1、第2講排列與組合最新考綱 1.理解排列、組合的念；2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列 數(shù)公式、組合數(shù)公式；3.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題|基M毯斷|.格通口.，上知識(shí)梳理1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同兀素中取出m(mK n)個(gè)不同兀素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m( mnc n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的排列數(shù).(2)從n個(gè)不同元素中取出m( mnc n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù).3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1) =n(n1)( n 2)(n mm-1)=

2、(2)=)=二(n, mnG N*,且 mn n).特別地=1性質(zhì)(1)0 ! = 1; = n!(2)=;=上診斷自測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打或“x”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.()(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()(3)若組合式=，則x=m成立.()(4)=.()解析 元素相同但順序不同的排列是不同的排列，故(1) 不正確；若=,則x=m n m故(3)不正確. 答案 (1) X (2) V (3) X (4) V2. 從 4 本不同的課外讀物中，買3 本送給 3 名同學(xué)，每人各1 本，則不同的送法種數(shù)是()D.81C.64B.24A.12解析 4 本

3、不同的課外讀物選3 本分給 3 位同學(xué)， 每人一本，則不同的分配方法為=24.答案 B3. (選彳2 3P28A17改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名 參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是()D.36C.30B.24A.18解析 法一 選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有=18 種，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有=12種，故 3名學(xué)生中男女生都有的選法有+ =30種.法二 從 7 名同學(xué)中任選3 名的方法數(shù)，再除去所選3 名同學(xué)全是男生或全是女生的方法數(shù)，即一一=30.答案 C4. (2017 浙江三市十二校聯(lián)考)用1, 2, 3, 4, 5, 6這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重

4、復(fù)數(shù)字的六位數(shù)共有個(gè)；其中1， 3， 5 三個(gè)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)有個(gè).解析 用1, 2, 3, 4, 5, 6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字六位數(shù)共有=720個(gè)； 將1, 3, 5三個(gè)數(shù)字插入到2, 4, 6三個(gè)數(shù)字排列后所形成的 4個(gè) 空中的3個(gè)，故有=144個(gè).答案 720 1445. 用數(shù)字1,2, 3, 4, 5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）.解析 末位數(shù)字排法有，其他位置排法有種，共有=48種.答案 486. （2017 紹興調(diào)研）某市委從組織機(jī)關(guān)10名科員中選3人擔(dān)任駐 村第一書(shū)記，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法 的種數(shù)為（用數(shù)字作答）.解析 法一（直接法）甲

5、、乙兩人均入選，有種.甲、乙兩人只有1人入選，有種方法，.由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有+=49（種）選法.法二（間接法）從9人中選3人有種方法. 其中甲、乙均不入選有種方法，.滿足條件的選排方法是=84-35= 49（種）.答案 49I考點(diǎn)突破I分工曲，.以忱一，;考點(diǎn)一排列問(wèn)題【例11 （2017 河南校級(jí)月考）3名女生和5名男生排成一排.（1）如果女生全排在一起，有多少種不同排法？（2）如果女生都不相鄰，有多少種排法？（3）如果女生不站兩端，有多少種排法？（4）其中甲必須排在乙前面（可不鄰），有多少種排法？（5） 其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？解 （1）（ 捆綁法 ） 由于女生

6、排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起有6 個(gè)元素， 排成一排有種排法，而其中每一種排法中，三個(gè)女生間又有種排法，因此共有 =4 320（種）不同排法 .（2）（ 插空法 ） 先排 5 個(gè)男生，有種排法，這5 個(gè)男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有種排法，因此共有=14400（ 種 ） 不同排法.（3） 法一 （ 位置分析法） 因?yàn)閮啥瞬慌排荒軓?5 個(gè)男生中選 2 人， 有種排法，剩余的位置沒(méi)有特殊要求，有種排法，因此共有 = 14 400（種）不同排法.法二 （ 元素分析法） 從中間 6 個(gè)位置選3 個(gè)安排女生，有種排法，其余位置無(wú)限制，有種排法，因此

7、共有=14 400（種）不同排法.（4）8 名學(xué)生的所有排列共種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中，.符合要求的排法種數(shù)為=20 160（種）.（5） 甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置.法一 （ 特殊元素法） 甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有種；甲不在最右邊時(shí)，可從余下6 個(gè)位置中任選一個(gè)，有種；而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6 個(gè)中的任一個(gè)上，有種；其余人6個(gè)人進(jìn)行全排列，有種.共有種.由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有十 =30 960（種）.法二 （ 特殊位置法） 先排最左邊，除去甲外，有種， 余下 7 個(gè)位置全排，有種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法種，因此共有 一 =30 960(種).

8、法三 ( 間接法 )8 個(gè)人全排，共種， 其中， 不合條件的有甲在最左邊時(shí)， 有種， 乙在最右邊時(shí)，有種， 其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有種.因此共有2+= 30 960(種).規(guī)律方法(1) 對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則， 即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法.(2) 對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法.【訓(xùn)練11 (1)(2017 新余二模)7人站成兩排隊(duì)列，前排 3人，后排 4 人， 現(xiàn)將甲、

9、乙、 丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為()D.480C.360B.240A.120(2017 撫順模擬)某班準(zhǔn)備從甲、乙等七人中選派四人發(fā)言，要求甲乙兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有()D.840C.720B.600A.30解析 (1) 第一步，從甲、乙、丙三人選一個(gè)加到前排，有3 種，第二步， 前排 3 人形成了4 個(gè)空， 任選一個(gè)空加一人，有 4 種， 第三步， 后排 4 人形成了5 個(gè)空， 任選一個(gè)空加一人有5 種， 此時(shí)形成 6 個(gè)空，任選一個(gè)空加一人，有6 種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有3X4X5X6= 360種方法. 若只有甲乙

10、其中一人參加，有=480種方法；若甲乙兩人都參力口，有=240種方法，則共有480 + 240= 720種方法，故選 C.答案 (1)C (2)C考點(diǎn)二組合問(wèn)題【例 2】 某市工商局對(duì)35 種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15 種假貨 . 現(xiàn)從 35 種商品中選取3 種 .(1) 其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2) 其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3) 恰有2 種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4) 至少有2 種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5) 至多有2 種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34種商品中，選取2種有=561種，.某一種假貨必須在內(nèi)的不

11、同取法有561 種 .(2)從34種可選商品中，選取 3種，有種或者一=5 984種.某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種.從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件有=2 100種.恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種. 選取2種假貨有種，選取3件假貨有種，共有選取方式+=2100 + 455=2 555 種.至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種.(5) 選取 3 件的總數(shù)為，因此共有選取方式-=6 545 -455=6 090 種.至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種.規(guī)律方法組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化：(1) “含有”或“不含有”某些元素的組合題型；“含

12、”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足； “不含”， 則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2) “至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型： 解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解 . 用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.【訓(xùn)I練2】(1)(2017 邯鄲一模)現(xiàn)有6個(gè)不同的白球，4個(gè)不同的黑球，任取4 個(gè)球，則至少有兩個(gè)黑球的取法種數(shù)是()D.385C.210B.115A.90(2017 湖州市質(zhì)檢)若從1, 2, 3,，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4 個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()D.66 種 C

13、.65 種B.63 種A.60 種解析 (1)分三類，取2個(gè)黑球有=90種，取3個(gè)黑球有=24種， 取4個(gè)黑球有=1種，故共有90 + 24+1 = 115種取法，選B.(2) 共有 4 個(gè)不同的偶數(shù)和5 個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，.共有不同 的取法有+ + = 66(種).答案 (1)B(2)D考點(diǎn)三排列、組合的綜合應(yīng)用【例3】 4 個(gè)不同的球，4 個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1) 恰有1 個(gè)盒不放球，共有幾種放法？(2) 恰有 1 個(gè)盒內(nèi)有2 個(gè)球，共有幾種放法？(3) 恰有2 個(gè)盒不放球，共有幾種放法？解 (1) 為保證“恰有

14、1 個(gè)盒不放球”， 先從 4 個(gè)盒子中任意取出 去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4 個(gè)球， 3 個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把 4 個(gè)球分成2， 1 ， 1 的三組， 然后再?gòu)? 個(gè)盒子中選1 個(gè)放 2 個(gè)球， 其余 2 個(gè)球放在另外2 個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有x= 144（種）.（2） “恰有 1 個(gè)盒內(nèi)有2 個(gè)球”，即另外 3 個(gè)盒子放2 個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1 個(gè)球， 也即另外3 個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此， “恰有 1 個(gè)盒內(nèi)有2 個(gè)球”與“恰有 1 個(gè)盒不放球”是同一件事， 所以共有 144種放法 .（3） 確定 2 個(gè)空盒有種方法.4 個(gè)球放進(jìn)2 個(gè)盒子可分成（3

15、， 1） 、 （2 ， 2） 兩類，第一類有序不均勻分組有種方法；第二類有序均勻分組有）種方法.故共有（+） ）=84（種）.規(guī)律方法（1） 解排列組合問(wèn)題常以元素（ 或位置 ） 為主體， 即先滿足特殊元素（ 或位置 ） ， 再考慮其他元素（ 或位置 ）. 對(duì)于排列組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.（2） 不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配. 在分組時(shí)，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的差異. 其次對(duì)于相同元素的“分配”問(wèn)題，常用的方法是采用“隔板法”.【訓(xùn)練3】 （1） 某校高二年級(jí)

16、共有6 個(gè)班級(jí)， 現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4 名學(xué)生， 要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2 名， 則不同的安排方案種數(shù)為（）D.2 （2）在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng).將這8 張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有種（用數(shù)字作 答）.解析（1）法一 將4人平均分成兩組有種方法，將此兩組分配到6個(gè)班級(jí)中的2個(gè)班有（種）. 所以不同的安排方法有（種）.法二 先從6個(gè)班級(jí)中選2個(gè)班級(jí)有種不同方法，然后安排學(xué)生有 種，故有=（種）.（2）把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法，一種是分（一等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng)）、（二 等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng)）、（三等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng)）、（無(wú)獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng)）四組，分給4人有 種分法；另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng)，一組只有一個(gè)獎(jiǎng)，另兩組無(wú)獎(jiǎng)，共 有種分法，再分給4人有種分法，所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為+= 24 + 36= 60.答案（1）B（2）60課堂總結(jié)思想方法1 .對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮（1）以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. （2）以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.（3）先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求 的排列數(shù)或組合數(shù).2.排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧（1）特殊元素優(yōu)先安排；（2）合理分類與準(zhǔn)確分步；（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排；(4) 相鄰問(wèn)題捆綁處理；(5) 不相鄰問(wèn)