1、21. 2.4 一元二次方程的根與系數的關系學習目標:bc1. 理解并掌握根與系數的關系：Xl + X2= a，X1X2 = a.aa2. 會用根的判別式及根與系數的關系解題.重點：一元二次方程的根與系數的關系及運用.難點：一元二次方程的根與系數的關系及運用.知識網絡：1 .若一元二次方程 X 已知X1 , X2是一兀二次方程 X2+ 2x 1 = 0的兩根，則X1 + X2的值是()A. 0B. 2C. 2D. 4 已知X1, X2是一元二次方程x2 4X + 1 = 0的兩個實數根，則X1X2等于()A. 4B. 1C.1D.4 已知方程X2 6x + 2 = 0的兩個解分別為 X1 ,

2、X2,則X1+ X2 X1X2的值為()A. 8B. 4C.8D .4 已知X1, X2是方程X2 3x 4 = 0的兩個實數根，則(X1 2)(X2 2) =.+ px + q= 0的兩個根分別為 Xi, X2,則X1 + X2=, XiX2=.2. 若一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0(a 0)的兩個根分別為 X1, X2,貝U X1 + x?=, X1X2 =3. 元二次方程 ax2+ bx+ c= 0的根與系數的關系應用條件：(1)一般形式，即;二次方程，即; (3)有根，即.典型例題：1. 利用根與系數的關系求兩根之間關系的代數式的值【例1 1不解方程，求下列各方程的兩根之和與

3、兩根之積：2(1) x + 3x + 1 = 0;解：x1 + x2= 3, x1x2 = 12(2) 2x 4x 1 = 0;1解：X1 + X2= 2, X1 X2= 2(3) 2x2+ 3 = 5x2 + x.1解：X1 + X2= 3, X1X2 = 12. 已知X1, X2是一元二次方程x2 3x 1 = 0的兩根，不解方程求下列各式的值:1 1(X12+ X22；腐 X；.解：(1)x12+ x22= (x1 + x2)2 2x1 x2= 11(2)丄 + ，X1 X2X1 + X2=3X1X2【變式訓練1 1.不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積:(1)x2 3x = 15;(2

4、)5x2 1 = 4x2;(3)x2 3x + 2 = 10;(4)4x2 144 = 0.2利用根與系數的關系求方程中待定字母的值【例2】若關于x的一兀二次方程x2 4x+ k 3 = 0的兩個實數根為Xi,X2,且滿足xi = 3x2, 試求出方程的兩個實數根及k的值.Xl+ x2= 4,xi = 3,解：由根與系數的關系得0 B. b = 0 C. bv 0 D . c= 02. 已知一元二次方程 x2 6x + c = 0有一個根為2,則另一根和c分別為（）A. 1, 2 B. 2, 4 C. 4, 8 D. 8, 163. 若關于x的一元二次方程 x2+ bx+ c= 0的兩個實數根

5、分別為 X1 = 2, X2 = 4,則b + c的 值是（）A. 10 B. 10 C. 6 D. 14. 關于x的方程x2 ax + 2a= 0的兩根的平方和是 5，則a的值是（）A. 1 或 5 B. 1 C. 5 D. 1鞏固練習：1. 已知一元二次方程 X2 2x + 2 = 0,則下列說法正確的是（）A.兩根之和為2 B .兩根之積為2C.兩根的平方和為 0 D .沒有實數根2. 已知a, 3滿足a+ 3= 6,且a = 8,則以a, 3為兩根的一兀二次方程是 （）2 2A. x + 6x + 8= 0 B. x 6x + 8 = 0C. x2 6x 8= 0 D . x2+ 6x

6、 8 = 03. 設x1, x2是方程x2 + 3x 3 = 0的兩個實數根，則生+星的值為（）X1 X2A. 5 B. 5 C. 1 D. 14. 方程x2 （m + 6）x + m2= 0有兩個相等的實數根，且滿足X1+ x?= X1X2,則m的值是（）A. 2 或 3 B . 3C. 2 D . 3 或 25. 已知m, n是方程x2+ 2x 5= 0的兩個實數根，貝V m2 mn + 3m + n=.6. 在解某個方程時，甲看錯了一次項的系數，得出的兩個根為一8, 1;乙看錯了常數項， 得出的兩個根為8, 1,則這個方程為.7. 已知x1, x2是一元二次方程x2 4x + 1 = 0的兩個實數根，求（x1 + x2）2- （X + X）的值.8. 已知關于x的一元二次方程 x2 2kx + k2+ 2 = 2（1 x）有兩個實數根 , X2.（1）求實