1、kTZNU023 vevlvCCCRkZNTUCVve23230 RRRCCCvevlv5 . 4233實驗表明：室溫下，金屬的比熱接近3R，全 部由晶格貢獻。 經典自由電子論無法解釋電子對晶體比經典自由電子論無法解釋電子對晶體比熱幾乎沒有貢獻。熱幾乎沒有貢獻。薛定諤方程薛定諤方程 rErm222xyz0E由周期性邊界條件和歸一化條件通解通解22222312238, ,sin22sinsinxyznnnx y zxykEzLakkkmmaa電子能量和波函數電子能量和波函數 zyxzyx321,能量依賴于一組（能量依賴于一組（ kx、ky、kz），），在在K空間中為等能面方程。空間中為等能面方程

2、。kykx22mEk kzkxkykzK空間中 k 的密度dK 32V( )EEgd狀態數自由電子的等能面為球面自由電子的等能面為球面/E1( )1FfDE EkTFe一個能量為一個能量為E的狀態被電子占據的幾率的狀態被電子占據的幾率一個能量為一個能量為E狀態上的平均電子數狀態上的平均電子數 。費米能級以上能級全空級以下的能級，時所有粒子排滿費米能0010111/TFFTeFFDfFDfkTFDfFFD11、費米分布的性質電子狀態密度為311222222()2Vmg EEcEK空間中，半徑為 k 等能面內狀態數：3123233242( )322VVmg E dEdkE dEmkE222 322

3、222Vmc120212fFDfffTEEFEEEE（ ）隨著溫度升高，有部分粒子獲得能量從以下能態躍遷到以上能態。但無論溫度多高，在能態被粒子占據的幾率始終為。fFFD11/2T 0T=02、費米能級 031220000101 210213ffFDfTTTEdNFg E dENcEdEc E特殊能級，當時費米能級處粒子占有率 ，時費米能級上粒子占有率為。費米能級標志著電子填充的水平。（）時電子氣體：32232322022232334222232fNNEcVmNmV考慮電子自旋，狀態數乘 322232nm 絕對零度時的費米能級是系統固有屬性，只與粒子密度與質量有關，與外界條件無關。312223

4、222022322220320002113831281,8FDfffffffffcnNc EFdEEkTEEkNEkTcEkTEETEE 費米能級與溫度有關，但是一般條件下所以近似為取認 1200022112121242011212121111232469FDFDpFDnnppffnnnfxxxTNFE dEc FEdEFddkTnpd時，積分公式為黎曼函數3、費米面費米面k空間中，能量為EF，即半徑為等能面稱為費米面，kF 就是費米半徑。22FFmEK T = 0 時，費米面內，都被電子 填滿。T 0 時，有部分電子從費米面 內kT范圍激發到費米面 外kT范圍內。EFkxkzkykT例：試用

5、自由電子模型證明，例：試用自由電子模型證明，T=0時時 K空間費米球的空間費米球的半徑為半徑為 , n為電子的密度。為電子的密度。3123nkF0312200( )213FFDEFdNFg E dENcEdEc E總電子數解：當T=0)22(2322 mVc 其其中中3222322232224232323320 VNmmVNcNEF 322232nm 3123222220332220nnmmmEkFF 322222Vmc考慮自旋乘考慮自旋乘24.3 索末菲自由電子氣模型索末菲自由電子氣模型5021200025FEFcEEE cE dE FDEdNEEdFg E dET = 0結論：在絕對零度下

6、，電子仍具有相當大的平均能量。結論：在絕對零度下，電子仍具有相當大的平均能量。電電子滿足泡利不相容原理，電子不可能都填充在最低能量狀子滿足泡利不相容原理，電子不可能都填充在最低能量狀態。態。1.電子的能量索末菲自由電子氣模型索末菲自由電子氣模型:金屬中的正離子形成的電場是均勻的，價電子不被金屬中的正離子形成的電場是均勻的，價電子不被原子所束縛，可以在整個金屬中自由地運動。自由電子的能量必須符合量原子所束縛，可以在整個金屬中自由地運動。自由電子的能量必須符合量子化的不連續性。子化的不連續性。1/2/011FE EkTEEEcdEe總T 0 9462221121142112212210npfnfn

7、nnpfFDpddnkTpdF積分公式積分公式2200351512ffkTENEE總應用積分公式,電子總能量：vevlvCCC1、晶格原子振動對比熱的貢獻、晶格原子振動對比熱的貢獻Cvl 高溫高溫（室溫） Cvl = 3 R 杜隆 柏替定律低溫低溫 德拜 T3 定律3bTCvl2、電子對熱容的貢獻、電子對熱容的貢獻220()2veVFEkCNTTTE(T0)2200351512ffkTENEE總電子總能量：電子的熱容與溫度一次方成正比veCT201033FvlvevEkTRTCCTRCCve可以忽略，所以金屬比熱為 Cv = 3RD 受泡利不相容原理的限制，受泡利不相容原理的限制，大多數電子的

8、能量遠遠低于費大多數電子的能量遠遠低于費米能量，不能參與熱激發；米能量，不能參與熱激發；只只有費米面附近約有費米面附近約KT范圍內的范圍內的電子參與熱激發電子參與熱激發,對比熱有貢獻對比熱有貢獻,但這部分電子是全部電子中極但這部分電子是全部電子中極小的一部，電子氣對晶體熱容小的一部，電子氣對晶體熱容貢獻很小。貢獻很小。EFkxkzky(2) 低溫低溫 T T 越低， 值越大，Cve不能忽略。303245TEkTCCTbTCDFvlvevvlveCCD4.電子比熱系數電子比熱系數的實驗測量的實驗測量23bTTCTbTCvvTCv2TBaSr 電子比熱取決于費米面附近電子，電子比熱取決于費米面附近

9、電子，所以可以通過測量電子比熱（熱容），所以可以通過測量電子比熱（熱容），反映費米面附近電子的狀態密度。反映費米面附近電子的狀態密度。4.4.2 金屬的電導金屬的電導熱平衡時熱平衡時電子動量電子動量 ，自由電子氣，自由電子氣總動量為總動量為0，沒有宏觀電流。，沒有宏觀電流。 pkKa2aaa20 xkyk無外場無外場xkykE有外場有外場當晶體外加電場時，當晶體外加電場時， 電子被加速，動量隨時間變化電子被加速，動量隨時間變化dpdkeEdtdteEdkdt 波矢的增量均指向外場的反方向，電子狀態在空波矢的增量均指向外場的反方向，電子狀態在空間分布不對稱，產生宏觀電流。間分布不對稱，產生宏觀電

10、流。K0( )(0)teEeEkk tkdtt 加上外場后，電子漂移加上外場后，電子漂移雜質、缺陷和聲子等對電子散射雜質、缺陷和聲子等對電子散射電子漂移運動速度電子漂移運動速度eEk 經過經過 ，漂移和散射，漂移和散射平衡，電子的漂移速平衡，電子的漂移速度不再增加，系統達度不再增加，系統達到穩定狀態到穩定狀態 ：弛豫時間弛豫時間, ,電子兩次散射之間的平均時間。電子兩次散射之間的平均時間。 ：電子平均自由程，兩次碰撞之間電子平均走過的距離電子平均自由程，兩次碰撞之間電子平均走過的距離ddeEmvkvm l電子漂移運動電子漂移運動,電子氣系統產生一個沿外場方向的電流電子氣系統產生一個沿外場方向的

11、電流EjEmnevnejdE2為電子濃度為電子濃度; 定義為金屬的電導率定義為金屬的電導率n歐姆定律mne2電導有貢獻的電子主要是費米面附近的電子，FFFlv例例: 經實驗測出銅的電阻率為經實驗測出銅的電阻率為: ,銅中電子濃度為銅中電子濃度為81.7 10m288.5 10/nm則銅的弛豫時間為則銅的弛豫時間為:31142281989.1 102.5 108.5 10(1.6 10) 1.7 10msne已知費米面附近電子運動速度已知費米面附近電子運動速度 ,則電子平均自由程則電子平均自由程即兩次碰撞之間電子平均走過的距離為即兩次碰撞之間電子平均走過的距離為:61.57 10/Fvms614

12、81.57102.5 103.9 10Flvm4.4.3電子氣的熱導率電子氣的熱導率13vc vl202BveBFk TcknE對于理想氣體對于理想氣體,熱導率公式為熱導率公式為: 為氣體比熱容為氣體比熱容; 為分子運動的平均速度為分子運動的平均速度; 為平均自由程為平均自由程.vcvlFvv自由電子氣的熱導率有類似的公式形式，已知：自由電子氣的熱導率有類似的公式形式，已知：FFFlv20122FFFkEmvm所以所以:2222221123323BBFFkcvlk TnvnTmvm熱導率與電導率之比為熱導率與電導率之比為:2222233BBknTkmTLTneem電子氣的熱導率與電導率之比值與

13、溫度呈正比電子氣的熱導率與電導率之比值與溫度呈正比,這就是這就是魏德曼魏德曼弗蘭茲定律弗蘭茲定律,比例系數比例系數L為：為：22822.4510(/)3BkLWKeL-Lorentz常數常數 很多金屬的Lorentz系數是與金屬性質無關的常數 。 在低溫下，許多金屬的 L 值都與溫度有關。Lorentz常常數與溫度的關系數與溫度的關系2、熱電子發射：當金屬被加熱到較高、熱電子發射：當金屬被加熱到較高溫度時，有部分電子獲得的能量大溫度時，有部分電子獲得的能量大于于 ，可逸出金屬，產生熱電子發射，可逸出金屬，產生熱電子發射電流。電流。熱電子發射電流密度：熱電子發射電流密度：kTeATj2熱電子發射電流密度與熱電子發射電流密度與T、功函數、功函數關系敏感。關系敏感。0EFEE 0E0EF0EABBAeVV1+ + + - - -AB+ + + - - -+