1、Vanderpol 系統的電路設計與實現摘要：Vanderpol系統是非線性系統中常用的混沌模型 之一。本論文通過介紹 Vanderpol 系統的背景，利用 Matlab 軟件中 Simulink 模塊搭建方程進行仿真，并且利用 Mutisim 軟件進行電路設計與模擬，得到了理想的結果。關鍵詞： Vanderpol 系統； Matlab 仿真；模擬電路仿真 中圖分類號： TN702 文獻標識碼： A 文章編號： 1001-828X（2015）008-000-01一、Vanderpol 系統的背景介紹范德坡爾系統是一種典型且具有重要意義的自激振蕩 1， 2。它是由范德坡爾在 1926 年研究電子

2、管振蕩回路時發現的， 經典 Vanderpol 方程的具體描述如下：（1）可見， 方程只有一個奇點 （0，0），我們將方程線性化， 如下：（2）由上式可以得到：（3）由此，可以分析得到以下幾種情況：（ 1）當時，方程具有兩個實數根，且為負數，平衡點（0，0）為穩定的結點；（ 2）當時，方程具有兩個復數根，并且實部為負，平 衡點（ 0， 0）為穩定的焦點；（ 3）當時，方程具有兩個虛數根，平衡點是中心；（ 4）當時，方程具有兩個具有正實部的復數根，平衡 點是不穩定的焦點；（ 5）當時，方程有兩個正實根，平衡點為不穩定的結 點。另外，從穩定性分析， 可以看出 （0，0）點是不穩定點。 當位移很小時

3、，正的阻尼項因為很小，所以忽略不計。項起 主要作用，負阻尼因子使得系統的能量增加，偏離原點，位 移變大，由此可以知道，系統在原點不穩定。而當位移 很 大時，作為負阻尼項相對較小，正的阻尼項起主要作用，正 阻尼使得系統的產生能量耗散， 偏向原點，位移變小。 同時， 由方程可以看出，系統有且只有原點一個不動點，沒有別的 奇點，運動軌道被局限在一個范圍內，也就是一條閉合的曲 線，即極限環型的周期振蕩。二、Vanderpol 方程 Matlab 仿真模型的建立根據式（ 2）提供的范德坡爾的理論數學模型，利用 Matlab 軟件中的 Simulink 模塊對范德坡爾系統進行初步的計 算機仿真，仿真模型如

4、圖 1 所示：保守系統運動的振幅和系統的初值有關，并且運動形成 的閉合軌跡是一圈一圈圍繞而成的，而自激振蕩不同于周期運動，無論系統的初值如何取值，自激振蕩的運動軌跡最終 會趨向于一個孤立極限圓，也就是極限環。針對不同的取值，從相平面圖觀察到：（1）當 =0.3時，范德坡爾的運動軌跡接近于一個圓， 但不是真正的圓。（2）當 =1和=8 范德坡爾的運動軌跡是一個極限環，明 顯不同于圓。取值越大，極限環越偏離圓，即系統的運動越 偏離簡諧振動。（ 3）當的取值特別大時，系統偏離簡諧振蕩很遠，形 成張弛振動。三、Vanderpol 系統的電路模擬根據范德坡爾系統的 Simulink 仿真框圖 1，建立對

5、應的Multisim 電路仿真模型 3， 4，確定所需要的元器件及其參 數，得到理想的仿真效果。仿真相圖結果如圖 3 所示。圖3的仿真結果與圖2 （b）的范德坡爾系統的Simulink仿真相圖進行對比，輸出的相圖一致，表明該模擬電路符合 要求。參考文獻：1許磊，陸明萬，曹慶杰 .強迫 Vanderpol 振子的動力學特性J.力學與實踐，2003, 25 （1）: 50-53.2馬西奎， 楊梅， 鄒建龍， 等.一種時延范德波爾電磁系 統中的復雜行為-分岔與混沌現象J物理學報，2006,55( 11): 5648-5655.3 杜軍，王婷婷，陳新來 .基于 Multisim 的蔡氏混沌序 列的仿真研究J通信技術.2010，04 (43): 84-86.4 李清都.混沌系統分析與