1、第七章第七章 彎曲應力 (Bending Stress) 湘潭大學土木工程與力學學院 7.1 概述概述 7.2 純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力 7.4 橫力彎曲時的正應力、正應力強度條件橫力彎曲時的正應力、正應力強度條件 7.5 彎曲剪應力及其強度條件彎曲剪應力及其強度條件 7.7 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施 湘潭大學土木工程與力學學院 7.1 概述 湘潭大學土木工程與力學學院 彎曲時梁的橫截面上一般同時存在著兩種內力 剪力Q和彎矩M，這些內力皆是該截面內力系合成的 結果。由于剪力Q是和橫截面相切的內力，所以它是 與橫截面相切的剪應力t 的合力；而彎矩M作用面則

2、是 與橫截面垂直的力偶矩，故它是由與橫截面上垂直的 正應力s 合成的結果。總之，由于梁的橫截面上一般 同時存在彎矩和剪力，所以，梁的橫截面上一般即有 正應力s ，又有剪應力t 。本章將分別討論正應力s 和 剪應力t 在橫截面上的分布規律及其計算。 湘潭大學土木工程與力學學院 7.2 純彎曲時梁橫純彎曲時梁橫 截面上的正應力截面上的正應力 湘潭大學土木工程與力學學院 7.2.1 純彎曲純彎曲(pure bending) 下圖CD段稱為純彎曲 M Pa x x P P Q PP aa aa x x A A C C D B BD P P 湘潭大學土木工程與力學學院 constant 0 M Q 其它

3、段(如AC、DB)剪力不為零，則稱為剪切彎曲剪切彎曲 或橫力彎曲橫力彎曲。 在CD段 湘潭大學土木工程與力學學院 7.2.2 純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力 (a) (b) m m 現象：梁上的縱向線（包 括軸線）都彎曲成圓弧曲線， 靠近凹側一邊的縱向線縮短， 而靠近凸側一邊的縱向線伸長； 梁上的橫線仍為直線，各橫線 間發生相對轉動，不再相互平 行，但仍與梁彎曲后的軸線垂 直。在梁的縱線伸長區，梁的 寬度減小；而在梁的縱線縮短 區，梁的寬度增大。 湘潭大學土木工程與力學學院 假設梁的橫截面在純彎曲變形后仍保 持平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截 面只是繞其面內的某一軸線剛

4、性地轉了一 個角度。這就是彎曲變形的平面假設。 平面假設 湘潭大學土木工程與力學學院 假設梁的縱向纖維 間無擠壓，只是發生了 簡單的軸向拉伸或壓縮 。 中性層 中性軸 橫截面對稱軸 縱向對稱面 從縱向纖維伸長區到 縮短區，梁內必有一層纖 維既不伸長，又不縮短。 這一纖維層，稱為中性層。 中性層與橫截面的交線， 稱為中性軸 。 湘潭大學土木工程與力學學院 。，使一點 內必有異號，則在與連續，且在設 0 , f babfafbaxf 介值定理： 湘潭大學土木工程與力學學院 湘潭大學土木工程與力學學院 1. 幾何關系 圖示dx微段，其中x軸為假設的中性軸(待確定)，所以O1O2 在變形前后長度不變，

5、而變形后的弧段O1O2的轉角為dq，考慮 線段ab在變形后的線應變， dd dd y ydx ababyy xab q q q （ 對給定截面曲率半徑 為常數，所以y y ，也就是說截面上 某點的應變與該點到軸線的距離成正比。 y y 湘潭大學土木工程與力學學院 )(a 21 ab 21 1 o 2 o y x dx y 12 a 1 o 2 o b y 12 dx dq z )(b y E E s 2. 物理關系 湘潭大學土木工程與力學學院 y AA z A d0,d0 d NAMzA MyAM ss s z A dMyAMs 首先，有 2 dd z AA EEE Myy AyAI y I

6、M E z s 3. 靜力關系 z y z x dAs y o 湘潭大學土木工程與力學學院 橫截面上點的應力與該點 到中性軸的距離y成正比。其 分布圖如右示。 ddd0 z AAA EEE NAy Ay ASs M y z 可見z為過形心的軸。 d0 A NAs 考慮 湘潭大學土木工程與力學學院 00 yzyz A y II E dA Ey zM，則有同樣考慮 說明y、z為主慣性軸，從而它們為形心主慣性軸。 湘潭大學土木工程與力學學院 zz W M I My max max s maxz yIW z 其中 是構件橫截面的幾何性質，稱為抗彎截面模量（或截 面系數），量綱為長度3。 M y z 7

7、.2.3 梁橫截面上的最大正應力 湘潭大學土木工程與力學學院 對于高為h，寬為b的矩形截面，抗彎截面模量為 6212 23 max z z bhhbh y I W 32264 34 max z z ddd y I W 直徑為d的圓形截面 湘潭大學土木工程與力學學院 若梁的橫截面對中性軸不 對稱，則其截面上的最大拉應 力和最大壓應力并不相等，如 右圖示中的T形截面。這時， 應把y1和y2分別代入公式，計 算截面上的最大正應力，最大 拉應力為 z 1 maxt I My s 最大壓應力為： z 2 maxc I My s z M y 2 y 1 y x maxt s maxc s 湘潭大學土木工程

8、與力學學院 7.4 橫力彎曲時的正應力、正應力強度條件 湘潭大學土木工程與力學學院 7.4.1 橫力彎曲時的正應力 橫力彎曲時，由于橫截面上存在剪應力而且并非均 勻分布，所以，彎曲時橫截面將發生翹曲，這勢必使橫 截面再不能保持為平面(平面假設不適用)。特別是當剪 力隨截面位置變化時，相鄰兩截面的翹曲程度也不一樣。 這時，截面上除有因彎矩而產生的正應力外，還將產生 附加正應力(縱向纖維無擠壓假設不滿足)。另外，分布 載荷作用下的橫力彎曲，縱向纖維之間也是存在正應力 的。 湘潭大學土木工程與力學學院 彈性理論表明，對于橫力彎曲時的細長梁，即 截面高度遠小于跨度的梁，橫截面上的上述附加正 應力和縱向

9、纖維間的正應力都是非常微小的。這時 可以采用純彎曲時梁橫截面上的正應力公式來近似 z I My s 湘潭大學土木工程與力學學院 7.4.2 彎曲正應力強度條件及其應用 ss z max W M 對于鑄鐵等這一類抗拉和抗壓的能力不同脆性 材料，工程上常將此種梁的橫截面做成如T字形等對 中性軸不對稱的截面，其最大拉應力和最大壓應力 的強度條件分別為 湘潭大學土木工程與力學學院 t tmaxt z c cmaxc z () () My I My I ss ss 和最大壓應力點的坐標 分別表示最大拉應力、 ct yy z M y 2 y 1 y x maxt s maxc s 湘潭大學土木工程與力學學

10、院 例題例題 圖示所示外伸梁，用鑄鐵制成，截面為T字形， 已知梁的載荷P1=10kN，P2=4kN，鑄鐵的許用應力st =30MPa， sc =100MPa。截面的尺寸如圖所示，試 校核此梁的強度。 m1m1m1 1 P 2 P A C B B R A R 1 y 2 y z y 20 20 120 90 湘潭大學土木工程與力學學院 Nk11kN,3 BA RR 解 計算梁的支反力并作彎矩圖 mkN4 mkN3 - max max M M )(b )(a m1m1m1 1 P 2 P A C B B R A R mkN3 M mkN4 x 作梁的彎矩圖如圖所示 湘潭大學土木工程與力學學院 mm

11、50 201209020 8020120109020 2C yy 46 2 3 2 3 z m1089. 7 3020120 12 12020 402090 12 2090 I 確定截面形心位置并計算形心慣性矩 湘潭大學土木工程與力學學院 分別校核鑄鐵梁的拉伸和壓縮強度 在B截面(上拉下壓) )(c C M 1 y 2 y B M 33 B2 tmaxt 6 z 4 1050 10 25.1MPa 7.98 10 M y I ss 33 B1 cmaxc 6 z 4 1090 10 45.1MPa 7.98 10 M y I ss 湘潭大學土木工程與力學學院 33 c2 cmaxc 6 z 3

12、 1050 10 18.8MPa 7.98 10 M y I ss 33 c1 tmaxt 6 z 3 1090 10 33.8MPa 7.98 10 M y I ss 在C截面(上壓下拉) )(c C M 1 y 2 y B M 湘潭大學土木工程與力學學院 7.5 彎曲剪應力及其強度條件 湘潭大學土木工程與力學學院 )(a dx n 1 n m1 m 7.5.1 彎曲剪應力 矩形截面梁的彎曲剪應力 湘潭大學土木工程與力學學院 橫力彎曲的矩形截面梁任一橫截 面上剪力與縱向對稱軸重合。當截 面高度大于寬度時，關于矩形截面 上的剪應力分布規律，可作如下假 設： v截面上任意一點的剪應力都平行 于剪

13、力的方向。 v剪應力沿截面寬度均勻分布，即 剪應力的大小只與坐標y有關。 )(b h Q b z x y p 1 p t y 湘潭大學土木工程與力學學院 湘潭大學土木工程與力學學院 在基本假設基礎上矩形截面上點的剪應力分 布分析圖在右邊圖形中，pq1面上的應力是均勻分 布的，它等于截面上離中性軸距離為y的點處的剪 應力（剪應力互等定理）。或者說在橫截面上， 剪應力沿z軸方向均勻分布，而沿y軸方向的分布 是未知的待求。 湘潭大學土木工程與力學學院 m 1 m n 1 n MdMM QQ x dx 1 mm n 1 n 1 y x p 1 p 1 s 2 s t y y 2 y 2h 湘潭大學土木

14、工程與力學學院 為確定橫截面上剪應 力沿y軸方向的分布，選取 pp1n1n作為研究對象，先研 究各面上的內力合力。 1 y p 1 p t 2h 2 N 1 N 1dA s y z dx b n 1 n 11 * 1 zz d d * * A z A NA MM y AS II s 湘潭大學土木工程與力學學院 A*為橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積， 記 * z1d* A Sy A * z z 2 S I dMM N 1 y p 1 p t 2h 2 N 1 N 1dA s y z dx b n 1 n 湘潭大學土木工程與力學學院 21 0,d0XNNb xt * zz zz d d0

15、 MMM SSb x II t * z z d d SM x bI t 將N1、N2代入上式得 1 mm n 1 n x p 1 p 1 s 2 s t y y 2h 1 N 2 N 湘潭大學土木工程與力學學院 d d M Q x z * z bI QS t 故有 由載荷集度與截面內力關系知 此即為橫截面上剪應力分布規律 湘潭大學土木工程與力學學院 * z1 2 2 2 11 d d 24 * A b y Sy A b h by yy 2 2 42 y h I Q z t max t 2h 2h b * Ay 1 dy y 1 y z 對圖示矩形截面 z I Qh y h y 8 , 0; 0

16、, 2 2 max tt 湘潭大學土木工程與力學學院 ，得到進一步，考慮到 12 3 z bh I tt 2 3 2 3 2 3 max A Q bh Q 的平均應力。是按實用計算方式得到其中t 湘潭大學土木工程與力學學院 2 2 42 y h GI Q z 橫截面上的剪應變分析 翹曲 可見，剪應變 沿矩形截面的高度同樣按拋物線 規律變化。 由剪切Hooke定律，得 湘潭大學土木工程與力學學院 0, 2 8 , 0 2 max h y GI Qh y z 所以，橫力彎曲時由于截面上有剪力，橫截面將 發生翹曲(不翹曲的條件是纖維沿高度作線性變化)。 這時，梁的純彎曲正應力公式將受到影響(不符合平

17、 面假設)，這種影響在第一節中已作了較詳細的說明。 湘潭大學土木工程與力學學院 對圓形與工字形這 一類具有對稱軸的截面， 其剪應力分布都比較復 雜，而在材料力學中， 我們關心的往往是最大 剪應力。這里我們給出 對這類截面問題分析的 結論。 圓形與工字形截面梁的彎曲剪應力 湘潭大學土木工程與力學學院 A Q k max t ，工字性、箱形，圓形；矩形；134,23kkk 具有對稱性截面的 梁，其最大剪應力往往 發生在中性軸處，且可 寫為 翼緣 B max t min t y z b y h H腹板 其中k稱為截面系數 湘潭大學土木工程與力學學院 幾點說明 v對于工字鋼，其面積指的是腹板部分的面積

18、，在 查型鋼表計算時使用公式A=d(h-2t)。 v對于工字鋼而言，其腹板部分主要承受剪力(約 97%)，而翼緣部分主要承受彎矩 (也是約97%)。所 以在用經驗公式計算最大剪應力時，不計翼緣的面 積。 湘潭大學土木工程與力學學院 例題例題 試比較圖示受均布載荷q作用的矩形截面梁的 最大彎曲正應力和最大彎曲剪應力。 q B R lA R AB h b z 湘潭大學土木工程與力學學院 解 計算支反力并作 內力圖 2 2 ql )(c )(a q l A R A B B R 2 ql 2 ql )(b 2 ql RR BA 8 , 2 2 maxmax ql M ql Q 湘潭大學土木工程與力學學

19、院 計算梁的最大應力在梁的中間截面上的上、下邊緣 處有最大彎曲正應力 2 2 z max max 4 3 bh ql W M s bh ql bh Q 4 3 2 3 max max t h l bh ql bh ql 4 3 4 3 2 2 max max t s 湘潭大學土木工程與力學學院 z max * zmax max tt bI SQ max max tt A Q k 7.5.2 彎曲剪應力強度條件 或 湘潭大學土木工程與力學學院 例題 圖示簡易吊車梁，最大起重量（包括電葫蘆 的自重）為P=30kN，梁的跨度l=5m，許用應力s =160MPa，t=100MPa，試選擇該工字鋼梁的型

20、號。 湘潭大學土木工程與力學學院 解：吊車梁為工字鋼， 屬于細長薄壁截面梁， 因此，應先用梁的正應 力強度條件選擇工字鋼 的型號，然后再用梁的 剪應力強度條件進行校 核。 max M M P Q max Q 湘潭大學土木工程與力學學院 用正應力強度條件選擇工字鋼 的型號，梁的彎矩圖如右。 mkN5 .37530 4 1 4 max Pl M 3 6 3 max cm234 10160 105 .37 s M Wz 由梁的強度條件，有 max M M 查型鋼表知，應選20a號工字鋼，其Wz=237cm3。 湘潭大學土木工程與力學學院 校核梁的剪應力強度 當 起吊重物移至支座附近時， 該處截面上剪

21、力為最大，其 極限情況的剪力圖如圖e所 示。最大剪力為： PRQ Amax P Q max Q 湘潭大學土木工程與力學學院 查型鋼表可知20a號工字鋼的腹板d=7mm， cm2 .17 * z SI z MPa9 .24 102 .17107 1030 23 3 * z z max t t S I d Q 因此，選擇20a號工字鋼是合適的。 湘潭大學土木工程與力學學院 彎曲 應力 彎曲正 應力 彎曲剪 應力 y I M z s z max * zmax max bI SQ t A Q k max max t 以矩形截面承受正 的彎矩和剪力為例 maxc s maxt s max t 湘潭大學土

22、木工程與力學學院 maxc s maxt s max t ss z max W M tt tt A Q k bI SQ max max z max * zmax max 思考： 對上述矩形梁截面的正應力和剪應力極值點我們分別建立了 相應的強度條件，那么它們是不是就是最危險的點呢？而對 于除中性層和上下邊沿點以外的其它即存在正應力同時存在 剪應力的點是否可能是危險點呢？如果是，應該怎樣確定其 特征應力？ 湘潭大學土木工程與力學學院 7.7 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施 湘潭大學土木工程與力學學院 提高梁的靜強度的措施 由梁彎曲的正應力和剪應力強度條件在細長梁中前者占主 要地位，或者說前者

23、處于支配地位，所以要控制梁的靜強度應 以彎曲正應力強度條件來確定。 ss z max W M 根據彎曲正應力強度條件，具體地，我們有如下措施 v盡量降低梁的彎矩盡量降低梁的彎矩 v提高梁的抗彎截面模量提高梁的抗彎截面模量 v同時降低梁的彎矩和提高抗彎截面模量同時降低梁的彎矩和提高抗彎截面模量等強度梁等強度梁 湘潭大學土木工程與力學學院 ss z max W M 降低M降低smax 提高Wz降低smax 同時降低M 和提高Wz 目的smax=s 物盡其用 湘潭大學土木工程與力學學院 7.7.1 合理安排梁的支承及載荷 彎矩的降低幅值 %80 5 4 81 40181 x 8 2 ql l q q

24、 l l 2 . 0l 2 . 0 M 40 2 ql x 50 2 ql 1. 合力布置梁的支座 湘潭大學土木工程與力學學院 工程實例 湘潭大學土木工程與力學學院 P4l43l 163Pl 2. 合理布置載荷 使集中載荷盡量靠近支座 盡可能把較大的集中力分散為較小的力，或者改變成 分布載荷 彎矩降低幅 度25% 4Pl P 2l2l 湘潭大學土木工程與力學學院 2P2P 4l4l 8Pl 降低50% lPq 8Pl 降低50% 湘潭大學土木工程與力學學院 7.7.2 梁的合理截面 1. 根據截面的幾何特性選擇截面 為了減輕梁的自重、節省材料，梁所采用的截面 形狀應該是橫截面面積A較小，而抗彎

25、截面模量Wz相 對地較大的合理截面。截面形狀的合理性可用比值 Wz/A來衡量。 Wz/A比值越大，截面越合理。 湘潭大學土木工程與力學學院 矩形圓形圓環形槽鋼工字鋼 截面形狀 0.167h0.125h0.205h (0.270.31)h A Wz 8 . 0 湘潭大學土木工程與力學學院 2 根據材料的性質選擇合理截面 對于抗壓與抗拉性能相同的塑性材料，工程中一 般采用矩形、工字形等對稱于中性軸的截面。 對于像鑄鐵等脆性材料，由于抗拉能力低于抗壓 能力，則適宜選用不對稱于中性軸的截面，如T字形 截面等。此時，中性軸偏于截面一側。而且，設計時 要有意識地使截面的中性軸偏于梁的受拉一側。通過 設計截面尺寸，使梁的最大拉應