1、小學奧數學習的主要內容 1和差倍問題 和差冋題和倍冋題差倍冋題 已知條件 公式適用 范圍 幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數 已知兩個數的和，差，倍數關系 和一差）十2=較小數 關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系 公式 較小數+差=較大數 和-較小數=較大數 （和+差）-2=較大數 較大數-差=較小數 和*（倍數+ 1）=小數 差r倍數-i）=小數 小數X倍數=大數 小數X倍數=大數 和-小數=大數 小數+差=大數 和-較大數=較小數 關鍵冋題 求出同一條件下的 差與倍數 和與差和與倍數 2 .年齡問題的三個基本特征： 兩個人的年齡差是不變的； 兩個人的年齡是同時增加或

2、者同時減少的； 兩個人的年齡的倍數是發生變化的； 3.歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個“單 一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。 關鍵問題：根據題目中的條件確定并求出單一量; 4.植樹問題 基本類型 在直線或者不封 在直線或者不封閉 閉的曲線上植樹, 的曲線上植樹，兩 在直線或者不封閉、 圭寸閉曲線上植 的曲線上植樹，只 兩端都植樹 端都不植樹 有一端植樹 棵數=段數+ 1 棵數=段數-1 棵數=段數 基本公式 棵距X段數二總長 棵距X段數=總長 棵距X段數=總長 5. 雞兔同籠問題 基本概念：雞兔同籠問題又稱為 置換問題、假設問題，就是把假設錯 的那部分置換出

3、來； 基本思路： 假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： 假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少； 每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因； 再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。 基本公式： 把所有雞假設成兔子：雞數=（兔腳數x總頭數-總腳數）寧 （兔腳數雞腳數） 把所有兔子假設成雞：兔數=（總腳數一雞腳數X總頭數）寧 （兔腳數一雞腳數） 關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。 6. 盈虧問題 基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果： 按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于分組的標準不同，造成 結果的差異，由它們的關系求對象分組的組

4、數或對象的總量. 基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結 果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數， 然后根據題意求出 對象的總量. 基本題型: 一次有余數，另一次不足； 基本公式：總份數=（余數+不足數）寧兩次每份數的差 當兩次都有余數； 基本公式：總份數=（較大余數一較小余數）寧兩次每份數的差 當兩次都不足； 基本公式：總份數=（較大不足數一較小不足數）寧兩次每份數 的差 基本特點：對象總量和總的組數是不變的。 關鍵問題：確定對象總量和總的組數。 7. 牛吃草問題 基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“ 1”份，根據兩次不同的吃法， 求出其中的總草量的差；再找出造成這種

5、差異的原因，即可確定草的 生長速度和總草量。 基本特點：原草量和新草生長速度是不變的； 關鍵問題：確定兩個不變的量。 基本公式： 生長量（較長時間x長時間牛頭數-較短時間x短時間牛頭數）+ （長 時間-短時間）； 總草量二較長時間x長時間牛頭數-較長時間x生長量； 8周期循環與數表規律 周期現象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。 周期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。 關鍵問題：確定循環周期 閏年：一年有366天； 年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被400 整除； 平 年：一年有365天。 年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；

6、 9. 平均數 基本公式：平均數二總數量+總份數 總數量二平均數X總份數 總份數二總數量+平均數 平均數二基準數+每一個數與基準數差的和+總份數 基本算法： 求出總數量以及總份數，利用基本公式進行計算 . 基準數法：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與 所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有 給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數； 最后求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系 見基本公式。 10. 抽屜原理 抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個 抽屜中至少放有2個物體。 例：把4個物體放在3個抽屜

7、里，也就是把4分解成三個整數的和， 那么就有以下四種情況： 4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1 觀察上面四種放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那么一 個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有 2個物體。 抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中nm那么必有 一個抽屜至少有： k=n/m +1個物體：當n不能被m整除時。 k=n/m個物體：當n能被m整除時。 理解知識點：X表示不超過X的最大整數。 例4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.9999=2 ； 關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后 依據抽屜原則進行運

8、算。 11 .定義新運算 基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基 本（混合）運算。 基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加 減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規律進行運算。 關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。 注意事項：新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。 每個新定義的運算符號只能在本題中使用。 12. 數列求和 等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列 數，就叫做等差數列。 基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用ai表示； 項數：等差數列的所有數的個數，一般用 n表示； 公差：數列中任意相鄰兩個數的差，-

9、一般用 d表示； 通項：表示數列中每一個數的公式， 一般用 an表示； 數列的和：這數列全部數子的和， 一般用 Sn 表示I . 基本思路：等差數列中涉及五個量： a1 ,a n, d, n,s n,通項公式中涉 及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四 個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。 基本公式：通項公式：an = a 1+（n 1） d; 通項=首項+（項數一 1） x公差； 數列和公式：sn,= （a 1+ an） x n寧2； 數列和=（首項+末項）x項數寧2； 項數公式：n= （a n+ a1） d+ 1 ； 項數=（末項-首項）公差+ 1 ； 公差公式

10、：d = （an a1）（ n 1）； 公差二（末項首項）+ （項數1）； 關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式； 13. 二進制及其應用 十進制：用09十個數字表示，逢10進1;不同數位上的數字 表示不同的含義，十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以 234=200+30+4=2 102+3X 10+4。 n1n-2n-3n4n5n7 =AnX 10 +A-i x 10 +A-2 x 10 +A-3 x 10 +A-4 x 10 +A-6 x 10 + 2 1 0 Ax 10+Ax 10+Ax 10 注意：N0=l; NX=N （其中N是任意自然數） 二進制：用0 1兩個數字

11、表示，逢2進1;不同數位上的數字表 示不同的含義。 （2）= An x2n-1 +A-1 x2n-2 +A-2 x2n-3 +An-3 x2n-4 +A-4 x2n-5 +A-6 x2n-7 2 1 0 +Ax2 +Ax2 +A x2 注意：An不是0就是1。 十進制化成二進制： 根據二進制滿2進1的特點，用2連續去除這個數，直到商為0, 然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。 先找出不大于該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個 差的2的n次方，依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點 即可寫出。 14. 加法乘法原理和幾何計數 加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類

12、方法中有m種不 同方法，在第二類方法中有 m種不同方法，在第n類方法中有 m種不同方法，那么完成這件任務共有：m+ mt+mn種不同的 方法。 關鍵問題：確定工作的分類方法。 基本特征：每一種方法都可完成任務。 乘法原理：如果完成一件任務需要分成 n個步驟進行，做第1步有 m種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法 不管 前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共 有：mXm2 Xmn種不同的方法。 關鍵問題：確定工作的完成步驟。 基本特征：每一步只能完成任務的一部分。 直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。 直線特點：沒有端點，沒有長度

13、。 線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。 線段特點：有兩個端點，有長度。 射線：把直線的一端無限延長。 射線特點：只有一個端點；沒有長度。 數線段規律：總數=1+2+3+ （點數一 1）; 數角規律=1+2+3+ （射線數一 1）; 數長方形規律：個數=長的線段數X寬的線段數： 數長方形規律：個數=1X 1+2X 2+3X 3+行數X列數 15. 質數與合數 質數：一個數除了 1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數, 也叫做素數。 合數：一個數除了 1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。 質因數：如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的 質因數。 分解質因數：

14、把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。 通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一 的。 分解質因數的標準表示形式：N二，其中a、a2、a3an都是合數N的 質因數，且 aiAAv An。 求約數個數的公式：P=(ri+1) x (r 2+1)x (r 3+1)x x (r n+1) 互質數：如果兩個數的最大公約數是 1,這兩個數叫做互質數。 16. 約數與倍數 約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a 的約數。 公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一 個，叫做這幾個數的最大公約數。 最大公約數的性質： 1、幾個數都除以它們

15、的最大公約數，所得的幾個商是互質數。 2、幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。 3、幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。 4、幾個數都乘以一個自然數 m所得的積的最大公約數等于這幾 個數的最大公約數乘以 m 例如：12的約數有1、2、3、4、6、12; 18 的約數有：1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公約數有：1、2、3、6; 那么12和18最大的公約數是：6,記作（12, 18） =6; 求最大公約數基本方法： 1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。 2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。 3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個

16、余數， 就是所求的最大公約數。 公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一 個，叫做這幾個數的最小公倍數。 12的倍數有：12、24、36、48; 18的倍數有：18、36、54、72; 那么12和18的公倍數有：36、72、108; 那么12和18最小的公倍數是36,記作12 , 18=36 ; 最小公倍數的性質： 1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。 2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。 求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的 方法 17. 數的整除 一、基本概念和符號： 1、整除：如果一個整數a,除以一個自然數b

17、,得到一個整數商c, 而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。 2、常用符號：整除符號“ |”，不能整除符號“”；因為符號“ T”， 所以的符號“二”； 二、整除判斷方法： 1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被 4、25整除。 3. 能被8 125整除：末三位的數字所組成的數能被 8 125整除。 4. 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被 3、9整除。 5. 能被7整除： 末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7 整除。 逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。 6. 能被

18、11整除： 末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能 被11整除。 奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。 逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。 7. 能被13整除： 末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能 被13整除。 逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。 三、整除的性質： 1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。 2. 如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。 3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c

19、的最小公倍數整除。 18. 余數及其應用 基本概念：對任意自然數 a、b、q、r，如果使得a* b=qr，且 OvRvB那么R叫做A除以B的余數，Q叫做A除以B的不完全商。 余數的性質： 余數小于除數。 若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。 a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數 的和除以c的余數。 a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的 積除以c的余數。 19. 余數、同余與周期 一、同余的定義： 若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。 已知三個整數a、b、m如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記 作 a三b(m

20、od m), 讀作 a同余于 b 模 m 二、同余的性質： 自身性：a三a(mod m); 對稱性：若a三b(mod m),貝卩b三a(mod m); 傳遞性：若 a三 b(mod m), b三 c(mod m),貝S a三 c(mod m); 和差性：若 a= b(mod m), c三d(mod m),貝S a+c三b+d(mod m), a-c三b-d(mod m); 相乘性：若 a三b(mod m), c三d(mod m),貝S ax c三 bx d(mod m); 乘方性：若 a三 b(mod m),貝S an=bn(mod m); 同倍性：若a三b(mod m)，整數c,貝S ax

21、c三b x c(mod mx c); 三、關于乘方的預備知識： 若 A=ax b,則 M=Mxb= (M) b 若 B=c+d 則 M二M+d二M xMd 四、被3、9、11除后的余數特征： 一個自然數M n表示M的各個數位上數字的和，則 葉n(mod 9) 或(mod 3); 一個自然數M X表示M的各個奇數位上數字的和，丫表示M的各 個偶數數位上數字的和，則 MY-X或11- (X-Y) (mod 11); 五、費爾馬小定理：如果p是質數(素數)，a是自然數，且a不能 被p整除，則ap-1三1(mod p)。 20. 分數與百分數的應用 基本概念與性質： 分數：把單位“ 1”平均分成幾份，

22、表示這樣的一份或幾份的數。 分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數 (0除外)， 分數的大小不變。 分數單位：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。 百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。 常用方法： 逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。 對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關 系。 轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常 見的是轉換成比例和轉換成倍數關系； 把不同的標準（在分數中一般 指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。 常見的處理方法 是確定不同的標準為一倍量。 假設思維方法：為了解題的方便，可以把

23、題目中不相等的量假設成 相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整， 求出最后結果。 量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不 論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況： A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不 變。C總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。 替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、 量率關系明朗化。 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。 濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。 21. 分數大小的比較 基本方法： 通分分子法：使所有分數的分子相同，根

24、據同分子分數大小和分母 的關系比較。 通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子 的關系比較。 基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。 分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越 大的分數值越大。 倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小， 除了 運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。 （具體 運用見同倍率變化規律） 轉化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比 較。 倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。 大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。 倒數比較法：利用倒數比較

25、大小，然后確定原數的大小。 基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。 22. 分數拆分 一、 將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式： =+； =+ （d為自然數）； 23. 完全平方數 完全平方數特征： 1. 末位數字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2. 除以3余0或余1;反之不成立。 3. 除以4余0或余1;反之不成立。 4. 約數個數為奇數；反之成立。 5. 奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。 6. 奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。 7. 兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。 平方差公式：乂-Y2二（X-Y）（ X+Y 完全平方和公式：

26、（x+y 2=X+2Xy+Y 完全平方差公式：（X-Y） 2=-2Xy+Y 24. 比和比例 比：兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號后 面的數叫比的后項。 比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。 比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數（零除外），比 值不變。 比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或 比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積（交叉相乘），ad二be。 正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時）， 則A與B成正比。 反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時）， 則A與B成反比。 比例尺：圖上距離與實際

27、距離的比叫做比例尺 按比例分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。 25. 綜合行程 基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、 路程三者之間的關系. 基本公式：路程二速度X時間；路程寧時間二速度；路程寧速度二時間 關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。 相遇問題：速度和X相遇時間二相遇路程（請寫出其他公式） 追及問題：追及時間=路程差速度差（寫出其他公式） 流水問題：順水行程二（船速+水速）X順水時間 逆水行程=（船速-水速）X逆水時間 順水速度二船速+水速 逆水速度二船速-水速 靜水速度二（順水速度+逆水速度）寧2 水速二（順水速度-逆水速度）寧2 流水問題：關

28、鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。 過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。 主要方法：畫線段圖法 基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追 及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。 26. 工程問題 基本公式: 工作總量二工作效率X工作時間 工作效率二工作總量寧工作時間 工作時間二工作總量寧工作效率 基本思路： 假設工作總量為“ 1”（和總工作量無關）； 假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間 的最小公倍數），利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效 率及工作時間. 關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。 經驗簡評：合久必分，分久必合。 27. 邏輯推理 基本方法簡介： 條件分析一假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假 設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立 的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設 a是偶數成立，在判 斷過程中出現了矛盾，那么a一定是奇數。 條件分析一列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時， 就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一 個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對