1、名師推薦精心整理學習必備線性代數公式大全1、行列式1. n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式；2. 代數余子式的性質： 、Aij和aij的大小無關； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數余子式為 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數余子式為IA ；3. 代數余子式和余子式的關系：Mj =（1嚴州4. 行列式的重要公式：、Aj = （-1嚴 Mj主對角行列式：主對角元素的乘積；、_n（ n 丄副對角行列式：副對角兀素的乘積 x（_1） ；上、下三角行列式（）:主對角元素的乘積;、|匚|和A:副對角元素的乘積、A OA CC AO AC BO B=|A|B|、B

2、 OB C拉普拉斯展開式:=(1)m7A B|n (n_L) x(_iL、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積; 特征值；nn=Ak lA =_|a ；反證法；構造齊次方程組Ax=O，證明其有非零解;利用秩，證明r（A）n ；證明0是其特征值；5. 對于n階行列式A，恒有：I證Amj （-1）kSkXn，其中Sk為k階主子式;6. 證明IA =0的方法： 、 、 、 、 、2、矩陣1. A是n階可逆矩陣：=A H0 （是非奇異矩陣）；二r （A） =n （是滿秩矩陣）二A的行（列）向量組線性無關;U齊次方程組Ax = 0有非零解；VRn， Ax =b總有唯一解；A與E等價；A可表示成若干個初等

3、矩陣的乘積；A的特征值全不為0；ata是正定矩陣；A的行(列)向量組是Rn的一組基；A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于n階矩陣A : AA* =A* A = AE無條件恒成立；3. (A于=(A*)(A丄)T =(aT)丄(A*)t = (At )*(AB)T =BTAT(AB)* = B* A*(AB)丄=B -A-4. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和;5. 關于分塊矩陣的重要結論，其中均 A、B可逆：仏,貝y：AAs丿、|A=|A| AzIMAJ ；r A丄0Fa丄B丿 2 y o丄lA丄 丄丄2 f Al-B CA 丄3、矩陣的初等變換與線性方程組1.

4、 一個m矩陣A，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的: FEr 0】；1。Ojm 鴻；等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形 為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣 A、B，若r(A) = r(B)= aL B ；2. 行最簡形矩陣：、0B亠丿B “0；(主對角分塊)；(副對角分塊)-A CB；(拉普拉斯)B丿0J ；(拉普拉斯)B丿、只能通過初等行變換獲得； 每行首個非0元素必須為1； 每行首個非0元素所在列的其他元素必須為 0;3. 初等行變換的應用：(初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換)X =A-；A變為E時，B就變成A七，即: 、若(A , E)(

5、 E , X)，貝y A可逆，且 、對矩陣(A ,B )做初等行變化，當c (A,B” (E ,A B；個未知數n個方程Ax = b，如果(A,bf (E, x)，則A 、求解線形方程組：對于n 可逆，且X =Af ；4. 初等矩陣和對角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、 右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣A，入乘A的各行元素；右乘，6乘A的各列人丿元素;、( 對調兩行或兩列，符號E (i, j)，且E (,j) E (,j),例如：M、倍乘某行或某列，符號E (i (k)，1(k 工 0 ；)1kK1丿、倍加某行或某列，符號E (ij (k),且 E(i

6、j (k)=E (ij(-k)VL1k1-k1=11丿1丿5.矩陣秩的基本性質：0 r(Am溺)Emin( m, n)；r ( AT ) =r( A)；若 aU B，貝y r(A)= r(B)；若 P、Q 可逆，貝y r(A) = r (PA) =r( AQ)= r( PAQ)；、(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max(r (A), r(B) r (A, B)r (A) + r(B)；(探)r(A+B) r(A)+r(B)；(探)r (AB) mi n( r (A), r (B)；(探)如果A是 mxn 矩陣，B是 nxs 矩陣，且AB= 0，則：(探)B的列向量全部是齊次方程組 AX =0解(轉

7、置運算后的結論)；、若r(A) +r(B) r (A)+r(B)-n ；6.三種特殊矩陣的方冪： 、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)X行矩陣(向量)的形式，再采用結合律；/1 a c 、型如”1 bI0 0 bn、的矩陣：利用二項展開式;二項展開式：(a+b)n =cnan+C：an秸 1+川 +cmanbm 切| +C：丄a1bn丄+C：bn =送 cmambn注:I、(a+b)n展開后有n+1項; 口、cm _n(n -1)1 叩 11(nm+1) _n!C0 =C n =1化2_3_Lmm!( n_ m)!n nm、組合的性質：cmnS cn =2nr zOrCnr =ncni

8、 ；、利用特征值和相似對角化:7.伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：r(A*),r (A) = nr (A) - n 1 ； r (A) c n 1、伴隨矩陣的特征值:IA (AX =ZX , A* =|AA* XA X)；扎人A*斗A8.關于A矩陣秩的描述：A中有n階子式不為0, n+1階子式全部為0；A中有n階子式全部為0 ；有n階子式不為0；其中、r(A)= n ,、r(A) cn ,、r(A) n ,9.線性方程組:(兩句話)A為mXn矩陣，貝y： 、m與方程的個數相同，即方程組 Ax=b有m個方程； 、n與方程組得未知數個數相同，方程組Ax =b為n元方程;Ax ：= b ，10. 線性方程

9、組、a11a12111a1n 丫X1、a 21a22111a 2 nx 2 III 1rrB F=b211i1m1am 2IIIamn yXm 丿1f丿am 1 X +am 2 X2 +| anm Xn =bn二Ax=b （向量方程，A為men矩陣，m個方程，Ax=b的求解：對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換）；齊次解為對應齊次方程組的解；特解：自由變量賦初值后求得；11. 由n個未知數m個方程的方程組構成n元線性方程:& X +ai2 X2 +11）十ainXn =b、b 21 Xi +a22 X2 卅 I） +a2 nXn =b2 . a III川I川III川III川川川II川

10、，In個未知數）、但1 a2 111 an1X11（全部按列分塊，其中川；、w丿d X1 + a2 X2 +川 +an Xn =P有解的充要條件：（線性表出）r（A= r（A, P）蘭n （ n為未知數的個數或維數）4、向量組的線性相關性1. m個n維列向量所組成的向量組 A ： 8 SlllOm構成nxm 矩陣 A= （ot1,ot2，l|l，G m）；PT .m個n維行向量所組成的向量組 B : PiT，股,1山Pm構成mn矩陣B =對應；有、無非零解；（齊次線性方程組） 是否有解；（線性方程組） 是否有解；（矩陣方程）齊次方程組Ax= 0和Bx= 0同。線性相關 訂線性相關 a, 線性相

11、關a =0 ；qP坐標成比例或共線（平行）； gPy共面；含有有限個向量的有序向量組與矩陣2. 、向量組的線性相關、無關UAX= 0 、向量的線性表出Ab 、向量組的相互線性表示=AX =B3. 矩陣Amn與Bi；n行向量組等價的充分必要條件是: 解；（P101 例 14）4. r（ATA）=r（A）；（為例 15）5. n維向量線性相關的幾何意義： 、 、 、6. 線性相關與無關的兩套定理：右mg右 a, Ofc,liras線性相關，則（/2,川,頭心十必線性相關；lira s線性無關，則4,8,111,8必線性無關；（向量的個數加加減減，不確定；（個數為s ）線性表示，且A線性無關，二者為

12、對偶）若r維向量組A的每個向量上添上n_r個分量，構成n維向量組B :若A線性無關，則B也線性無關；反之若B線性相關，則A也線性相關；（向 量組的維數加加減減）簡言之：無關組延長后仍無關，反之，7. 向量組A （個數為r ）能由向量組B則r蘭S （二版P74定理7）；r（A）sB，貝y： 、C的列向量組能由A的列向量組線性表示， 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，B為系數矩陣； at為系數矩陣；（轉置）11. 齊次方程組Bx=O的解一定是ABx=O的解，考試中可以直接作為定理使用， 而無需證明； 、ABx = 0 只有零解二Bx = 0 、Bx= 0有非零解=ABx= 012. 設向量組Bn：x : b, ba,HI,br可由向量組Ans: 66,1（b1, b2,l 山 br）=佝,a 2,川,as） K只有零解；一定存在非零解；III, as線性表示為：（Pii0題19結論） （B =AK）其中K為sXr，且A線性無關，則B組線性無關二r（K）= r ； （ B與K的列向量組具有相同線性相關性)(必要