1、第3章 離散傅里葉變換 第3章 離散傅里葉變換 3.1 引言引言 3.2 傅里葉變換的幾種可能形式傅里葉變換的幾種可能形式 3.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)（周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS） 3.4 離散傅里葉級數(shù)（離散傅里葉級數(shù)（DFS）的性質(zhì)）的性質(zhì) 3.5 有限長序列離散傅里葉變換（有限長序列離散傅里葉變換（DFT） 3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 3.7 抽樣抽樣Z變換變換-頻域抽樣理論頻域抽樣理論 3.8 利用利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近對連續(xù)時間信號的逼近 第3章 離散傅里葉變換 3.1 引引 言言 在第2章中討論了序列的傅里葉變換和Z變換。由于數(shù)字計 算機(jī)只

2、能計算有限長離散序列，因此有限長序列在數(shù)字信號處 理中就顯得很重要， 當(dāng)然可以用Z變換和傅里葉變換來研究它， 但是，這兩種變換無法直接利用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計算。針對序 列“有限長”這一特點(diǎn)，可以導(dǎo)出一種更有用的變換：離散傅 里葉變換（Discrete Fourier Transform， 簡寫為DFT）。它本身 也是有限長序列。 第3章 離散傅里葉變換 一一.DFT是重要的變換是重要的變換 1.分析有限長序列的有用工具。分析有限長序列的有用工具。 2.在信號處理的理論上有重要意義。在信號處理的理論上有重要意義。 3.在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、 卷積、相關(guān)都可

3、以通過卷積、相關(guān)都可以通過DFT在計算機(jī)上在計算機(jī)上 實現(xiàn)。實現(xiàn)。 第3章 離散傅里葉變換 二二.DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁是現(xiàn)代信號處理橋梁 DFT要解決兩個問題：要解決兩個問題： 一是離散與量化，一是離散與量化， 二是快速運(yùn)算。二是快速運(yùn)算。 信號處理信號處理DFT(FFT) 傅氏變換傅氏變換離散量化離散量化 第3章 離散傅里葉變換 3.2傅里葉變換的幾種可能形式傅里葉變換的幾種可能形式 作為有限長序列的一種傅里葉表示法，離散傅 里葉變換除了在理論上相當(dāng)重要之外，而且由 于存在有效的快速算法快速離散傅里葉變 換，因而在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核 心作用。 有限長序列的離散傅里葉變換（DF

4、T）和周期 序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）本質(zhì)上是一樣 的。為了討論離散傅里葉級數(shù)與離散傅里葉變 換，我們首先來回顧并討論傅里葉變換的幾種 可能形式，見圖3-1所示。 第3章 離散傅里葉變換 一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換（FT）-傅氏反變換 dtetxjX tj )()(:正 dejXtx tj )( 2 1 )(: 反 0 )( jX 0 t )(tx 第3章 離散傅里葉變換 二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù)（FS） 2/ 2/ 0 0 )( 1 )(: p p T T tjk p dtetx T jkX正 0 t p T )(tx - - k tjk ejkXtx 0 )()

5、(: 0 反 0 )( 0 jkX p T 2 0 第3章 離散傅里葉變換 三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-序列的傅氏變 換（DTFT） n TjnTj enTxeX)()(:正 x(nT) T -T 0T2T t 0 T s 2 )( Tjj eXeX 或 - 2/ 2/ )( 1 )(: s s deeXnTx TjnTj s 反 第3章 離散傅里葉變換 四.離散時間、離散頻率的傅氏變換DFSDFT 0 0 0 2 0 1 2 3 )1( )1( 0 N N N N 0 k )( )( 0 kx ex Tjk T f T s s 1 2 0 N s F T p 2 2 0 x(nT)=x

6、(n) F T p 1 t 0T 2T 1 2 N NTT p n NT 第3章 離散傅里葉變換 圖 3-1 各種形式的傅里葉變換 xa(t) t xp(t) o o t Tp x(nT) o N點(diǎn) xp(n) o N點(diǎn) nT n (a) (b) (c) (d) |Xa( j)| 1 0 o 0 |Xp( jk)| o k |X( ej)| 1/T |X( ejk)| s o o N點(diǎn) s T 第3章 離散傅里葉變換 表表3-1 四種傅里葉變換形式的歸納四種傅里葉變換形式的歸納 連續(xù)和非周期 非周期和連續(xù) 連續(xù)和周期 非周期和離散 離散和非周期 周期和連續(xù) 離散和周期 周期和離散 第3章 離散

7、傅里葉變換 可以得出一般的規(guī)律：一個域的離散對應(yīng)另一個域的周期 延拓， 一個域的連續(xù)必定對應(yīng)另一個域的非周期。 離離 散散 周周 期期 連連 續(xù)續(xù)非非 周周 期期 . T ,T ; T T* s p p 2 2 0 頻域的周期為時域的離散間隔為 為函數(shù)，頻域的離散間隔時域是周期為 第3章 離散傅里葉變換 為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其 離散傅里葉級數(shù)（DFS）表示。 一個周期為N的周期序列，即 ， k為任意整數(shù)，N為周期 周期序列不能進(jìn)行Z變換，因為其在 n=-到+ 都周而 復(fù)始永不衰減，即 z 平面上沒有收斂域。但是，正象連 續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達(dá)，周期序列也可用

8、離散 的傅氏級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。 )( )( kNnxnx 3.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS) 第3章 離散傅里葉變換 n N j e)n(e 2 1 kn N 2 j k e)n(e 周期為N的正弦序列其基頻成分為： K次諧波序列為： kn N jn)Nk( N j ee 22 但離散級數(shù)所有諧波成分中只有N個是獨(dú)立的，這是與連 續(xù)傅氏級數(shù)的不同之處， 即 因此 )()(nene kNk 第3章 離散傅里葉變換 將周期序列展成離散傅里葉級數(shù)時，只需取 k=0 到 (N-1) 這N個獨(dú)立的諧波分量，所以一個周期序列的離 散傅里葉級數(shù)只需包

9、含這N個復(fù)指數(shù)， 利用正弦序列的周期性可求解系數(shù) 。 將上式兩邊乘以 ，并對一個周期求和 1 0 2 1 N K kn N j e )k(X N )n(x )( kX rn N j e 2 第3章 離散傅里葉變換 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 22 1 1 N k N n n)rk( N j N n N n N k n)rk( N jrn N j e)k(X N e )k(X N e )n( x rk sNrk , , e N N n n)rk)( N ( j 0 1 1 1 0 2 第3章 離散傅里葉變換 上式中 部分顯然只有當(dāng)k=r時才有值為1,其他任意k值時均為 零,所以有

10、 或?qū)憺?1) 可求 N 次諧波的系數(shù) 2） 也是一個由 N 個獨(dú)立諧波分量組成的傅立葉級數(shù) 3） 為周期序列，周期為N。 )r(X e )n(x N n rn N j 1 0 2 10)( )( 1 0 2 NkenxkX N n kn N j )( kX )( kX )( kX 第3章 離散傅里葉變換 )k(X e )n(x e )n(x )mNk(X N n kn N j N n n)mNk( N j 1 0 2 1 0 2 時域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上 仍是一個周期序列。 第3章 離散傅里葉變換 是一個周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS) 變換對，這種對稱關(guān)系可表為： 習(xí)慣上：

11、記 )( )( nxkX 1 0 2 N n kn N j e )n(x )n(x DFS)k(X 1 0 2 1 N n nk N j e )k(X N )k(X IDFS)n(x N j N eW 2 第3章 離散傅里葉變換 DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮 長序列，但是只要知道它一個周期的內(nèi)容（一個周期 內(nèi)信號的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所 以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有 用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。 1 0 1 0 )( )( 1 )( )( )( )( N k kn N N n kn N kXIDFSWkX N nx nxDFS

12、WnxkX 則DFS變換對可寫為 DFS 離散傅里葉級數(shù)變換 IDFS離散傅里葉級數(shù)反變換。 第3章 離散傅里葉變換 ：eW N j N 的性質(zhì) 2 1、共軛對稱性 2、周期性 3、可約性 4、正交性 復(fù)正弦序列均有正交特性 n N n N WW 為整數(shù)iWW iNn N n N n N in Ni n i /N in N WW,WW iNmn, iNmn, W N WW N N k kmn N N k mk N nk N 0 1 11 1 0 1 0 第3章 離散傅里葉變換 的一個周期內(nèi)序列記作 ,而且)( nx nx 用Z變換的求 ：)( kX 0 )( )()( )( nx nRnxnx

13、 N 0nN-1 其他n 通常稱x(n)為 的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為 )( nx 1 0 )( )()( N n n n n znxznxzX 第3章 離散傅里葉變換 可見， 是Z變換 在單位圓上抽樣，抽 樣點(diǎn)在單位圓上的N個等分點(diǎn)上，且第一個抽樣點(diǎn)為 k=0。 k N j eZ 2 )( )()( 1 0 22 kX enxeX N n kn N jk N j )( kX )(ZX 如果 ，則有 ZjIm ZRe 1 2 3 4 5 6 7(N-1) N 2 k=0 第3章 離散傅里葉變換 例例3-1 設(shè) 為周期脈沖串)( nx )rNn( )n(x r 因為對于0nN-1，, 所

14、以 的DFS系數(shù)為 )()( nnx )( nx 1)()( )( 1 0 1 0 nk N N n nk N N n WnWnxkX 在這種情況下，對于所有的k值 均相同。)( kX 1 0 2 1 0 11 N k nk N j nk N N kr e N W N )rNn( )n(x 可以看出，只要知道了周期序列的一個周期的內(nèi)容，則它的其他可以看出，只要知道了周期序列的一個周期的內(nèi)容，則它的其他 內(nèi)容內(nèi)容 均可知。即：只有均可知。即：只有N個序列值（而不是無窮個）有信息。個序列值（而不是無窮個）有信息。 第3章 離散傅里葉變換 例例3-2 已知周期序列 如圖所示，其周期N=10 , 試求

15、 解它的傅里葉級數(shù)系數(shù) 。 )( nx )( kX 例3-2的周期序列 （周期N=10） )( nx 100 1 2 3 4 5 6 7 8 910 n )( nx 第3章 離散傅里葉變換 解： 10 2 1 1 52 101010 222 5 4 0 10 2 10 110 0 /ksin /ksin e eee eee e e eW)n(x )k(X /kj /k j/k j/k j /k j/k j/k j /k j k j n nk j nk n 序列的傅里葉級數(shù)系數(shù) 的幅值 )( kX 第3章 離散傅里葉變換 例例3-3 為了舉例說明傅里葉級數(shù)系數(shù) 和周期信號 的 一個周期的傅里葉變

16、換之間的關(guān)系，我們再次研究例3-2所示的 序列 。 令序列 的一個周期序列為： )( kX)( nx )( nx)( nx 0 1 )(nx 0n4 其他 則 的一個周期序列的傅里葉變換是 )( nx )2/5sin( )2/5sin( 1 1 )( 2 4 0 5 j n j j njj e e e eeX )10/sin( )10/5sin( )()( 10 4 10/2 k k eeXkX k j k j 可以證明，若將=2k/10 代入上式， 即 )n( x 第3章 離散傅里葉變換 上圖所示序列的一個周期作傅里葉變換的幅值 下圖表明一個周期序列的DFS系數(shù)等于主值區(qū)序列的傅里葉 變換的

17、抽樣，抽樣間隔為2/10 第3章 離散傅里葉變換 3.4 離散傅里葉級數(shù)（離散傅里葉級數(shù)（DFS）的性質(zhì)）的性質(zhì) 由于可以用抽樣變換來解釋DFS，因此它的許多性質(zhì)與 變換性質(zhì)非常相似。但是，由于 和 兩者都具有周期性， 這就使它與Z變換性質(zhì)還有一些重要差別。此外，DFS在時域和 頻域之間具有嚴(yán)格的對偶關(guān)系，這是序列的Z變換所不具有的。 設(shè) 和皆是周期為N的周期序列，它們各自的DFS 分別為： )( nx)( kX )( 1 nx)( 2 nx )( )( )( )( 22 11 nxDFSkX nxDFSkX 第3章 離散傅里葉變換 一、一、 線性線性 )( )( )( )( 2121 kXb

18、kXanxbnxaDFS 式中，a和b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周 期為N。 第3章 離散傅里葉變換 二、二、 序列的移位序列的移位 )k(X e)k(X W)mn(x DFS mk N j mk N 2 證 mk N ki N mN mi nk N N n WWix WmnxmnxDFS 1 1 0 )( )( )( i=n+m 由于 都是以N為周期的周期函數(shù)， 故 ki N Wix及)( )( )( )( 1 0 kXWWixWmnxDFS mk N ki N N i mk N 第3章 離散傅里葉變換 三、調(diào)制特性 如果 則有 )( )( kXnxDFS )( )( mkX

19、nxWDFS mn N 第3章 離散傅里葉變換 證明： )( )( )( )( 1 0 )( 1 0 mkX Wnx WnxWnxWDFS N n nmk N kn N N n mn N mn N m n N jnm N jmn N j mn N eeeW)( 222 時域乘以虛指數(shù)( )的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。 n N j e 2 第3章 離散傅里葉變換 四、四、 周期卷積周期卷積 如果 )( )( )( 21 kXkXkY 則 ）（mnxmxkYIDFSny N m 2 1 0 1 )( )( )( 或 ）（mnxmxny N m 1 1 0 2 )( )( 證證 kn N N k

20、 WkXkX N kXkXIDFSny ）（ 2 1 0 121 )( 1 )( )( )( 代入 mk N N m WmxnX 1 0 11 )( )( 第3章 離散傅里葉變換 得 )( )( 1 )( )( 1 )( 2 1 0 1 )( 2 1 0 1 0 1 )( 2 1 0 1 0 1 mnxmx WkX N mx WkXmx N ny N m kmn N N k N m kmn N N k N m ）（ ）（ 將變量進(jìn)行簡單換元，即可得等價的表示式 ）（mnxmxny N m 1 1 0 2 )( )( 第3章 離散傅里葉變換 上式是一個卷積公式， 但是它與非周期序列的線性卷積不

21、同。 首先， 和（或 和 都是變量m的周期序列，周期為N，故乘積也是周期為N的周期 序列; 其次，求和只在一個周期上進(jìn)行，即m=0到N-1，所以稱 為周期卷積。 周期卷積的過程可以用下圖來說明，這是一個N= 的周期 卷積。 )( 1 mx)( 2 mnx)m(x 2 )( 1 mnx mm )mn( x)m(h)mn(h)m( x)n(h)n( x)n( y 范圍內(nèi)到線性卷積和的求和是在 第3章 離散傅里葉變換 110101101010100 5 0 21 m )m(x )m(x )( y )( 2 mx （1）將 翻褶， 得到 )m(x 2 第3章 離散傅里葉變換 1101001010111

22、11 5 0 21 m )m(x )m(x )( y )( 2 mx )1 ( 2 mx（2）將 右移一位、得到 可計算出： 第3章 離散傅里葉變換 （3）將 再右移一位、得 ， 可計算出： )m(x 1 2 )2( 2 mx 3 100001011121 )2()( )2( 5 0 21 m mxmxy （4）以此類推， ,)(y 43 ,)(y 44 3)5( y 第3章 離散傅里葉變換 )( ny n 1 3 4 4 計算區(qū) 3 1 第3章 離散傅里葉變換 由于DFS和IDFS變換的對稱性，可以證明時域周期序列的 乘積對應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果 )( )( )( 21 nxn

23、xny 則 )( )( 1 )( )( 1 )( )( )( 1 1 0 2 2 1 0 1 1 0 lkXlX N lkXlX N WnynyDFSkY N l N l N n nk N (3-38) 第3章 離散傅里葉變換 3.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 有限長序列的離散頻域表示有限長序列的離散頻域表示 上節(jié)討論可知，周期序列實際上只有有限個序列值有意 義， 因而它和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周 期序列和有限長序列之間的關(guān)系，由周期序列的離散傅里 葉級數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長序列的離散頻域表示即離散 傅里葉變換（DFT）。 第3章 離散傅里葉變換 為了引用周期序列

24、的概念，我們把它看成周期為N的周期序 列 的一個周期，而把 看成x(n)的以N為周期的周期延拓， 即表示成: )( nx)( nx n Nnnx nx 其他0 10)( )( r rNnxnx)()( 設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上 有值，其他n時，x(n)=0。即 n Nnnx nx 其他0 10)( )( 第3章 離散傅里葉變換 第3章 離散傅里葉變換 r rNnxnx)()( 通常把 的第一個周期n=0 到n=N-1 定義為“主值區(qū)間”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而 稱為x(n)的周期延拓。對不同r值x(n+rN)之間彼此并不

25、重疊， 故上式可寫成 )( nx )( nx)( nx N nxNnxnx)()mod()( 第3章 離散傅里葉變換 一.預(yù)備知識 余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式 如果 ， m為整數(shù)；則有： 此運(yùn)算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為 。 是 的解,或稱作取余數(shù),或說作n對N取 模值, 或簡稱為取模值,n模N。 mNnn 1 10 1 Nn 1 n )( 1 n Nn 1 nn N 第3章 離散傅里葉變換 例如： (1) (2) 725 279225 9,25 9 1 nNn Nn 54 5594 9,4 9 Nn Nn 第3章 離散傅里葉變換 二.有限長序列x(n)和周期序列 的關(guān)系)n(x = )( nx, 0

26、nN-1 0 , 其他n )n( x 周期序列 是有限長序列x(n)的周期延拓。)( nx 有限長序列x(n)是周期序列 的主值序列。)( nx Nnx)n(x )()( )(nRnxnx N 或 第3章 離散傅里葉變換 如： N-1 n x(n) 0 . n )( nx 0N-1 定義從n=0 到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。 第3章 離散傅里葉變換 三.周期序列 與有限長序列X(k)的關(guān)系)( kX )()( )( )( kRkXkX kXkX N N 同樣， 周期序列 是有限長序 列X(k)的周期延拓。 而有限長序列X(k)是周期序列 的主值序列。 )( kX )( kX 第3

27、章 離散傅里葉變換 四.從DFS到DFT 1 0 )( )( )( N n nk N WnxnxDFSkX 1 0 )( 1 )( )( N k nk N WkX N kXIDFSnx 從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在 n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進(jìn)行。 因此可得到新的定義，即有限長序 列的離散傅氏變換(DFT)的定義。 第3章 離散傅里葉變換 1 0 1 0 )( 1 )()( )()()( N k nk N N n nk N WkX N kXIDFTnx WnxnxDFTkX, 0kN-1 , 0nN-1 或者： )()( )( )()( )( nRnxnx

28、kRkXkX N N 第3章 離散傅里葉變換 x(n)和X(k)是一個有限長序列的離散傅里葉變換對。我們稱 式X(k)為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT), x(n)為X(k)的N點(diǎn)離散傅 里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個序列，就能惟一地確定另一 個序列。這是因為x(n)與X(k)都是點(diǎn)數(shù)為N的序列，都有N個獨(dú)立 值（可以是復(fù)數(shù)），所以信息當(dāng)然等量。 此外，值得強(qiáng)調(diào)得是，在使用離散傅里葉變換時，必須注意 所處理的有限長序列都是作為周期序列的一個周期來表示的。 換句話說，離散傅里葉變換隱含著周期性。離散傅里葉變換隱含著周期性。 第3章 離散傅里葉變換 例一例一 已知序列x(n)=(n)

29、，求它的N點(diǎn)DFT。 解解 單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義得到： 1 0 0 1 N n N nk N WW)n()k(X k=0, 1, , N-1 (n)的X(k)如下圖。這是一個很特殊的例子，它表明對序列 (n)來說，不論對它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個離散 矩形序列。 第3章 離散傅里葉變換 序列(n)及其離散傅里葉變換 1 0n (n)X(k) 1 0 12N 1 k 第3章 離散傅里葉變換 例二例二 已知x(n)=cos(n/6)是一個長度N=12的有限長序列， 求它的N點(diǎn)DFT。 11 0 )1( 12 2 11 0 )1( 12 2 11 0 12 2 66

30、12 11 0 2 1 2 1 6 cos)( n knj n knj n nkj n j n j nk n ee eeeW n kX 利用復(fù)正弦序列的正交特性，再考慮到k的取值區(qū)間，可得 11, 0,0 11, 16 )( kk k kX 其他 解解 由DFT的定義，得： 第3章 離散傅里葉變換 有限長序列及其DFT 0 1 211 x(n) n01 X(k) 11n 第3章 離散傅里葉變換 例三例三 已知如下X(k): 1 3 )(kX k=0 1k9 求其10點(diǎn)IDFT。 解解 X(k)可以表示為 X(k)=1+2(k) 0k9 寫成這種形式后，就可以很容易確定離散傅里葉反變換。 從 例

31、一可知, 一個單位脈沖序列的DFT為常數(shù)1： )n()n(x )n(xDFT)k(X 1 11 1 第3章 離散傅里葉變換 即一個常數(shù)的DFT是一個單位脈沖序列, N )n(x 1 2 )( 5 1 )(nnx (k)(n)xDFT(k)X 22 N W)k( N W)k(X N )k(XIDFT)n( x N k nk N N k nk N 111 1 0 1 0 0kN-1 0nN-1 所以： 第3章 離散傅里葉變換 五、五、 DFT與序列傅里葉變換、與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 若x(n)是一個有限長序列，長度為N，對x(n)進(jìn)行Z變換 1 0 )()( N n n znxz

32、X 比較Z變換與DFT，我們看到，當(dāng)z=W-kN時 )()()( 1 0 nxDFTWnxzX N n nk N Wz k N 即 k N Wz zXkX )()( 第3章 離散傅里葉變換 表明 是Z平面單位圓上幅角為 的 點(diǎn)，也即將Z平面單位圓N等分后的第k點(diǎn)，所以X(k)也就是對 X(z)在Z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔抽樣值。此外，由于序列的傅 里葉變換X(ej)即是單位圓上的Z變換，DFT與序列傅里葉變換 的關(guān)系為 k N j k N eWz 2 k N W k N 2 N )e(X)e(X)e(X)k(X N k N j jk k N j N 2 2 2 第3章 離散傅里葉變換 上式說明X

33、(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間 0, 2上的N點(diǎn)等間隔抽樣，其抽樣間隔為N=2/N， 這就是 DFT的物理意義。顯而易見，DFT的變換區(qū)間長度N不同， 表示 對X(ej)在區(qū)間0, 2上的抽樣間隔和抽樣點(diǎn)數(shù)不同， 所以 DFT的變換結(jié)果也不同。 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系 jIm(z) o 2 N W 1 N W 0 N W k 0 )2( N N W )3( N N W Rez o X(ej) X(k) 第3章 離散傅里葉變換 例例 有限長序列x(n)為 0 1 )(nx 0n4 其余n 求其N=5 點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)。 解解 序列x(n)如圖所示。

34、在確定DFT時，我們可以將x(n)看作 是一個長度N5的任意有限長序列。首先我們以N=5 為周期將 x(n)延拓成周期序列 ，如圖（b）， 的DFS與x(n)的DFT 相對應(yīng)。因為在圖（ b）中的序列在區(qū)間0nN-1 上為常數(shù)值， 所以可以得出 )( nx 0 1 1 )( )/2 21 0 )/2( N e e ekX Nkj kjN n nNkj （ k=0, N, 2N, 其他 )( nx 第3章 離散傅里葉變換 也就是說，只有在k=0 和k=N 的整數(shù)倍處才有非零的DFS系 數(shù) 值。這些DFS系數(shù)如圖（c）所示。為了說明傅里葉級 數(shù) 與x(n)的頻譜X(ej)間的關(guān)系，在圖（c）中也畫

35、出了傅 里葉變換的幅值|X（ej)|。顯然， 就是X(ej)在頻率k=2k/N 處 的樣本序列。x(n)的DFT對應(yīng)于取 的一個周期而得到的有 限長序列X(k)。這樣，x(n)的5點(diǎn)DFT如圖（d）所示。 )( kx )( kX )( kX )( kX 0 5 1 1 )()( 5 2 2 15 0 5 2 kj kj n nkj e e enxkX k=0, 1, 2, 3, 4 k=0 k=0, 1, 2, 3, 4 第3章 離散傅里葉變換 （a） 有限長序列x(n); （b） 由x(n)形成的周期N=5的周期序列; （c） 對應(yīng)于 的傅里葉級數(shù) 和x(n)的傅里葉變換的幅度特性|X(ej

36、)|; （d） x(n)的DFT X(k) )( nx )( kX DFT的舉例說明N=5 第3章 離散傅里葉變換 （a） 有限長序列x(n); （b） 由x(n)形成的周期N=10的周期序列 ; （c）DFT的幅值 )n(x x(n) 1 04 n n 1 )( nx 041010 01010 5 3.24 1.24 1 1.24 3.24 k |X(k)| (a) (b) (c) DFT的舉例說明N=10 第3章 離散傅里葉變換 通過上面的講述，看起來的有限長序列x(n)和周期序列 之間的差別似乎很小，因為利用這兩個關(guān)系式可以直接從一個構(gòu) 造出另一個。然而在研究DFT的性質(zhì)以及改變x(n)

37、對X(k)的影響時， 這種差別是很重要的。 盡管DFT和DTFT非常相似，但它們是兩種完全不同的運(yùn)算。 DFT是一種數(shù)值運(yùn)算，它根據(jù)有限長數(shù)據(jù)x(n)計算有限個系數(shù)X(n) ； 而DTFT不具備計算可行性，因為它是基于無限長的序列x(n) 來求 解連續(xù)函數(shù)X()的。 )( nx 第3章 離散傅里葉變換 信號時域抽樣理論實現(xiàn)了信號時域的離散化，使我們能用數(shù)字 技術(shù)在時域?qū)π盘栠M(jìn)行處理。而離散傅里葉變換理論實現(xiàn)了頻域 離散化，因而開辟了用數(shù)字技術(shù)在頻域處理信號的新途徑，從而 推進(jìn)了信號的頻譜分析技術(shù)向更深更廣的領(lǐng)域發(fā)展。 第3章 離散傅里葉變換 3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) D

38、FT的一些性質(zhì)，本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且 是由有限長序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論 的序列都是N點(diǎn)有限長序列，用DFT表示N點(diǎn)DFT，且設(shè): DFTx1(n)=X1(k) DFTx2(n)=X2(k) 第3章 離散傅里葉變換 一、一、 線性線性 )()()()( 2121 kbXkaXnbxnaxDFT 式中，a, b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。 和 的長度N1和N2不等時， 選擇 為變換長度,短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。 )( 1 nx)( 2 nx 21, maxNNN 第3章 離散傅里葉變換 二.序列的圓周移位 1.定義 一個有限長序列 的圓周移位定義

39、為 這里包括三層意思： 先將 進(jìn)行周期延拓 再進(jìn)行移位 最后取主值序列： nRmnxnx NNm )( Nnxnx)( Nmnxmnx)( nRmnxnx NNm )( )n( x )n( x 第3章 離散傅里葉變換 第3章 離散傅里葉變換 2.圓周移位的含義圓周移位的含義 由于我們?nèi)≈髦敌蛄杏捎谖覀內(nèi)≈髦敌蛄衳(n)，即只觀察，即只觀察n=0到到N-1這一主這一主 值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相 同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來。如果把同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來。如果把 排列在一個排列在一個N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于等分

40、的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于 在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾 圈時，看到就是周期序列圈時，看到就是周期序列 : 。 )(nx )n(x 第3章 離散傅里葉變換 順時左移 1 2 3 4 5 n=0 N=6 第3章 離散傅里葉變換 圓周移位過程示意圖 (e) x(n) 21 n 0 N1N2 o n 0 N1 N2 2 1 n 0 N2 N1 ( f ) ( g ) 21 0 x(n) n 0n )( nx N nxnx)2()2( 0n )()2(nRnx NN 0N1n (a) (b) (c) (d ) N1 N1 N1 第3章 離散

41、傅里葉變換 3. 時域圓周移位定理時域圓周移位定理 設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)圓周移位，即 )()()(nRmnxny NN 則圓周移位后的DFT為 )()()()()(kXWnRmnxDFTnyDFTkY mk NNN 證證 利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。 )( )( )(kXWmnxDFSmnxDFS mk NN 第3章 離散傅里葉變換 再利用DFS和DFT關(guān)系 )( )()( )()( )()( kXW kRkXW nRmnxDFTnRmnxDFT mk N N mk N NNN 這表明，有限長序列的圓周移位在離散頻域中引入一個和頻率 成正比的線性相移 ，而對

42、頻譜的幅度沒有影響。 mk N j kn N eW 2 第3章 離散傅里葉變換 4. 頻域圓周移位定理頻域圓周移位定理 對于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個N等分的 圓周上，所以對于X(k)的圓周移位，利用頻域與時域的對偶關(guān) 系，可以證明以下性質(zhì)： 若 )()(nxDFTkX 則 )()()()( 2 nxenxWkRlkXIDFT nl N j nl NNN 這就是調(diào)制特性。它說明，時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。 第3章 離散傅里葉變換 三、對偶性三、對偶性 若 則 )()(nxDFTkX kRkNNx kRkNxX(n)DFT NN NN 第3章 離散傅里葉變換 四、圓周

43、共軛對稱性四、圓周共軛對稱性 1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量 周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量分 別定義為 同樣，有 )nN(x)n(x)n(x )n(x )n(x )nN(x)n(x)n(x )n(x )n(x N * N * o N * N * e 2 1 2 1 2 1 2 1 )n(x )n(x )n(x )n(x )n(x )n(x )n(x * oo * ee oe 第3章 離散傅里葉變換 2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量 有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱 分量分別定義為 由于 所以 這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度

44、相同 的兩個分量。 )n(R)nN(x)n(x)n(R)n(x )n(x )n(R)nN(x)n(x)n(R)n(x )n(x NN * NNoop NN * NNeep 2 1 2 1 )n(R)n(x )n(R)n(x )n(R)n(x )n(x )n(R)n(x )n( x NoNe NoeN )n(x)n(x)n( x opep 第3章 離散傅里葉變換 3.共軛對稱特性之一 證明： )k(R)kN(X )k(R)k(X)n(xDFT )n( xDFT)k(X NN * NN * 則如果， )k(R)kN(X)k(RW)n( x )k(RWW)n( x)k(RW)n( x )k(RW)n

45、(x)n(xDFT NN * N n N *n)kN( N N n N *nk N Nn N N n N *nk N N n N nk N * 1 0 1 0 1 0 1 0 第3章 離散傅里葉變換 4.共軛對稱特性之二 證明： 可知： )k(X)n(R)n(xDFT )n( xDFT)k(X * NN * 則如果， )k(XW)n( x W)n( xW)n( x W)n(R)n(x)n(R)n(xDFT * N n nk N * )N( n nk N * N n nk N N n nk NNN * NN * 1 0 1 0 1 0 1 0 )k(R)k(X)n(x NN * )k(X)n(R

46、)n(x * NN * 第3章 離散傅里葉變換 5.共軛對稱 特性之三 證明： )k(X)k(R)kN(X)k(X )n( xReDFT)n( xDFT)k(X epNN * N 2 1 ，則如果 )k(X)k(R)kN(X)k(X )k(R)kN(X)k(X )n(xDFT)n( xDFT)n( xReDFT )n(x)n( x)n( xRe epNN * N NN * * * 2 1 2 1 2 1 2 1 圓周共軛對稱分量。 的該序列復(fù)數(shù)序列實部的DFTDFT* 第3章 離散傅里葉變換 6.共軛對稱 特性之四 證明： )k(X)k(R)kN(X)k(X )n( xImjDFT)n( xD

47、FT)k(X opNN * N 2 1 ，則如果 )k(X)k(R)kN(X)k(X )k(R)kN(X)k(X )n(xDFT)n( xDFT)n( xImjDFT )n(x)n( x)n( xImj opNN * N NN * * * 2 1 2 1 2 1 2 1 圓周共軛反對稱分量。 的該序列的復(fù)數(shù)序列虛部乘以DFTDFTj* 第3章 離散傅里葉變換 7.共軛對稱特性之五、六 8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性 )n(xDFT)k(XImj )n(xDFT)k(XRe op ep ， 同樣，可證明： )k(R)kN(X)k(R)k(X)k(X)( )k(R)kN(

48、X)k(R)k(X)k(X)( NN * opNN * opop NN * epNN * epep 、 、 3 2 )k(X)k(X)k(X)( opep 、1 第3章 離散傅里葉變換 9.實、虛序列的對稱特性 當(dāng)x(n)為實序列時，根據(jù)特性之三，則 X(k)=Xep(k) 又據(jù)Xep(k)的對稱性： 當(dāng)x(n)為純虛序列時，根據(jù)特性之四，則 X(k)=Xop(k) 又據(jù)Xop(k)的對稱性： )k(R)kN(X)k(X NN * )k(R)kN(X)k(X NN * epep )k(R)k(X)k(X NN * opop )k(R)k(X)k(X NN * 第3章 離散傅里葉變換 五、五、

49、DFT形式下的帕塞伐定理形式下的帕塞伐定理 1 0 1 0 * )(*)( 1 )()( N k N n kYkX N nynx 證證 1 0 1 0 * 1 0 * 1 0 * 1 0 1 0 * )()( 1 )()( 1 )( 1 )()()( N k N n N n kn N N n N k kn N N n kYkX N WnxkY N WkY N nxnynx 如果令y(n)=x(n)，則式（2-62）變成 1 0 1 0 * )(*)( 1 )()( N k N n kXkX N nxnx 第3章 離散傅里葉變換 即 1 0 2 1 0 2 | )(| 1 | )(| N k N

50、 n kX N nx 這表明一個序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量是 相等的。 第3章 離散傅里葉變換 六、六、 圓周卷積圓周卷積 設(shè)x1(n)和x2(n)都是點(diǎn)數(shù)為N的有限長序列（0nN-1），且有： )()( )()( 22 11 kXnxDFT kXnxDFT 若 )()()( 21 kXkXkY 則 1 0 12 1 0 21 )()()( )()()( )()( N m NN N m NN nRmnxmx nRmnxmx kYIDFTny 表示x1(n)和x2(n)的 N點(diǎn)圓周卷積。 第3章 離散傅里葉變換 證證 這個卷積相當(dāng)于周期序列 和 作周期卷積后 再取其主值序列。 先將Y

51、(k)周期延拓， 即 )( 1 nx)( 2 nx )( )( )( 21 kXkXkY 根據(jù)DFS的周期卷積公式 N N m N N m mnxmxmnxmxny)()()( )( )( 1 0 212 1 0 1 第3章 離散傅里葉變換 由于0mN-1 為主值區(qū)間， ， 因此 )()( 11 mxmx N 1 0 21 )()()()()( )( N m NNN nRmnxmxnRnyny 將 式經(jīng)過簡單換元，也可證明 )( ny 1 0 12 )()()()( N m NN nRmnxmxny 第3章 離散傅里葉變換 卷積過程可以用圖來表示。圓周卷積過程中，求和變量為m, n為參變量。先

52、將x2(m)周期化，形成x2(m)N，再反轉(zhuǎn)形成x2(- m)N，取主值序列則得到x2(-m)NRN(m)，通常稱之為x2(m)的圓周 反轉(zhuǎn)。對x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列圓周右移n，形成x2(n-m)NRN(m)， 當(dāng)n=0,1,2,N-1時，分別將x1(m)與x2(n-m)NRN(m)相乘，并在 m=0 到N-1 區(qū)間內(nèi)求和，便得到圓周卷積y(n)。 N 第3章 離散傅里葉變換 x1(n) 1 N1 n x2(n) 1 N1 n x2(0 m)NRN(m) 1 N1 m o o o 圓周卷積過程示意圖圓周卷積過程示意圖 211110y 第3章 離散傅里葉變換 211113y 31111111y

53、 31111112y 第3章 離散傅里葉變換 圓周卷積過程示意圖圓周卷積過程示意圖 1114y 05y 1116y 第3章 離散傅里葉變換 )()()( )()()( 2 1 0 1 21 nRmnxmx nxnxny NN N m N 或 )()()( )()()( 1 1 0 2 12 nRmnxmx nxnxny NN N m N 可以看出,它和周期卷積過程是一樣的，只不過這里要取主值序列。 特別要注意，兩個長度小于等于N的序列的N點(diǎn)圓周卷積長度仍為N， 這與一般的線性卷積不同。圓周卷積用符號來表示。 圓周內(nèi)的N 表示所作的是N點(diǎn)圓周卷積。 N 第3章 離散傅里葉變換 根據(jù)時域與頻域的對

54、稱性，可得頻域圓周卷積定理： 若 )()()( 21 nxnxny x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長序列，則 N )k(X)k(X N )k(R)lk(X)l (X N )k(R)lk(X)l (X N )n( yDFT)k(Y NN N l NN N l 21 1 1 0 2 2 1 0 1 1 1 1 即時域序列相乘，乘積的DFT等于各個DFT的圓周卷積再乘以1/N。 第3章 離散傅里葉變換 七、有限長序列的線性卷積與圓周卷積七、有限長序列的線性卷積與圓周卷積 時域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積，而計算 DFT可以采用它的快速算法快速傅里葉變換（FFT）（見第 4章）， 因

55、此圓周卷積與線性卷積相比，計算速度可以大大加快。 但是實際問題大多總是要求解線性卷積。例如，信號通過線性 時不變系統(tǒng)，其輸出就是輸入信號與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的線 性卷積， 如果信號以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長序列， 那么是否能用圓周卷積運(yùn)算來代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？ 下面就來討論這個問題。 設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長序列（0nN1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的 有限長序列（0nN2-1）。 第3章 離散傅里葉變換 1.線性卷積 的長度為 的長度為 它們線性卷積為 )( 1 nx) 10( 11 NnN )( 2 nx) 10( 22 NnN m N m l mnxmxmnxmxny 1

56、 0 2121 1 )()()()()( 第3章 離散傅里葉變換 的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間. 例如: )( 1 mx10 1 Nm )( 2 mx10 2 Nmn 20 21 NNn )(nyl )( 1 nx 1 012 n )( 2 nx 1 012 n 3 1L 21 NN 3 1 N 4 2 N 第3章 離散傅里葉變換 m )( 2 mx -1-2-3 111)0( l y m )1 ( 2 mx 21111) 1 ( l y m )2( 2 mx 3111111)2( l y )( 1 mx 1 012 m 第3章 離散傅里葉變換 m )3(

57、2 mx 3111111)3( l y n )(nyl 21 0 1)5(, 2)4( ll yy同樣 3 1 4 5 2 3 3 2 1 )( 1 mx 1 012 m 6L 第3章 離散傅里葉變換 2. 用圓周卷積計算線性卷積 1 0 2121 )()()()()()( L m LL nRmnxmxnxnxny L L 先假設(shè)進(jìn)行L點(diǎn)的圓周卷積，再討論L取何值時，圓 周卷積才能代表線性卷積。 設(shè)y(n)=x1(n)x2(n)是兩序列的L點(diǎn)圓周卷積， LmaxN1, N2，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點(diǎn) 的序列。在這L個序列值中，x1(n)只有前N1個是非零 值，后L-N1個均為

58、補(bǔ)充的零值。同樣， x2(n)只有前 N2個是非零值，后L-N2個均為補(bǔ)充的零值。則 第3章 離散傅里葉變換 先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓 )()()( )()()( 222 111 rLnxnxnx kLnxnxnx r L k L 它們的周期卷積序列為 )( )()( )()( )( )( )( 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 rLny mrLnxmx mrLnxmx mnxmxny r L mr r L m L L m 第3章 離散傅里葉變換 前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個非零值。因此可以看到， 如果周期卷積的周期LN1+N2-1

59、，那么y1(n)的周期延拓就必然有 一部分非零序列值要交疊起來，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在 LN1+N2-1 時，才沒有交疊現(xiàn)象。這時, 在y1(n)的周期延拓 中， 每一個周期L內(nèi)，前N1+N2-1個序列值正好是y1(n)的全部非零序列 值，而剩下的L-(N1+N2-1)個點(diǎn)上的序列值則是補(bǔ)充的零值。 圓周卷積正是周期卷積取主值序列 )()()( 1 nRrLnyny L r )()( )()()( 21 nRnynxnxny L L 因此 第3章 離散傅里葉變換 所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要 條件為條件為 1 21 NNL 滿足

60、此條件后就有 )()( 1 nyny 即 x1(n) x2(n)=x1(n)*x2(n) L 第3章 離散傅里葉變換 x1(n) n 1N14 1230 x2(n) n 1 12340 N25 y1(n) N1 N2 18 n123405 6789 101 1 2 3 4 (a) (b) (c) 線性卷積與 圓周卷積 第3章 離散傅里葉變換 線性卷積 與圓周卷 積 x1(n) x2(n) L6 n 1 2 3 4 0 x1(n) x2(n) L8 n 1 2 3 4 x1(n) x2(n) L10 n 1 2 3 4 (d) (e) ( f ) 12345 01234567 012345678