1、概率論與數理統計作業集及答案第1章概率論的基本概念1.(1)2.(1) 1 .1隨機試驗及隨機事件 一枚硬幣連丟 一枚硬幣連丟 丟一顆骰子.一枚硬幣連丟3次，觀察正面H、反面T出現的情形.樣本空間是: 3次，觀察出現正面的次數A :出現奇數點，貝y A=_2次，S=.樣本空間是：S=_； B:數點大于2，貝y B= _A :第一次出現正面，則 A= ;=;C :至少有一次出現正面，則C=B:兩次出現同一面，則 1 .2隨機事件的運算1.設A、B C為三事件，用A、B C的運算關系表示下列各事件：(1)A、B、C都不發生表示為： .(2)A(3)A與B都不發生，而C發生表示為： .(4)A(5)

2、A、B、C中至少二個發生表示為：.A與B都發生，而C不發生表示為：、B C中最多二個發生表示為:、B C中不多于一個發生表示為:設Sx : 0 x 5, A x :1x 3, B x:24:則(1)AB, (2)AB,(3)(4)AB=, (5)AB =o 1.3概率的定義和性質2.AB1.已知 P(A B) 0.8, P(A) 0.5, P(B) 0.6，則(1)P (AB)(2)(P(A B)=P(AB)=2.已知 P(A)0.7, P(AB) 0.3,則 P(AB)= 1 .4古典概型某班有30個同學，其中8個女同學(2)最多有2個女同學的概率,(3),隨機地選10個,求:(1)正好有2

3、個女同學的概率, 至少有2個女同學的概率.2.將3個不同的球隨機地投入到4個盒子中，求有三個盒子各一球的概率. 1 .5條件概率與乘法公式1.丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點數之和為7,則其中一顆為1.1的概率是2.已知 P(A) 1/4, P(B|A) 1/3, P(A|B) 1/2,則 P(AB)1.2. 1 .6全概率公式有10個簽，其中2個“中”，第一人隨機地抽一個簽，不放回，簽，說明兩人抽“中的概率相同。第一盒中有4個紅球6個白球，第二盒中有 5個紅球5個白球，隨機地取一盒，從中 隨機地取一個球，求取到紅球的概率。第二人再隨機地抽一個-12 - 1 .7貝葉斯公式1.某廠產品有70%不

4、需要調試即可出廠，另30%需經過調試，調試后有80%能出廠，求（1） 該廠產品能出廠的概率，（2 ）任取一出廠產品，求未經調試的概率。2.將兩信息分別編碼為 A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3 : 2，若接收站收到 的信息是A,問原發信息是 A的概率是多少？ 1 .8隨機事件的獨立性1.電路如圖，其中 A,B,C,D為開關。設各開關閉合與否相互獨立，且每一開關閉合的概率 均為P，求L與R為通路（用T表示）的概率。Z/3.甲，乙，丙三人向同一目標各射擊一次，命中率分別為 0.4,0.5和0.6，是否命中，相

5、互獨立， 求下列概率：（1） 恰好命中一次,（2）至少命中一次。第1章作業答案1 .1 1： (1)HHH ,HHT ,HTH ,THH ,HTT,THT,TTH ,TTT;(2)0, 1, 2,32: (1)1, 3, 5B 3, 4, 5, 6;(2) A正正，正反, B 正正，反反, C 正正，正反，反正。1 .2 1: (1) ABC ； (2) ABC ； (3) ABC ； (4) A B C ； (5) AB AC BC ；AC BC或 ABC ABC ABC ABC ；2： ( 1) A Bx :1 x4;(2) AB x: 2 x 3 ;(3)AB x:3 x 4；(4) A

6、B x:01 或 2 x 5 ; ( 5)AB x: 1 x 4。1 .31: (1) P(AB)=0.3, (2)P(AB)= 0.2, (3) P(AB) = 0.7. 2： P(AB)=04.41：(1)c；c22/c30,(2)(c20c8c22c；c；2)/c30,(3)1-(c22cfcQ/c；.2:P43 / 43.5.61: . 2/6;2:1/4。1:設A表示第一人“中”，貝U P(A) = 2/10設 B表示第二人“中”，則 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B| A)=_21_82_2=10910910兩人抽“中的概率相同，與先后次序無關。2:隨機地取一

7、盒，則每一盒取到的概率都是0.5，所求概率為:P = 0.5 X 0.4 + 0.5 X 0.5 = 0.451 : (1) 94%(2) 70/94;2:0.993;用A,B,C,D表示開關閉合，于是 T = AB U CD,從而，由概率的性質及 A,B,C,D的相互獨立性P(T) = P( AB) + P( CD) - P( ABCD)=P (A) P(B) + P(C) P(D).7 .8. 1 :-P(A)P(B)P(C)P(D)224-2P P P 2p2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38(

8、2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章隨機變量及其分布 2.1隨機變量的概念，離散型隨機變量一盒中有編號為1, 2, 3, 4, 5的五個球，從中隨機地取 3個，用X表示取出的3個球 中的最大號碼.，試寫出X的分布律.某射手有5發子彈，每次命中率是 0.4，次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為 止，用X表示射擊的次數，試寫出X的分布律。 2.20 1分布和泊松分布某程控交換機在一分鐘內接到用戶的呼叫次數X是服從入=4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼叫的概率； 每分鐘最多有1次呼叫的概率；設隨機變量X有分布律：X 2 3

9、, Yn (X),試求:P 0.40.6(1) P(X=2,Y 2); (2)P(Y W 2); (3)已知 丫 2,求 X=2 的概率。 2.3 貝努里分布1一辦公室內有5臺計算機，調查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為機是否被使用相互獨立，問在同一時刻恰有2臺計算機被使用的概率是多少？至少有至多有至少有0.6，計算(1)3臺計算機被使用的概率是多少?3臺計算機被使用的概率是多少?1臺計算機被使用的概率是多少?才能使至少擊中一次的概率2設每次射擊命中率為 0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊, 不小于0.9 ? 2.4 隨機變量的分布函數1設隨機變量X的分布函數是:F(x) =0.51(

10、1)求 P(X 1), (2)寫出X的分布律。2設隨機變量X的分布函數是:F(x)=Ax0,求0(1)常數 A, P 1 X 2 . 2.5 連續型隨機變量1設連續型隨機變量 X的密度函數為:f(x)kx0F(x)，畫出F(x)的圖形,2設連續型隨機變量X 0的分布函數為：F(x)=In x(1)求常數k的值；(2 )求X的分布函數(3)用二種方法計算P(- 0.5X0.5).(1)求X的密度函數f(x)，畫出f (x)的圖形, 2.6均勻分布和指數分布1設隨機變量K在區間(0,5)上服從均勻分布2,求方程 4x + 4Kx + K + 2 = 0有實根的概率。2假設打一次電話所用時間(單位：

11、分) X服從0.2的指數分布，如某人正好在你前面走進電話亭，試求你等待：(1)超過10分鐘的概率；(2) 10分鐘 到20分鐘的概率。 2.7 正態分布1 隨機變量 X N (3,4), (1)求 P (2X 5) , P (-4X 2), P (X3);(2)確定 c,使得 P(Xc) = P(Xc)。2某產品的質量指標 X服從正態分布，卩=160,若要求P(120X 0.80，試問b最多 取多大？ 2.8隨機變量函數的分布1設隨機變量X的分布律為；X012P0.30.40.3T,求隨機變量X的分布律。Y = 2X2設隨機變量X的密度函數為：f(x)2J1X)Y X2;求隨機變量Y的密度函數

12、。3.設隨機變量X服從(0,1) 上的均勻分布,21 nX，求隨機變量丫的密度函數。第2章作業答案 2.1 1:2:X I 34P|o.1X 150.62P 0.40.6 為.4 0.6 為.6 0.40.6 0.6 為.6 %.4 0.6 為.6 0.6 6 X2.2 1： P(X = 1) = P(X 1) -P(X 2) = 0.981684 -0.908422 = 0.073262, P(X 1) = 0.981684, P(X 1) = 1 - P(X2) = 1 -0.908422 = 0.0915782: (1)由乘法公式:P(X=2,Y W2) = P(X=2) P(Y W 2

13、 | X=2)= 0.4 (ex22e 2 2e 2)= 2e 2(2)由全概率公式：P(Y 2) = P(X=2) P(丫 W 2 | X=2) + P(X=3) P(Y 3 )=44(3) P(X w 3 ) = 1 - C5 0.6 0.40.65(4) P(X2:至少必須進行11次獨立射擊. 2.4 1: (1) P(X W 0 )=0.5; P 0X1= 0.5;(2) X的分布律為：X-11P0.50.52:(1) A = 1,(2) P1X 2= 1/60x 0 2.5 1 : (1) k 2, (2) F(x)2 x0 x 1 1 ) = 1 -P(X 1) = 0.5 ,c3

14、0.630.42C：0.640.4 0.650.450.5 2.6 2.7 2.8(3) P(- 0.5X0.5)=(1) f (x)0.5或=F(0,5)1/x 1 x0f(x)dx000dx0.52xdxF(-0.5)=(2)P(X2)1 In 21:3/52/八2/c24(1) e(2) ee1 : (1) 0.5328,0.9996,0.6977,0.5; (2) c = 3 ,2:(tW 31.25o1 :Y-113P0.30.40.32:fY(y)(10y 1，3:fY(y)1 y/2e2y0 .0其他0y0多維隨機變量3個，用X表示取到的紅球 (X, Y)的聯合分布律及邊緣分布律

15、。2.設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布律為:試根據下列條件分別求 a和b的值;(1)P(X 1)0.6 ；xy01200.10.2a10.1b0.2 P(X 1|Y2)0.5 ；設F(x)是丫的分布函數,F(1.5)0.5。 3.1二維離散型隨機變量1.設盒子中有2個紅球，2個白球，1個黑球，從中隨機地取 個數，用丫表示取到的白球個數，寫出 3.2二維連續型隨機變量1.(X、Y)的聯合密度函數為：f (x, y)k(x y) 0 x 1,0 y 10 其他(3) P(X+Y1) ； (4) P(X1/2)。2.(X、Y)的聯合密度函數為：f(x,y)kxy 0 x 1,0 y0 其求(1)常

16、數 k ；( 2)P(X1/2,Y1/2)；求(1)常數 k ； (2) P(X+Y1) ； (3) P(X1/2)。 3.3邊緣密度函數1.X與丫的邊緣密度函數。設(X, Y)的聯合密度函數如下，分別求f(x,y) 2(1 x2)(1 y2)2.設(X, Y)的聯合密度函數如下，分別求X與丫的邊緣密度函數。x c一、e 0 y xf(x,y)0 其他 3.4隨機變量的獨立性1.(X, Y)的聯合分布律如下，試根據下列條件分別求 a和b的值; P(Y 1)1/3 ；b 1/9 P(X 1|Y2)0.5 ；( 3)已知X與丫相互獨立。2.(X,Y)的聯合密度函數如下,2cxyf(x,y)0y求常

17、數1,0C,并討論X與丫是否相互獨立?第3章作業答案 3.1入丫1210.40.30.720.30.0.30.70.311:(1) k = 1 ；(1) k = 8 ；2：(1) a=0.1b=0.3(2) a=0.2b=0.2(3) a=0.3b=0.1 3.21:2:(2) P (X1/2, Y1/2) = 1/8(2) P(X+Y1) = 1/6 ； (3) P(X1/2) = 1/16。;(3) P(X+Y1) = 1/3 ; (4) P(X1/2) = 3/8。 3.31:fx(X)21 dy2 (1 x2)(1 y2)fY(y)2(1)(1-dx y )(1(1 Xy2)Xxe2：

18、fx(X)；0X 0 3.4 1：(1) a=1/6b=7/18;(2) a=4/92：c = 6, X與Y相互獨立。第4章隨機變量的數字特征 4.1數學期望1.盒中有5個球，其中2個紅球，隨機地取0XfY(y)(A) 1;(B) 1.2 ；(C)b=1/9 ；a = 1/3, b = 2/9。3個,1.5 ；X表示取到的紅球的個數，則EX是:(D) 2.3x22.設X有密度函數：f(x) 80求 E(X), E(2X 1), E(y)，并求 XX大于數學期望E(X)的概率。-24 -3.設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布律為：xKy012已知 E(XY) 0.65 ,%00.10.2a則a和

19、b的值是：10.1b0.2(C) a=0.2, b=0.2;(D) a=0.15, b=0.25。(A) a=0.1, b=0.3 ;( B) a=0.3, b=0.1;4.設隨機變量(X, Y)的聯合密度函數如下:EX, EY, E(XY1)。f(x, y)xy01,0 4.2數學期望的性質1.設X有分布律:則 E(X22X 3)是:(A) 1;p 0.1(B) 2;0.2(C)0.30.43 ；(D) 4.2.設(X,Y)有 f(x,y)54y01，試驗證E(X Y)E(X)E(Y)，但 X 與丫 不相互獨立。 4.3 方差1丟一顆均勻的骰子，用X表示點數,求EX,DX .2. X有密度函

20、數：f (x)(x 1)/40x 2他求D(X).2Y)的值分別是: 4.4常見的幾種隨機變量的期望與方差1 設 X (2) ,Y B(3, 0.6)，相互獨立，則 E(X 2Y), D(X1.6 和-4.88.(A) -1.6 和 4.88 ；(B) -1 和4;( C) 1.6 和 4.88 ；( D)2.設 X U (a, b), 丫 N(4, 3)，X與丫有相同的期望和方差，求a, b的值。(A) 0 和 8；(B)和7；(C) 2 和 6；(D) 3 和 5. 4.6 獨立性與不相關性1.下列結論不正確的是(X與丫相互獨立，則X與丫相關，則X與丫不相互獨立;(A)(B)X與丫不相關;

21、E(XY) E(X)E(Y)，則X與丫相互獨立;(D)f (x, y) fx(x)fY(y)，則 X 與丫不相關;2.若 COV (X, Y) 0，則不正確的是(3.4.(A)E(XY) E(X)E(Y) ；(B)(C) D(XY) D(X)D(Y) ；( D)(X,丫)有聯合分布律如下，試分析E(XD(XY) E(X)Y) D(X)E(Y)；D(Y)；X 、丫-101 .-11/81/81/801/801/811/81/81/8X與丫的相關性和獨立性。)E(XY) E(X)E(Y)是X與丫不相關的(A)必要條件；(B)充分條件：(C)充要條件；(D)既不必要，也不充分。5.E(XY) E(X

22、)E(Y)是X與丫相互獨立的(D )既不必要，也不充分。 X與丫不相關，但不獨立。(A ) 必要條件；(B)充分條件：(C)充要條件;試驗證6.設隨機變量(X, Y)有聯合密度函數如下：21x2y/4 x2 f(x,y)0其第4章作業答案 4.11:B ；2 : 3/2, 2, 3/4, 37/64；3 : D ；4 : 2/3,4/3 , 17/9 ； 4.21 :D ； 4.31:7/2,35/12 ；2: 11/36； 4.41 :A2: B ； 4.51:0.2,0.355；2:- 1/144, 1/11； 4.61:C；2: C ；3: X與丫不相關，但X與丫不相互獨立；4: C ；

23、 5: A ；第5章極限定理大數定理 中心極限定理* 5.1 5.21. 一批元件的壽命（以小時計）服從參數為0.004的指數分布，現有元件30只，一只在用， 其余29只備用，當使用的一只損壞時， 立即換上備用件，利用中心極限定理求 30只元 件至少能使用一年（8760小時）的近似概率。2.某一隨機試驗，“成功”的概率為 0.04，獨立重復100次，由泊松定理和中心極限定理 分別求最多“成功” 6次的概率的近似值。第5章作業答案 5.22:0.1788;3: 0.889,0.841;數理統計中的幾個概念 6.11.有 n=10 的樣本；1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1

24、.4,1.8,1.4，則樣本均值X =，樣本均方差S，樣本方差S22設總體方差為b2有樣本X1,X2, ,Xn ,樣本均值為 X ,則 Cov(X1, X) 6.2數理統計中常用的三個分布1.查有關的附表，下列分位點的值：Z0.9 =2.1(5)=，t0.9(1O) =2.設 X1,X2, ,Xn 是總體 2(m)的樣本，求 E(X), D(X)。 6.3一個正態總體的三個統計量的分布2 21設總體X N（,），樣本X1,X2, ,Xn，樣本均值X，樣本方差S，則(Xi X)2i 1n(Xii 1)2第6章作業答案 6.11. x 1.57, s 0.254, s0.0646 ；2. Cov(

25、X1, X) b2/n ； 6.21 . -1.29，9.236，-1.3722 ；2. E(X)m, D(X)2m/n ； 6.31. N(0, 1), t(n 1),2(n1),2(n)；第7章參數估計 7.1矩估計法和順序統計量法1.設總體X的密度函數為：f (x)1他，有樣本X1,X2, ,Xn，求未知參數的矩估計。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數X為估計的值，在實地隨機地調查了20次,每次1分鐘，結果如下：次數：量數：試求 的一階矩估計和二階矩估計。 7.2極大似然估計1.設總體X的密度函數為：f(x)(廠01)x、0其，有樣本X1,X2, ,Xn ,求未知參數的極大似然估計。 7.3估計量的評價標準1.設總體X服從區間(a,1)上的均勻分布，有樣本X1,X2,Xn，證明a 2X 1是a的無偏估計。2.設總體X()，有樣本X1,X2, ,Xn，證明aX (12a)S