1、2019年普通高等學校招生全國統一考試（全國）理科數學3卷（試題及答案解析）、選擇題：（本題共12小題，每小題5分,共60分）A 2B 2C.【答案】C【解析】由題，z 2i12i 1 i2i 2.i15則zi1 i 1Ii2已知集合A （x,y）2 x2y 1 ,B (x, y) yx,則A 3B 2c.1【答案】B【解析】A表示圓x22y1上所有點的集合，B表示直線1 設復數z滿足（12AI B中元素的個數為（）D 0i)z 2i,則 z (),12 12. 2 ,故選 C.故A I B表示兩直線與圓的交點 為2,故選B.y x上所有點的集合，由圖可知交點的個數為 2,即AI B元素的個數

2、3某城市為了解游客人數的變化規律,提高旅游服務質量，收集并整理了 2014年1月至2016 年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據 ，繪制了下面的折線圖.-23 -月接待游客量（萬人1244S&7H9 101112 1?4SG79 101112 1 上弓 4 號（S7K0 1011122014 年2015 年2016 年根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）A 月接待游客量逐月增加B .年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7, 8月D 各年1月至6月的月接待游客量相對于 7月至12月,波動性更小，變化比較平穩 【答案】A【解析】由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量

3、在減少，則A選項錯誤，故選A.5334. （x y）（2x y）的展開式中x y的系數為（）2 25 .已知雙曲線C : -2 占1 （ a 0, b 0 ）的一條漸近線方程為5 yxa b222x1有公共焦點.則C的方程為（）123222 22 22A.xI 1B.x y1x y C.1x D.81045544【答案】B且與橢圓23B.C. 40D.805原式展開中含x3y3的項為y332C5 2xy40x3y3，則x3y3的系數為40,故選CA.【答案】C【解析】由二項式定理可得x C5 2x 2 y【解析】：雙曲線的一條漸近線方程為y -x，則b 2a 22 2又T橢圓1與雙曲線有公共焦

4、點，易知c 3，則a2 b2 c21232 2 由解得a 2，b5，則雙曲線C的方程為x 1，故選B.45n6.設函數f(x) cos(x 3),則下列結論錯誤的是()3A . f (x)的一個周期為2 nnC. f (x )的一個零點為x -6【答案】D【解析】函數f x cos x n的圖象可由3.-.8 nB. y f (x)的圖像關于直線x 對稱3D. f (x)在(二n單調遞減2y cosx向左平移n個單位得到3n如圖可知,fx在-,冗上先遞減后遞增,D選項錯誤,故選D.屮11h0Wx，67執行右圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數A. 5B. 4C. 3N的最小值為

5、()D. 2【答案】D【解析】程序運行過程如下表所示：S初始狀態0第1次循環結束100第2次循環結束90此時S 90 91首次滿足條件即N 2為滿足條件的最小值M100110213程序需在t 3時跳出循環故選D.&已知圓柱的高為積為()A. n【答案】B1,它的兩個底面的圓周在直徑為3n4【解析】由題可知球心在圓柱體中心2的同一個球的球面上圓柱體上下底面圓半徑r12則該圓柱的體則圓柱體體積V n2h ，故選B.49等差數列 an的首項為1,公差不為0若a?,比，a6成等比數列，貝U a.前6項的和 為() dA 24B 3C 3D 8【答案】A【解析】-an為等差數列，且a2, a3 ,a6成

6、等比數列，設公差為口 r2貝U a3a2 a6,即 d 2d2a d a 5d又 a 1,代入上式可得2 d2d 0又 d 0,則d26 56 5.S6 6a1d 1 6224,故選A.2222X10已知橢圓C：r21 ( a b0 )的左、右頂點分別為 A,A2,且以線段入A為直ab徑的圓與直線bxay 2ab 0 相切,則C的離心率為()6D3c21A B C D -3333【答案】A【解析】以AA為直徑為圓與直線 bx ay 2ab 0相切,二圓心到直線距離等于半徑又ra 0,b0,則上式可化簡為3b22即與a2 2 2 2 2 2 -b ac ,可得 a3 a c eC6,故選Aa31

7、1.已知函數f (x)x2 2xa(ex1ex1)有唯一零點，則a ()111A B -C 232【答案】C【解析】由條件，2f(x) x 2xa(ex 1xe),得：f(2 x)(22x)2(2x)2 x 1a(ee(2x) 1)2 x4x4 42x/ 1 xa(eex1)2 x2xx 1a(eex1) f(2 x)f(x),即x1為f(x)的對稱軸，由題意，f(x)有唯一零點， f (x)的零點只能為x 1,2 1111即 f (1) 12 1 a(e e ) 0 ,2 .在矩形ABCD中，AB 1,AD 2,的最大值為動點P在以點C為圓心且與()BD相切的圓一uui APUUT ABHI

8、TAD ,則A.3B.2 2C.5D . 2【答案】A【解析】由題意，畫出右圖.r -H-右設BD與eC切于點E ,連接CE . 以A為原點，AD為軸正半軸，AB為軸正半軸建立直角坐標系，則C點坐標為(2,1)./ |CD | 1, |BC| 2 .二 BD 12 22.5 . BD切eC于點E . CE 丄 BD .1-|BC| |CD|BD| CE是RtA BCD中斜邊BD上的高.2、552|EC| 2比BCD - |BD|即eC的半徑為2 - 55/ P 在 eC 上. P點的軌跡方程為(X 2)2(y 1)2設P點坐標(x0,y0),可以設出P點坐標滿足 的參數方程如下：X。 5 co

9、s5yo 1uun而APluu/ APnsluuu(Xo,y。)，ABuum uurAB AD(0,1),(0,1)Aos兩式相加得:5(其中sin5當且僅當2k nDxA(O)HITAD (2,0).(2,0) (2 ,)yo1 75sin5)2.5、)5取得最大值3.、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分)x y 0,13.若x, y滿足約束條件 x y 2 0,則z 3x 4y的最小值為 y0,【答案】1【解析】由題，畫出可行域如圖：目標函數為z 3x 4y,則直線y -x -縱截距越大,值越小.4414設等比數列【答案】8【解析】Q an為等比數列，4an由圖可知：在A 1,1

10、處取最小值，故Zmin 31411 .15設函數f(x)x 1,x w 0,2x,x 0,則滿足 f(x)f(x12)1的X的取值范圍是aa21aae1印 a 3即a2ae3，顯然q 1, q05得1 q 3,即q2,代入式可得a11a4 ay 1328 .設公比為.1【答案】1,4【解析】Q f xx 1,x w 02x ,x 0的圖象如下:由圖象變換可畫出 yUULT|AB |2 cosAu與所成夾角為(cos , sin-r-uuur.alABl0,訴J) (O1,。)占sin I 02 2n n,所以正確，錯誤.4 2ABf與所成夾角為uuur rAB bcosruurb|AB(cos

11、 ,sin ,1) (1,0,0)nO,?,sin-uuurbABI%| cos2與夾角為60時，即-2 cos2 cos33.2122 cos2sin1,1 1由圖可知，滿足f x 21 f X的解為4,16.,為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與 ,都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論： 當直線 AB與成60角時，AB與成30角； 當直線 AB與成60角時，AB與成60角； 直線AB與所成角的最小值為 45 ; 直線AB與所成角的最大值為 60 .其中正確的是 (填寫所有正確結論的編號)【答案】【解析】由題意知，a b、AC三條直線兩兩相互垂

12、直，畫出圖形如圖.不妨設圖中所示正方體邊長為 1,故 |AC| 1,|AB|.；2 ,斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，則A點保持不變，b點的運動軌跡是以c為圓心，1為半徑的u圓以C為坐標原點，以CD為軸正方向，CB為軸正方向，CA為軸正方向建立空間直角坐標系則 D(1,0,0) ,A(0,0,1),直線的方向單位向量 a (0,1,0) ,|a| 1.B點起始坐標為(0,1,0), 直線的方向單位向量b (1,0,0),設B點在運動過程中的坐標B (cos ,sin ,0),其中為BC與CD的夾角,0,2 n uiur那么AB在運動過程中的向量 AB ( cos , sin ,1), |cos

13、二 cosj|cos | 12 2o, n.2二=上，此時AB與夾角為603正確，錯誤.三、解答題：（共70分.第17-20題為必考題,每個試題考生都必須作答.第 22, 23題為選考 題，考生根據要求作答）（一）必考題：共60分.17.（ 12 分）ABC的內角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知si nA 3cosA 0, a 2. 7 , b 2 .（1 ）求 c ；（2 ）設D為BC邊上一點，且AD AC ,求厶ABD的面積._冗【解析】(1)由 sin A 3cosA 0 得 2sin A -0,3冗 即 Akn k Z ,又 A 0, n ,3八n八2 n二 A ； n

14、,得A3 31 由余弦定理a2 b2 c2 2bc cosA.又t a 2 7,b 2,cosA代入并整理得22c 125,故 c 4.(2) / AC 2,BC 2.7, AB 4,由余弦定理cosC2、772 2 2 a b c2ab/ AC AD ,即AACD為直角三角形則 AC CD cosC ,得 CD .7 . 由勾股定理 AD Jcd|2 |AC|2 V3.又 A 8,貝V DAB 2n -,3326SAabd - AD AB sin -73.ABD 2 618.（ 12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2

15、元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最咼氣溫（單位：C）有關.如果最咼氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間 20,25 ,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為 200瓶，為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據 ，得下 面的頻數分布表：最高氣溫10,1515,2020 ,2525 ,3030 ,3535,40天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.(1) 求六月份這種酸奶一天的需求量X (單位：瓶)的分布列；(2) 設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y (單位：元)當六月份這種酸奶一天

16、的進 貨量(單位：瓶)為多少時，Y的數學期望達到最大值？2021 - 5Y0032 - 5003【解析】易知需求量可取200,300,500PX2002 1613035PX3003623035PX500257423035 .則分布列為：X200300500P25當n 200時：Yn6 42n ,此時 Ymax400 ,當n41當200 n 500時，易知一定小于 的情況綜上所述：當n 300時,取到最大值為520.19 .( 形.(1) 證明：平面 ACD A平面ABC ;(2) 過AC的平面交BD于點E,12分）如圖， 四面體ABCD中， ABC ? ABD ?CBD , AB= BD .若

17、平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分求二 面角D- AE- C的余弦值.【解析】取AC中點為O ,連接BO , DO ;Q ABC為等邊三角形 BO ABABBDACBCBCBDABD CBD.ABD DBC AD CD ,即 ACD為等腰直角三角是正角形，B ACD是直角三角ADC為直角又 DOAC令ABa,則 AB| |ACBC BD易得：OD a， OB3 a2 OD2 OB2 BD?由勾股定理的逆定理可得DOB -2即ODOBODACODOBAC IOB OOD 平面 ABCAC平面 ABCOB平面 ABCO為底邊AC中點a又 OD 平面ADC由面面垂直的判定定理可得 由題意

18、可知V D ACE V B ACE 即B ,D到平面ACE的距離相等 即E為BD中點 以O為原點，unr、OD為軸正萬向平面ADC 平面ABCOA為軸正方向,設ACa,則 O 0,0,0 ,a c c,0,02UllOB為軸正方向， 建立空間直角坐標系0,a,02a0,0, 2lum 易得：AE.3 aa,-44UUTAD設平面AED的法向量為n1, unr inAE m 則 unr uiAD冷uui uiAE n2 uin uuOA n2若二面角0u,解得ni0nr,解得n2 0D AE平面77yE 0,-V44UUUOAa,0,02IUAEC的法向量為“2,3,1, 30,1, 、3易知為

19、銳角，220.( 12分)已知拋物線 C:y = 2x,過點(2,0)的直線交C于A, B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1 )證明：坐標原點 O在圓M上；(2)設圓M過點P (4,- 2 ),求直線與圓M的方程.【解析】顯然，當直線斜率為時，直線與拋物線交于一點，不符合題意.聯立：y 2x + 2得 y 2my 40,x my 2設 l:x my 2 , AX)， Bgy),4m 16 恒大于，y1 y2 2m, y1y24 .uir uuuOA OBx1x2 y1 y2(my12)(my2 2)2(m 1)%y2 2m(y1 y?)424(m1) 2m(2m)40ult urn OA OB ,即O在圓M上.uuu uir右圓M過點P ,貝U AP BP 0(為 4)(X24) (y 2)( y22)0(my 2)( my2 2) (y 2) 2) 02(m 1)y1y2 (2 m 2)( y1 y2) 8 01化簡得2m2 m 10解得