1、 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 1、單顆粒的粒徑、單顆粒的粒徑 形狀規則的顆粒，可以用某種特征來表示其大小，如球形狀規則的顆粒，可以用某種特征來表示其大小，如球 形顆粒，可以用球的直徑來表示；正立方體顆粒，可以用棱形顆粒，可以用球的直徑來表示；正立方體顆粒，可以用棱 長來表示。但對于礦物顆粒，其形狀不一，大小不等，其粒長來表示。但對于礦物顆粒，其形狀不一，大小不等，其粒 徑常采用徑常采用“演算直徑演算直徑”來表示。來表示。 “演算直徑演算直徑”，就是通過測定某些與顆粒大小有關性質，就是通過測定某些與顆粒大小有關性質， 推導出與線性量綱有關的參數。推導出與線性量綱有關的參數。 常用的

2、常用的“演算直徑演算直徑”有有軸徑軸徑、球當量徑球當量徑、圓當量徑圓當量徑和和統統 計徑計徑四類。四類。 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 (1) 軸徑：軸徑：用指定的特征線段表示。單顆粒軸徑的表示用指定的特征線段表示。單顆粒軸徑的表示 方法見下表：方法見下表： 名名 稱稱符號符號計計 算算 式式物物 理理 意意 義義 或或 定定 義義 二軸平均徑二軸平均徑db(l+b)/2平面圖形的算術平均值平面圖形的算術平均值 三軸平均徑三軸平均徑Dc(l+b+h)/3立體圖形的算術平均值立體圖形的算術平均值 三軸調和平均徑三軸調和平均徑Dx3/(1/l+1/b+1/h) 同外接長方體有相同比表面

3、積的同外接長方體有相同比表面積的 球的直徑或立方體的一邊長球的直徑或立方體的一邊長 二軸幾何平均徑二軸幾何平均徑Dy(lb)1/2平面圖形的幾何平均值平面圖形的幾何平均值 三軸幾何平均徑三軸幾何平均徑dz(lbh)1/3 同外接長方體有相同體積的立方同外接長方體有相同體積的立方 體的一邊長體的一邊長 (2lb+2bh+2lh) /6 ) 1/2 同外接長方體有相同表面積的立同外接長方體有相同表面積的立 方體的一邊長方體的一邊長 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 (2) 球當量徑：球當量徑：用和顆粒具有相同參量的球體直徑來表用和顆粒具有相同參量的球體直徑來表 示。包括體積、面積、比表面積

4、、運動阻力、沉降速度等。示。包括體積、面積、比表面積、運動阻力、沉降速度等。 名名 稱稱符號符號計計 算算 式式物物 理理 意意 義義 或或 定定 義義 體積直徑體積直徑dv 與顆粒具有相同體積的圓球直徑與顆粒具有相同體積的圓球直徑 面積直徑面積直徑ds 與顆粒具有相同表面積的圓球直徑與顆粒具有相同表面積的圓球直徑 比表面徑比表面徑dsv 具有相同外表面積對體積比的圓球直徑具有相同外表面積對體積比的圓球直徑 阻力直徑阻力直徑dd 阻力阻力 當當Re0.5時時 在粘度相同流體中，以同一速度并與顆粒在粘度相同流體中，以同一速度并與顆粒 具有相同運動阻力的球徑具有相同運動阻力的球徑 自由降落直徑自由

5、降落直徑df 與顆粒同密度球體，在密度和粘度相與顆粒同密度球體，在密度和粘度相 同的流體中，與顆粒具有相同沉降速同的流體中，與顆粒具有相同沉降速 度球體直徑度球體直徑(該球稱為標準粒子該球稱為標準粒子) 斯托克斯直徑斯托克斯直徑dst 層流區層流區(Re0.5)顆粒的自由降落直徑顆粒的自由降落直徑 3 /6V /S 23 / vs dd 22 dR dvF l lsf gd v 6 )( 0 )(/18 ls gv Basic principles Equivalent sphere - volume/mass Equivalent Spherical Diameters 1 2 3 Sphe

6、re of equivalent surface Sphere of equivalent volume Sphere of equivalent volume/surface Sphere of equivalent settling velocity Sphere of equivalent sieve mesh 45 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 (3) 圓當量徑：圓當量徑：用和顆粒具有相同參量（面積、周長）的用和顆粒具有相同參量（面積、周長）的 圓的直徑表示。圓的直徑表示。 名名 稱稱符號符號計算式計算式物物 理理 意意 義義 或或 定定 義義 投影面積直徑投影面積直徑 d

7、a與顆粒在穩定位置投影面積相等的圓直徑與顆粒在穩定位置投影面積相等的圓直徑 隨機定向投影隨機定向投影 面積直徑面積直徑dp與任意位置顆粒投影面積相等的圓的直徑與任意位置顆粒投影面積相等的圓的直徑 周長直徑周長直徑 d與顆粒投影外形周長相等的圓的直徑與顆粒投影外形周長相等的圓的直徑 /4A /4 1 A /L 表表中中 A、A1、L 分別為顆粒投影的面積和外形周長。分別為顆粒投影的面積和外形周長。 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 (4) 統計徑：統計徑：是平行于一定方向是平行于一定方向(用顯微鏡用顯微鏡)測得的長度。測得的長度。 名名 稱稱符號符號物物 理理 意意 義義 或或 定定 義

8、義 篩分直徑篩分直徑dA顆粒可通過的最小方篩孔的寬度顆粒可通過的最小方篩孔的寬度 Feret 直徑直徑dF與顆粒投影外形相切的一對平行線之間的距離與顆粒投影外形相切的一對平行線之間的距離 Martin 直徑直徑dM沿一定方向把顆粒投影面積二等分線的長度沿一定方向把顆粒投影面積二等分線的長度 展開直徑展開直徑dr通過顆粒重心的平均弦長通過顆粒重心的平均弦長 剪切直徑剪切直徑dsh用圖象剪切圓鏡測得的顆粒寬度用圖象剪切圓鏡測得的顆粒寬度 最大弦直徑最大弦直徑dch由顆粒輪廓所限定的一直線最大長度由顆粒輪廓所限定的一直線最大長度 Ferets Diameter Distance between tw

9、o tangents on opposite sides of the particle parallel to an arbitrary fixed direction.與顆粒投影外形相切的一對平行線之間的距離與顆粒投影外形相切的一對平行線之間的距離 Martins Diameter Distance between opposite sides of the particle measured crosswise on a line bisecting the projected area.沿一定方向把顆粒投影面積二等分線的長度沿一定方向把顆粒投影面積二等分線的長度 Feret Marti

10、ns 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 2、顆粒體的平均粒度、顆粒體的平均粒度 在礦物加工過程中，接觸的不是單個顆粒，而是包含不在礦物加工過程中，接觸的不是單個顆粒，而是包含不 同粒徑的顆粒體，即同粒徑的顆粒體，即粒群粒群。對其大小的描述，常用平均粒度。對其大小的描述，常用平均粒度 的概念。粒群的平均粒度可用統計數學的方法求得。的概念。粒群的平均粒度可用統計數學的方法求得。 包括包括峰值直徑峰值直徑和和中位直徑或中值直徑中位直徑或中值直徑兩類。兩類。 峰值直徑：峰值直徑：是指顆粒在最高頻率處相對應的粒徑。是指顆粒在最高頻率處相對應的粒徑。 中位直徑或中值直徑：中位直徑或中值直徑：是對應

11、粒度分布函數曲線是對應粒度分布函數曲線 50% 處顆粒的直徑。處顆粒的直徑。 Mean n dn dm Median 50 d Diameter at which 50% of values fall Below For odd number = middle measurement when measurements are arranged in order of magnitude For even number = average of two middle measurements Mode = Measurement which occurs with greatest frequ

12、ency in that set Median 50 d The value or item occurring most frequently in a series of observations or statistical data. 眾數在一系列的觀測數據或數據資料中出 現次數最多的值或項目 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 各種平均粒度的的求法見下表：各種平均粒度的的求法見下表： 名稱名稱符號符號 計計 算算 公公 式式 個數基準個數基準質量基準質量基準 算術平均直徑算術平均直徑Da 幾何平均直徑幾何平均直徑Dg 調和平均直徑調和平均直徑Dh 峰值直徑峰值直徑Dmod分布曲

13、線最高頻度點分布曲線最高頻度點 中位中位(值值)直徑直徑Dmed累積分布曲線的中央值累積分布曲線的中央值 (50%處處) n nd / n n n nn ddd 1 21 )( d n n/ 32 / d W d W 43 / d W d W W W n WW ddd 1 21 )( 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 名稱名稱符號符號 計計 算算 公公 式式 個數基準個數基準質量基準質量基準 長度平均直徑長度平均直徑Dlm 面積平均直徑面積平均直徑Dsm 體積平均直徑體積平均直徑 (重量平均直徑重量平均直徑) Dvm 平均面積直徑平均面積直徑DS 平均體積直徑平均體積直徑 (重量平均直

14、徑重量平均直徑) DV ndnd/ 2 23 /dnnd 34 /dnnd 2 1 2 / nnd 3 1 3 / nnd 2 / d W d W d W W / W Wd / 2 1 3 / d W d W 3 1 3 / d W W 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 3、計算平均粒度方法的選擇、計算平均粒度方法的選擇 雖然計算粒群平均粒度的方法很多，但對某特定粒群，雖然計算粒群平均粒度的方法很多，但對某特定粒群， 不同方法所得到的平均粒度值不同，有的相差甚遠。不同方法所得到的平均粒度值不同，有的相差甚遠。 因此，實際應用時，應根據具體研究對象的性質來合理因此，實際應用時，應根據具體

15、研究對象的性質來合理 地選擇一種計算方法，只有在確定性質的基礎上，計算的結地選擇一種計算方法，只有在確定性質的基礎上，計算的結 果才有實際意義，切不可隨意選用。果才有實際意義，切不可隨意選用。 下面列舉兩例來說明。下面列舉兩例來說明。 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 【例【例 1 】研究磨礦問題時，通常不是直接考慮顆粒的尺寸，而是和能研究磨礦問題時，通常不是直接考慮顆粒的尺寸，而是和能 耗聯系起來。耗聯系起來。 根據根據 P.R.Rittinger 磨礦功耗學說磨礦功耗學說，有，有 W DD KE P0 11 式中式中 E粉碎單位重量物料所需的能量；粉碎單位重量物料所需的能量； D0

16、、DP粉碎前后物料粒子的平均粒度；粉碎前后物料粒子的平均粒度； W各粒級的重量產率；各粒級的重量產率； K比例系數。比例系數。 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 若以若以 d 代表單個粒級粒子的平均粒度，則該粒級單位重量物料的能耗代表單個粒級粒子的平均粒度，則該粒級單位重量物料的能耗 為為 ，而總能耗就為，而總能耗就為 ，即，即 W DD K P 0 11 W DD K P0 11 W DD KW DD K PP00 1111 化簡后得化簡后得 P P D W WD/ 0 0 / D W WD 此即調和平均粒度，也即按此即調和平均粒度，也即按 Rittinger 學說學說研究磨礦問題時

17、，應選用研究磨礦問題時，應選用 調和平均直徑調和平均直徑。假如用。假如用基克功耗學說基克功耗學說研究粉碎能耗，則應選用研究粉碎能耗，則應選用幾何平均直幾何平均直 徑徑來計算能耗。來計算能耗。 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 【例【例 2 】研究跳汰理論時，根據研究跳汰理論時，根據 Newton-Rittinger 沉降規律沉降規律，確定跳，確定跳 汰過程中粒子在水中沉降動能和平均粒度的關系。汰過程中粒子在水中沉降動能和平均粒度的關系。 物料顆粒沉降動能等于各粒級粒子沉降動能的累積量，即物料顆粒沉降動能等于各粒級粒子沉降動能的累積量，即 4 2 0 0 122 nd Kmv nE 單位

18、單位體積（或重量）的比動能為體積（或重量）的比動能為 3 4 2 1 12 nd nd K E 式中式中 E0 物料粒子沉降動能；物料粒子沉降動能； n一個粒級中顆粒數；一個粒級中顆粒數； d 一個粒級中顆粒平均粒度；一個粒級中顆粒平均粒度； D物料顆粒平均粒度；物料顆粒平均粒度； 顆粒密度；顆粒密度； K比例系數。比例系數。 2.1.12.1.1粒徑和粒度粒徑和粒度 顯然顯然 即為粒群的體積平均粒度即為粒群的體積平均粒度 Dvm 。因此，研究跳汰理論時，因此，研究跳汰理論時， 粒群的平均粒度應選用體積（重量）平均直徑。粒群的平均粒度應選用體積（重量）平均直徑。 3 4 nd nd 此外，在此

19、外，在研究水煤漿的級配研究水煤漿的級配時，也應用時，也應用體積平均直徑體積平均直徑，因為水煤漿是，因為水煤漿是 代油燃料，多少噸漿的熱值相當一噸油的熱值，它是一個重要質量指標。代油燃料，多少噸漿的熱值相當一噸油的熱值，它是一個重要質量指標。 因此，研究級配的主要目的是使煤粉有高的堆積率和使漿體有高的重量百因此，研究級配的主要目的是使煤粉有高的堆積率和使漿體有高的重量百 分濃度，以便使煤漿有高的發熱量。然而在分濃度，以便使煤漿有高的發熱量。然而在研究添加劑和煤粒的作用機理研究添加劑和煤粒的作用機理 時，則應用時，則應用面積平均直徑面積平均直徑。與此相類似的，還有。與此相類似的，還有礦物表面改性礦

20、物表面改性、微細粒團微細粒團 聚聚等現象的研究也應用等現象的研究也應用面積平均直徑面積平均直徑。 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 1、粒度變量和總體數量、粒度變量和總體數量 描述粒度特性最好的方法是查明粒群的粒度分布，它反描述粒度特性最好的方法是查明粒群的粒度分布，它反 映了粒群中各種顆粒大小及對應的數量關系。映了粒群中各種顆粒大小及對應的數量關系。 完整地表示顆粒群粒度分布要有兩個量，即顆粒的特征完整地表示顆粒群粒度分布要有兩個量，即顆粒的特征 尺寸（顆粒的線性尺寸、面積、體積）和它的總數量（顆粒尺寸（顆粒的線性尺寸、面積、體積）和它的總數量（顆粒 的個數、面積、體積和質量），分別稱為

21、的個數、面積、體積和質量），分別稱為粒度變量粒度變量K（size variable）和）和總體數量總體數量q（population quantity）。）。 在實踐中，人們測量和應用的粒度分布包括粒度變量和在實踐中，人們測量和應用的粒度分布包括粒度變量和 總體數量的不同組合。總體數量的不同組合。 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 為辯別各種類型的粒度分布或相互轉換，可確定以下為辯別各種類型的粒度分布或相互轉換，可確定以下一般符號一般符號： )()()( Kkkkkq DCDDDdDf和和 之間用粒度變量和總體數量表示的之間用粒度變量和總體數量表示的 粒級產率粒級產率； 之間以粒度變量之間以

22、粒度變量 和總體數量表示的和總體數量表示的累積產率累積產率。 )()()()( min Kk D D kkkqq DdDDDdDfDF 和和 在粒度測量中，由于原理不同，常用儀器輸出的數據有兩大類組合：在粒度測量中，由于原理不同，常用儀器輸出的數據有兩大類組合： 第一類的粒度變量是顆粒的質量、體積、面積或粒徑，而總體數量是第一類的粒度變量是顆粒的質量、體積、面積或粒徑，而總體數量是 顆粒的個數或相對顆粒數顆粒的個數或相對顆粒數 ( 也稱為相對頻率也稱為相對頻率 ) 。輸出此類數據的儀器有：。輸出此類數據的儀器有： 顯微鏡，圖象分析儀和庫爾特計數器。顯微鏡，圖象分析儀和庫爾特計數器。 第二類的粒

23、度變量為第二類的粒度變量為 D ，總體數量為相對質量、相對體積、面積或總體數量為相對質量、相對體積、面積或 頻率。如篩分、沉積儀、微粒儀等。頻率。如篩分、沉積儀、微粒儀等。 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 2、粒度分布的表示法、粒度分布的表示法 表征物料粒度分布常用的方法有表征物料粒度分布常用的方法有列表法列表法、作圖法作圖法、矩值法矩值法 和和函數法函數法。 (1)列表法列表法：是將粒度分析得到的原始數據（粒度區間、各：是將粒度分析得到的原始數據（粒度區間、各 粒級質量、面積、顆粒數等）及由此計算的數據列成表格。粒級質量、面積、顆粒數等）及由此計算的數據列成表格。 優點是通過列表能表示

24、出各的分布情況，找出主導粒級、優點是通過列表能表示出各的分布情況，找出主導粒級、 各級別和全體物料的平均粒度和指定粒度的累計含量等。各級別和全體物料的平均粒度和指定粒度的累計含量等。 缺點是數據量大時，列表麻煩，且表是數據不連續，不能缺點是數據量大時，列表麻煩，且表是數據不連續，不能 馬上讀出表中示列出的數據。馬上讀出表中示列出的數據。 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 (2)作圖法作圖法：常用的圖示法有繪制矩形圖、密度函數圖：常用的圖示法有繪制矩形圖、密度函數圖 （頻率分布圖）、分布函數圖（累積分布圖）。（頻率分布圖）、分布函數圖（累積分布圖）。 矩形圖矩形圖：是在直角坐標系中，以粒度范

25、圍在橫坐標上：是在直角坐標系中，以粒度范圍在橫坐標上 作矩形底邊，以各級頻率（顆粒數，百分含量或每單位長度作矩形底邊，以各級頻率（顆粒數，百分含量或每單位長度 頻率等）平行于縱坐標作矩形高。頻率等）平行于縱坐標作矩形高。 優點優點是能一目了然地看出各級粒度的變化及主導級別等是能一目了然地看出各級粒度的變化及主導級別等 情況；情況；缺點缺點是非連續分布，缺少各粒級范圍內的信息，因而是非連續分布，缺少各粒級范圍內的信息，因而 不能完整反映粒群的粒度特性。不能完整反映粒群的粒度特性。 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 密度函數圖密度函數圖：是在矩形圖中，連續每個矩形頂邊中點：是在矩形圖中，連續每

26、個矩形頂邊中點 （橫坐標上對應每粒級的平均粒度）可得一光滑曲線，即為（橫坐標上對應每粒級的平均粒度）可得一光滑曲線，即為 該粒群的密度函數曲線。該粒群的密度函數曲線。 從密度函數曲線能方便地讀出頻率密度最大值及其對應從密度函數曲線能方便地讀出頻率密度最大值及其對應 的粒度即峰直徑。的粒度即峰直徑。 分布函數圖分布函數圖： 式式 中中 F ( D ) 稱為粒群粒度分布函數，稱為粒群粒度分布函數， 反映該函數的圖線為該粒群的反映該函數的圖線為該粒群的粒度分布函數圖粒度分布函數圖，也稱為，也稱為累積累積 分布曲線分布曲線。 D D dDDfDF min )()( 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布

27、 (3)矩值法矩值法：是以數理統計原理來計算粒群（即樣本）粒：是以數理統計原理來計算粒群（即樣本）粒 度分布的特征值，如平均粒度、方差等。度分布的特征值，如平均粒度、方差等。 (4)函數法函數法：是用數學方法將物料粒度分析數據歸納、整：是用數學方法將物料粒度分析數據歸納、整 理并建立能反映物料粒度分布規律的數學模型理并建立能反映物料粒度分布規律的數學模型粒度特性方粒度特性方 程。程。 其特點是便于進行統計分析、數學計算和應用電子計算其特點是便于進行統計分析、數學計算和應用電子計算 機進行更復雜的運算。粒度分布方程不僅能表示粒度分布情機進行更復雜的運算。粒度分布方程不僅能表示粒度分布情 況，而且

28、通過解析法可求出各種平均直徑、比表面積、單位況，而且通過解析法可求出各種平均直徑、比表面積、單位 質量顆粒數等。質量顆粒數等。 Representing sizing data nSize data eg: table Size fractionmass % s12 s27 s316 s425 s524 s616 s78 s82 100 Representing sizing data nSize distribution Size distribution 0 5 10 15 20 25 30 s1s2s3s4s5s6s7s8 size fraction % mass Size fracti

29、onmass % s12 s27 s316 s425 s524 s616 s78 s82 100 size distribution 0 5 10 15 20 25 30 s1s2s3s4s5s6s7s8 size fraction mass % Representing sizing data nSize distribution Size fractionmass % s12 s27 s316 s425 s524 s616 s78 s82 100 Representing sizing data nSize distribution Size fractionmass % s12 s27

30、s316 s425 s524 s616 s78 s82 100 Size distribution 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 s1s2s3s4s5s6s7s8 size fraction % mass Representing sizing data nCumulative size distribution Size fractionmass %cum mass % s122 s279 s31625 s42550 s52474 s61690 s7898 s82100 Cumulative size distribution 0 10 20 30 40

31、50 60 70 80 90 100 s1s2s3s4s5s6s7s8 size passing cumulative mass % Representing sizing data nCumulative size distribution Size distribution 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 s1s2s3s4s5s6s7s8 size fraction % mass Size fractionmass %cum mass % s122 s279 s31625 s42550 s52474 s61690 s7898 s82100 Represen

32、ting sizing data nCumulative size distribution Size fractionmass %cum mass % s122 s279 s31625 s42550 s52474 s61690 s7898 s82100 Cumulative size distribution 0 20 40 60 80 100 s1s2s3s4s5s6s7s8 size fraction cumulative mass % terminology nP50 Size fractionmass %cum mass % s122 s279 s31625 s42550 s5247

33、4 s61690 s7898 s82100 Cumulative size distribution 0 20 40 60 80 100 s1s2s3s4s5s6s7s8 size fraction cumulative mass % P50 50% Discrete size distributions size interval i area = number fraction in size interval xi-1 xi fi Particle Size Frequency size dist. Log Normal Distribution 0.000 5.000 10.000 1

34、5.000 20.000 25.000 30.000 35.000 0100200300400500600700800 Particle Diameter F(d) Log Normal Distribution Log Normal Distribution 0.000 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 1101001000 Particle Diameter F(d) Log Normal Distribution Log Log plot of bin size verses bin diameter For a geomet

35、ric (log normal) plot 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 0.01110010000 Width of bin (microns) Upper bin diameter (microns) Series1 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 粒度特性方程粒度特性方程目前均為經驗式。礦物加工中常用的有三種：目前均為經驗式。礦物加工中常用的有三種： 蓋茨蓋茨(Gates)高登高登(Gaudin)舒茲曼舒茲曼(Shuzman)粒度特粒度特 性方程，簡稱性方程，簡稱GGS方程，方程，即即 m D D DF max 100)( 式中式中F(D)篩下物（負累積

36、產率），篩下物（負累積產率），%； Dmax物料中最大粒度；物料中最大粒度； D粒度；粒度； m分布模數，與物料性質、設備性能有關。分布模數，與物料性質、設備性能有關。 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 n e D D DRexp100)( 羅辛羅辛(Rosion)拉姆勒拉姆勒(Rammler)方程，簡稱為方程，簡稱為RRSB 方程，方程，即即 或或 n e D D DFexp100100)( 式中式中R(D)正累積產率，正累積產率，%; F(D)負累積產率，負累積產率，%; D粒度粒度; De臨界粒度，即臨界粒度，即 R(D)=36.8% 或或 F(D)=63.2% 時，對應的粒度時，對

37、應的粒度; n方程模數，也稱均勻系數，表示粒度范圍的寬窄。方程模數，也稱均勻系數，表示粒度范圍的寬窄。 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 當當 D 和和 De 的比值小于的比值小于1時，時，RRSB 方程和方程和 GGS 方程一方程一 致。而且實踐證明在較粗的粒度范圍時，方程有驚人的重致。而且實踐證明在較粗的粒度范圍時，方程有驚人的重 現性，特別是現性，特別是RR紙紙 ( 一種專門的圖紙，即一種專門的圖紙，即 Rosion Rammler 紙，簡稱紙，簡稱 RR 紙紙 )的應用，使的應用，使 RRSB 方程在實方程在實 踐中很受歡迎。踐中很受歡迎。 多數破碎、磨碎產物的粒度分布都服從多數破

38、碎、磨碎產物的粒度分布都服從 RRSB 規律，規律， 尤其是煤炭、石灰石等脆性物料經各種破碎、磨碎設備處尤其是煤炭、石灰石等脆性物料經各種破碎、磨碎設備處 理后的產物。理后的產物。 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 g g g DD Dd dn Df 2 2 ln2 )ln(ln exp ln2 1 )(ln )(ln )(ln ln2 )ln(ln exp ln2 1 )(ln min 2 2 Dd DD DF D D g g g n nD Dgln 對數正態分布。對數正態分布。許多細磨產物，尤其是粉體的粒度組許多細磨產物，尤其是粉體的粒度組 成，通常都服從對數正態分布，其數學表達式為成

39、，通常都服從對數正態分布，其數學表達式為 密度函數式密度函數式 分布函數式分布函數式 式中式中Dg幾何平均直徑，幾何平均直徑， g幾何標準偏差，可按下式計算幾何標準偏差，可按下式計算 nDDn gg /)ln(lnln 2 2.1.22.1.2粒度分布粒度分布 對數正態分布各種平均直徑的計算公式見下表：對數正態分布各種平均直徑的計算公式見下表： 名名 稱稱符號符號個個 數數 基基 準準計計 算算 公公 式式 算術平均直徑算術平均直徑Da 長度平均直徑長度平均直徑Dlm 面積平均直徑面積平均直徑Dsm 質量平均直徑質量平均直徑Dwm 平均面積直徑平均面積直徑Ds 平均體積直徑平均體積直徑Dv 調

40、和平均直徑調和平均直徑Dh n nd / )(/)( 2 ndnd )(/)( 23 ndnd )(/)( 34 ndnd n nd/ )( 2 nnd/)( 3 )/(/dnn )ln5 . 0exp( 2 50g D )ln5 . 1exp( 2 50g D )ln5 . 3exp( 2 50g D )ln5 . 2exp( 2 50g D )exp(ln 2 50g D )ln5 . 1exp( 2 50g D )ln5 . 0exp( 2 50g D 2.22.2顆粒的形狀顆粒的形狀 顆粒輪廓邊界或表面上各點的圖象，稱作顆粒輪廓邊界或表面上各點的圖象，稱作顆粒的形狀顆粒的形狀。 礦物顆

41、粒的形狀對其行為，如它在介質中的運動速度、礦物顆粒的形狀對其行為，如它在介質中的運動速度、 界面化學性質、流動特性、濾餅的空隙率、比阻大小等都界面化學性質、流動特性、濾餅的空隙率、比阻大小等都 有重要的影響。對其加工產物的用途和價值有直接的關系。有重要的影響。對其加工產物的用途和價值有直接的關系。 礦物加工中各作業的性質、效率在很大程度上也取決于礦礦物加工中各作業的性質、效率在很大程度上也取決于礦 料的形狀。因此，顆粒的形狀是繼顆粒大小之后又一重要料的形狀。因此，顆粒的形狀是繼顆粒大小之后又一重要 的幾何特性。的幾何特性。 顆粒形狀分析有顆粒形狀分析有定性定性和和定量定量兩方面。兩方面。 Ba

42、sic principles What size are they ? 2.2.12.2.1顆粒形狀的定性分析顆粒形狀的定性分析 通常用一些定性的術語描述顆粒的形狀。常見的術語如下表：通常用一些定性的術語描述顆粒的形狀。常見的術語如下表： 名名 稱稱定定 義義 球球 形形圓球形體圓球形體 滾圓形滾圓形表面比較光滑近似橢圓形表面比較光滑近似橢圓形 多角形多角形具有清晰邊緣或粗糙的多面體具有清晰邊緣或粗糙的多面體 不規則體不規則體無任何對稱的形體無任何對稱的形體 粒狀體粒狀體具有大致相同的量綱的不規則體具有大致相同的量綱的不規則體 片狀體片狀體板片狀形體板片狀形體 枝狀體枝狀體形狀似樹枝體形狀似樹

43、枝體 纖維狀纖維狀規則或不規則的線狀體規則或不規則的線狀體 多孔狀多孔狀表面或體內有發達的孔隙表面或體內有發達的孔隙 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 1、形狀系數、形狀系數 ( shape coefficient ) 形狀系數是對規則形狀的顆粒而言，其表面積、體積分別和線性尺寸形狀系數是對規則形狀的顆粒而言，其表面積、體積分別和線性尺寸 成平方或三次方的關系，這種比例關系即被定義為成平方或三次方的關系，這種比例關系即被定義為形狀系數形狀系數。 對規則形狀顆粒，對規則形狀顆粒，設直徑為設直徑為 d 、體積為體積為 V 、面積為面積為 S ，按上述定義得按上述定義得 表面

44、形狀系數：表面形狀系數： S = S / d 2 體積形狀系數：體積形狀系數： V = V / d 3 比表面形狀系數：比表面形狀系數： SV = S / V 對于不規則顆粒，對于不規則顆粒，其形狀系數隨粒度計算方法而變，例如用投影面積其形狀系數隨粒度計算方法而變，例如用投影面積 直徑直徑 da 表示時，上述三種形狀系數分別為：表示時，上述三種形狀系數分別為： S， ，a = S / da2 ， ，V， ，a = V / da3 ， ，SV， ，a = S，a / V，a 。 。 顆粒的形狀系數就是所測得顆粒的顆粒的形狀系數就是所測得顆粒的“大小大小”和顆粒的面積或體積或比和顆粒的面積或體積或

45、比 表面積間的關系值。表面積間的關系值。 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 Heywood 給出求形狀系數的另一種方法，他認為：當測得顆粒三個相給出求形狀系數的另一種方法，他認為：當測得顆粒三個相 互垂直方向的尺寸時，則有互垂直方向的尺寸時，則有 長度比長度比 n = l / b 扁平比扁平比 m = b / t 式中式中 t 是厚度；是厚度；b 是寬度；是寬度；l 是長度。是長度。 假設顆粒被矩形所包圍，則顆粒的投影面積應為假設顆粒被矩形所包圍，則顆粒的投影面積應為 A = da2 / 4 = abl 式中式中 a 是面積比。是面積比。 顆粒的體積則應為投影面積和平均

46、厚度的乘積，即顆粒的體積則應為投影面積和平均厚度的乘積，即 V = V， ，a da3 = ablPrt 式中式中 Pr 稱作擬棱體比。稱作擬棱體比。 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 由前面的式子可得由前面的式子可得 n a r av m P 8 . 令顆粒各向距離相等，即令顆粒各向距離相等，即 l = b =t ，則則 n = m = 1 ，體積系數特征值為體積系數特征值為 a r e P 8 因此，因此，e 可作顆粒形狀系數的定義式。可作顆粒形狀系數的定義式。 當顆粒各向尺寸不等時有當顆粒各向尺寸不等時有 nm e av . 證實：顆粒形狀是由其幾何形狀和相對比例

47、兩種特征相結合而確定的。證實：顆粒形狀是由其幾何形狀和相對比例兩種特征相結合而確定的。 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 2、形狀指數、形狀指數 ( shape index ) 形狀指數和形狀系數不同，它和具體的物理量無關，只用數學表達式形狀指數和形狀系數不同，它和具體的物理量無關，只用數學表達式 來描述顆粒的外形。常見的形狀指數有來描述顆粒的外形。常見的形狀指數有球形度球形度、伸長度伸長度、粗糙度粗糙度等。等。 (1) 球形度球形度 廣為應用的廣為應用的球形度球形度 s 的定義式的定義式為：為： 粒粒 球球 顆顆粒粒的的實實際際表表面面積積 面面積積與與顆顆粒粒等等體

48、體積積的的圓圓球球表表 S S s 上面是最早的定義式，另外球形度的定義式還有上面是最早的定義式，另外球形度的定義式還有 22 , 4 1 dd av av s 式中式中 av 是等效球的平均半徑值，此處的等效球和顆粒有同一中心點；是等效球的平均半徑值，此處的等效球和顆粒有同一中心點； 是球坐標中空間某點到中心點的距離；是球坐標中空間某點到中心點的距離；、分別為經度、緯度。分別為經度、緯度。 (1) 球形顆粒 (2) 非球形顆粒 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 (2) 伸長度伸長度 Z min2/ / FF ddZ 式中式中 dFmin 是最小的是最小的 Feret

49、直徑值；直徑值；dF/2 是垂直于是垂直于 dFmin 的直徑值。的直徑值。 (3) 粗糙度粗糙度 粗糙度粗糙度最早的定義最早的定義是顆粒的實際表面積與把顆粒外觀看成光滑時的表是顆粒的實際表面積與把顆粒外觀看成光滑時的表 面積之比，即面積之比，即 1 表表面面積積外外觀觀看看成成光光滑滑時時的的顆顆粒粒 顆顆粒粒的的實實際際表表面面積積 粗粗糙糙度度P 實際應用實際應用時可作如下處理：時可作如下處理： 積積用用滲滲透透法法測測得得的的比比表表面面 積積用用吸吸附附法法測測得得的的比比表表面面 粗粗糙糙度度P 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 其它關于粗糙度的其它關于粗糙

50、度的數學表達式數學表達式有：有： 2 2 0 2 0 2222 )( 2 1 )( 2 1 )()( dRdRRRP 式中式中 R 為矢徑，為矢徑， 為極角。上式第一項是顆粒投影平均半徑的平方；第二為極角。上式第一項是顆粒投影平均半徑的平方；第二 項是與顆粒投影等周長的圓的半徑的平方。項是與顆粒投影等周長的圓的半徑的平方。 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 3、傅立葉分析法、傅立葉分析法 ( Fourier analysis method ) 傅立葉分析法是一種先進的圖像處理技術，為顆粒形態研究提供了現傅立葉分析法是一種先進的圖像處理技術，為顆粒形態研究提供了現 代、科

51、學和方便的方法。自代、科學和方便的方法。自 70 年代開始，美國、加拿大、德國等一些學年代開始，美國、加拿大、德國等一些學 者對它進行了研究，結果表明，各階者對它進行了研究，結果表明，各階 Fourier 系數可作為形狀指數來看待。系數可作為形狀指數來看待。 Fourier 分析法有分析法有 ( R , ) 法法和和 ( , l ) 法法，分別用于無凹形和凹形顆粒，分別用于無凹形和凹形顆粒 分析。分析。 ( R , ) 法即極坐標法。法即極坐標法。其分析的簡單其分析的簡單步驟步驟是：先在顆粒輪廓上取點，是：先在顆粒輪廓上取點， 測量出每個點的測量出每個點的 ( x , y ) 坐標，求出重心作

52、為原點，然后把直角坐標轉換坐標，求出重心作為原點，然后把直角坐標轉換 成成 ( R , ) 極坐標，再將極坐標，再將 R ( ) 函數按函數按 Fourier 級數展開如下級數展開如下 1 0 1 0 )sincos()cos()( n nn n nn nbnaAnAAR 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 前面式中前面式中 A0 、An 、an 、bn 是是 Fourier 系數；系數；n 是相角；是相角；n 是展開項數；是展開項數； A0 、An 、an 、bn 、 n 按下列各式計算：按下列各式計算： dRA 2 0 0 )( 2 1 dnRan 2 0 cos)(

53、 1 dnRbn 2 0 sin)( 1 222 nnn baA nnn abtg/ 這樣便可得到一系列的系數這樣便可得到一系列的系數 An 和和n ，用來再現顆粒形狀。前述的用來再現顆粒形狀。前述的形形 狀指數、球形度、伸長度和粗糙度都可以用狀指數、球形度、伸長度和粗糙度都可以用Fourier 系數計算出來系數計算出來。 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 在二維情況下，在二維情況下，球形度球形度就是圓形度，即就是圓形度，即 1 22 )( n nns ba 伸長度伸長度為：為： 1 20 1 20 ) 1(22 22 n n n n n aA aA CARZ 粗糙度粗

54、糙度為：為： 2/1 1 2 1 n n AP 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析 此外，還可得到顆粒形狀的其它參數，如此外，還可得到顆粒形狀的其它參數，如顆粒的投影面積顆粒的投影面積為為 )( 2 1 )( 2 1 1 222 0 2 0 2 n nn baAdRS 顆粒投影面平均直徑顆粒投影面平均直徑為為 dRAd 2 0 0 )( 2 1 與顆粒投影面積相等的圓的半徑與顆粒投影面積相等的圓的半徑為為 2 1 1 22 00 2 1 n n AAR 顆粒的不規則度顆粒的不規則度為為 2 00 )/(ARIRR 2.2.22.2.2顆粒形狀的定量分析顆粒形狀的定量分析

55、顆粒外形半徑分布平均值的顆粒外形半徑分布平均值的 n 階矩為階矩為 n ，即即 2 0 0 )( 2 1 dAR n n 從而可得出一階矩從而可得出一階矩1 ，二階矩二階矩2 等等。其中等等。其中 1 = 0 ， 2 / R02 為半徑分布為半徑分布 方差，方差，3 / R03 為半徑分布的偏畸度等等。為半徑分布的偏畸度等等。 R()是單值函數，而在凹形處的是單值函數，而在凹形處的R()是多值函數。因此，是多值函數。因此，R() 法不適法不適 用于凹形顆粒。對凹形顆粒來說，應使用用于凹形顆粒。對凹形顆粒來說，應使用( , l ) 法，即切線法來計算。法，即切線法來計算。 Fourier 分析法

56、是在顆粒二維斷面基礎上進行的數值化處理，它僅適分析法是在顆粒二維斷面基礎上進行的數值化處理，它僅適 用于表征粗糙度不大的顆粒，對粗糙或高凹的顆粒就不適用了。由用于表征粗糙度不大的顆粒，對粗糙或高凹的顆粒就不適用了。由 Kaye 等人提出，并經等人提出，并經 Clark 等人發展的分數維分析法，即能表征顆粒的宏觀形等人發展的分數維分析法，即能表征顆粒的宏觀形 狀，又能適用于非常粗糙和高凹形的顆粒，其缺點是比較冗長。狀，又能適用于非常粗糙和高凹形的顆粒，其缺點是比較冗長。 2.2.32.2.3形狀系數的應用形狀系數的應用 1、不同測量方法測值的比較和轉換、不同測量方法測值的比較和轉換 用不同測量方

57、法所得的結果（粒度及其分布）不同，因為不同方法所用不同測量方法所得的結果（粒度及其分布）不同，因為不同方法所 指的特征值不同，而數值上的差別又取決于形狀。指的特征值不同，而數值上的差別又取決于形狀。 如果被測物料為球形顆粒，其粒度及粒度分布可用各種方法測量，所如果被測物料為球形顆粒，其粒度及粒度分布可用各種方法測量，所 得結果一致，因球形顆粒的得結果一致，因球形顆粒的“粒度粒度”是唯一的。而對不規則顆粒，用不同是唯一的。而對不規則顆粒，用不同 的測量方法將得到不同的結果。實際上，同一物料用不同儀器測量得到的的測量方法將得到不同的結果。實際上，同一物料用不同儀器測量得到的 粒度分布曲線形狀是相同

58、的。而且用某儀器測得的粒度與用另一種儀器測粒度分布曲線形狀是相同的。而且用某儀器測得的粒度與用另一種儀器測 得的粒度大小成一定比例，該比例系數就是得的粒度大小成一定比例，該比例系數就是形狀系數形狀系數，即，即 212, 1 / dd 式中式中 1 , 2 為形狀系數，為形狀系數，d 1 、d 2 分別為用兩種儀器測得的粒度。分別為用兩種儀器測得的粒度。 2.2.32.2.3形狀系數的應用形狀系數的應用 因此，若顆粒形狀不隨其尺寸變化而變化，則通過形狀系數可轉換不因此，若顆粒形狀不隨其尺寸變化而變化，則通過形狀系數可轉換不 同儀器的測值。同儀器的測值。 例如：例如： Microtrac 法法是利

59、用呋瑯和費光衍射原理，得到的是體積直徑。是利用呋瑯和費光衍射原理，得到的是體積直徑。 Sedigraph 法法是沉積分析的一種，得到的是斯托克斯直徑。是沉積分析的一種，得到的是斯托克斯直徑。 若已知若已知Sedigraph 法測得的粒度分布和形狀系數法測得的粒度分布和形狀系數 M.S ，則利用則利用M.S 值值 很容易就轉換成很容易就轉換成 Microtrac 的粒度分布。即的粒度分布。即 SMsM dd . 2.2.32.2.3形狀系數的應用形狀系數的應用 2、綜合全級的粒度分布資料、綜合全級的粒度分布資料 礦物加工過程中的顆粒，常常有很寬的粒度范圍，特別是在選礦工藝礦物加工過程中的顆粒，常

60、常有很寬的粒度范圍，特別是在選礦工藝 中，粒度范圍可達中，粒度范圍可達 103 倍或更大。因此，一般都需用兩種或兩種以上的分倍或更大。因此，一般都需用兩種或兩種以上的分 析方法，分別對粗細粒級進行測量。析方法，分別對粗細粒級進行測量。 如礦粉的粒度小于如礦粉的粒度小于 100 目，于是目，于是 100400 目粗粒級可用篩分法分析，目粗粒級可用篩分法分析， 小于小于 400 目的礦粉用沉積分析法測量。結果便得到兩種不同方法的粒度特目的礦粉用沉積分析法測量。結果便得到兩種不同方法的粒度特 性曲線。或前者測得粒度為篩分直徑性曲線。或前者測得粒度為篩分直徑 dA ，后者測得斯托克斯直徑為后者測得斯托