍是(4 22,)【變式】已知函數f ( x)4 x33x2 cos1, 其中 xR,為參數，且0.322（ 1）當 cos0 時，判斷函數f (x) 是否有極值；（ 2）要使函數 f( x) 的極小值大于零，求參數的取值范圍；（ 3）若對（ 2）中所求的取值范圍內的任意參數，函數 f (x) 在區間 (2 a1,a) 內都是增函數，求實數a 的取

15、值范圍。解：（ 1）當 cos0時 f ( x)4x31 , 則 f ( x) 在 ( ,) 內是增函數，故無極值。32（ 2 ） f '( x)12x26x cos, 令 f '(x)0, 得x10, x2cos.2由 0及（ I），只需考慮 cos0 的情況。2當 x 變化時， f '( x) 的符號及 f ( x) 的變化情況如下表：x(,0)0cos)cos(cos(0,2, )22f '( x)00f ( x)遞增極大值遞減極小值遞增因此，函數f (x) 在 xcos處取得極小值 f (cos), 且 f ( cos )1 cos31 .222432要

16、使 f ( cos) 0,必有1 cos310,可得 0cos1,所以3224322（ 3 ）由（ 2 ）知，函數f (x) 在區間 (,0) 與 ( cos,) 內都是增函數。2學習必備歡迎下載由題設，函數f (x) 在 (2 a1,a)內是增函數，則a 須滿足不等式組2a1a2a1a或1a02a1cos2由（ II ），參數(,) 時，0cos1 .要使不等式 2a 11 cos 關于參數恒成立， 必有 2a 11 .32224綜上，解得 a0或 5a1. 所以 a的取值范圍是 (,0 5 ,1).88練習：一、選擇題1.已知方程2 的值是()x +4ax+3a+1=0(a 1)的兩根均

17、tan、 tan ，且 ， (,) ，則 tan222A.1B.2C.4D.1或2232二、填空題2.已知 sin3(,) ， tan(1，則 tan(2 )_.，2)523.設 (,3)， (0，)， cos( )=3 ， sin( 3+)=5 ，則 sin( +)=_.44445413三、解答題4.不查表求值 : 2sin130sin100 (13 tan370 ) .1cos105.已知 cos(317 x7)，求sin2 x2sin2 x的值 .4+x)=， (1241tan x56.已知=8 ，且 k (k Z ).求1cos( )2 34 sin() 的最大值及最大值時的條件 .4

18、4cscsin227、已知 cos +sin= 3 ，sin +cos的取值范圍是D ，x D，求函數 y= log 12x3 的最小值，并求取得最小24x10值時 x的值 .參考答案一、 1.解析： a 1， tan +tan = 4a 0.tan +tan =3a+1 0, 又 、 ( ,) 、 ( , ), 則 ( ,0), 又 tan( +22222tantan4a42tan42 )=tan1(3a1),又 tan(),1 tan3123tan2 整理得 2tan223tan22 =0. 解得 tan答案： B2=2.342.解析： sin =, (, ), cos =552學習必備歡

19、迎下載3112 t a n2(1)4則 tan=可得 tan =t a n22,又 tan( )=,212.4221 t a n1(3)2tan23(4 )77tan(2)tan43tantan23424答案：11 (24)()43 333.解析： (,), (0,), 又 cos(4)= .44425sin()4 ,(0,).3(3,).sin( 3)5 ,cos(3)12 .45444413413sin()sin()( 3)2cos()( 3)4444cos()3)sin()sin(3)312)4556.cos(445(513654413即 sin()5665三、 4.答案： 25.解 :3sin 2xx)7cos(x),cos2(.4