1、1.10.5數(shù)陣圖 1.10.5.1基礎(chǔ)知識 數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖。幻方一般均為正方形。圖中縱、橫、對角線數(shù) 字和相等。數(shù)陣則不僅有正方形、長方形，還有三角形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字 形，甚至多種圖形的組合。變幻多姿，奇趣迷人。一般按數(shù)字的組合形式，將其分為三類， 即輻射型數(shù)陣、封閉型數(shù)陣、復合型數(shù)陣。 數(shù)陣的特點是：每一條直線段或由若干線段組成的封閉線上的數(shù)字和相等。 它的表達形式多為給出一定數(shù)量的數(shù)字，要求填入指定的圖中，使其具備數(shù)陣的特點。 解數(shù)陣問題的一般思路是： 1. 求出條件中若干已知數(shù)字的和。 2. 根據(jù)“和相等”，列出關(guān)系式，找出關(guān)鍵數(shù)一一重復使用的數(shù)。

2、3. 確定重復用數(shù)后，對照“和相等”的條件，用嘗試的方法，求出其他各數(shù)。有時，因 數(shù)字存在不同的組合方法，答案往往不是唯一的。 1.10.5.2輻射型數(shù)陣 例1將15五個數(shù)字，分別填入下圖的五個O中， 使橫、豎線上的三個數(shù)字和都是 10。 解：已給出的五個數(shù)字和是：1 + 2 + 3 + 4+ 5= 15 題中要求橫、豎每條線上數(shù)字和都是10,兩條線合起來便是 20 了。20 15 = 5,怎樣 才能增加5呢？因為中心的一個數(shù)是個重復使用數(shù)。只有5連加兩次才能使五個數(shù)字的和增 加5,關(guān)鍵找到了，中心數(shù)必須填 5。確定中心數(shù)后，按余下的 1、2、3、4,分別填在橫、 豎線的兩端，使每條線上數(shù)的和

3、是10便可。 例2將17七個數(shù)字，分別填入圖中的各個O內(nèi)，使每條線上的三個數(shù)和相等。 解：圖中共有3條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為 3的倍數(shù)。設中心 數(shù)為a,貝U a被重復使用了 2次。即，1 + 2+ 3 + 4+ 5+ 6+ 7+ 2a= 28+ 2a, 28+ 2a應能被3 整除。 (28 + 2a)弓=28弓 + 2a弓 其中28完=9余1,所以2a弓應余2。由此，便可推得 a只能是1、4、7三數(shù)。 當a= 1時，28 + 2a= 30 30七=10,其他兩數(shù)的和是 10 1 = 9,只要把余下的 2、3、4、 5、6、乙 按和為9分成三組填入兩端即可。同理可求得a=

4、4、a= 7兩端應填入的數(shù)。 例3將從1開始的連續(xù)自然數(shù)填入各O中，使每條線上的數(shù)字和相等。 解：圖中共有三條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為 3的倍數(shù)。設中心 數(shù)為a, a被重復使用了兩次， 即: 1 + 2+ 3+ 10+ 2a= 55+ 2a, 55 + 2a應能被3整除。 (55 + 2a)七=553 + 2a七 其中，553= 18余1，所以2a七應余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑選。在a =1時，55 + 2a= 57, 57+3= 19,即中心數(shù)若填1,各條線上的數(shù)字和應為19。但是除掉中 心數(shù)1,在其余九個數(shù)字中，只有兩組可滿足這一條件，即：9 + 7+ 2

5、= 18, 8 + 6+ 4= 18, 7+ 5 + 3= 15所以，a不能填1。經(jīng)試驗，a= 7時，余下的數(shù)組合為 12 ( 19-7= 12),也不 能滿足條件。因此，確定a只能填4。 例4將19九個數(shù)字，填入下圖各O中，使縱、橫兩條線上的數(shù)字和相等。 解：19九個數(shù)字和是：1 + 2 + 3 + 9= 5X9 = 45,把45平分成兩份：45吃=22 余1。 這就是說，若使每行數(shù)字和為 23,則需把1重復加一次，即中心數(shù)填1 ；若使數(shù)字和為 24,中心數(shù)應填3。總之，因45吃余數(shù)是1 ,只能使1、3、5、7、9各個奇數(shù)重復使用， 才有可能使橫、豎行的數(shù)字和相等。因而，此題可有多種解法。但

6、中心數(shù)必須是9以內(nèi)的奇 數(shù)。 例5將111 十一個數(shù)字，填入下圖各O中，使每條線段上的數(shù)字和相等。 解：圖中共有五條線段，全部數(shù)字的總和必須是5的倍數(shù)，每條線上的數(shù)字和才能相等。 111 十一個數(shù)字和為66, 66為=13余1,必須再增加4，可使各線上數(shù)字和為 14。共 五條線，中心數(shù)重復使用4次，填1恰符合條件。 此題的基本解法是：中心數(shù)重復使用次數(shù)與中心數(shù)的積，加上原余數(shù)1，所得的和必須 是5的倍數(shù)。據(jù)此，中心數(shù)填6、11均可得解。 1.10.5.3封閉型數(shù)陣 例1把2、3、4、5、6、7六個數(shù)字，分別填入O中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。 解：要使三角形每邊上的數(shù)字和都是12,則三條

7、邊的數(shù)字和便是12X3= 36，而2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 7= 27 , 36 與 27 相差 9。 三個角頂?shù)臄?shù)字都重復使用兩次，只有這三個數(shù)字的和是9,才能符合條件。 確定了角頂?shù)臄?shù)字，其他各數(shù)通過嘗試便容易求得了！ 這題還可有許多解法，上圖只是其中一種。 例2把19九個數(shù)字，分別填入下圖O中，使每邊上四個數(shù)的和都是21。 解：要使三角形每條邊上的數(shù)字和是21,則三條邊的數(shù)字和便是：21X3= 63。 而19九個數(shù)字的和只有 45。45比63少18,只有使三角形三個頂角的數(shù)字和為18, 重復使用兩次，才能使總和增加18。 所以應確定頂點的三個數(shù)。下面是填法中的一種。 確定了頂

8、角的數(shù)后， 其他各數(shù)便容易 了。 例3下圖是四個互相聯(lián)系的三角形。把19九個數(shù)字，填入O中，使每個三角形中數(shù) 字的和都是15。 解：每個三角形數(shù)字和都是15,四個三角形的數(shù)字和便是：154 = 60,而19九個數(shù) 字和只有45。45比60少15。怎樣才能使它增加 15呢？靠數(shù)字重復使用才能解決。 中間的一個三角形，每個頂角都聯(lián)著其他三角形，每個數(shù)字都被重復使用兩次。因此， 只要使中間的一個三角形數(shù)字和為15,便可以符合條件。因此，它的三個頂角數(shù)字，可以 分別為：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5 及 2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1。 把中間的三角形各頂角數(shù)字先填出，

9、其他各個三角形便容易解決了。前頁下圖是其中的 一種。 例4把210九個數(shù)字，分別填入下圖O中，使每條直線上的三個數(shù)和為15。 解：210九個數(shù)字的和為： 2 + 3 + 4+ 10= 69 = 54 若排成每個三角形每邊的數(shù)字和都是15,圖中含有每邊都三個數(shù)字的三角形有兩個， 共六條邊，數(shù)字總和應是 15X6= 90。54比90少36。 在外圍的六個數(shù)都被重復使用了兩次，它們又分屬于兩個三角形。所以，每個三角形三 個頂角的數(shù)和應為：36吃=18。這樣，便可以先填外三角形三個頂角的數(shù)。 三個數(shù)和為18的有很多組，可以通過試驗篩選出適宜的一組。填好了外圍三角形各個 數(shù)后，里面的三角形，因為頂角的數(shù)

10、已知，其他各數(shù)便容易填寫了。上面是填法中的一種。 例5把110十個數(shù)字，分別填入下圖O中，使每個三角形三個頂角的三個數(shù)字和相 等。 解：圖中有三個三角形，頂角數(shù)字互不聯(lián)系，中心的一個數(shù)獨立于各個三角形之外。因 此，要使各三角形頂角的數(shù)字和相等。 去掉中心數(shù)后，數(shù)字總和應是3的倍數(shù)，而且三角形頂角的數(shù)字三組中不能出現(xiàn)重復。 女口：以10為中心數(shù)，可填為如上圖樣。 例6將112分別填入下圖O中，使圖中每個三角形周邊上的六個數(shù)的和都相等。 解：圖中共有四個三角形， 共有六個邊。112的數(shù)字和是78。每條邊上的數(shù)字和應為： 78 =6 = 13。 這樣，我們可以推想：因為內(nèi)部的三條邊都被重復計算兩次，

11、只要每個數(shù)增加1,十二 個數(shù)的總和便增加 6,它們同樣可以填出來，因而，本題的解法是很多的。 7、把-、丄、丄、丄、2、？、-九個數(shù)分別填入下圖O中，使每條直線上的三個 2 3 4 6 12 3 4 12 12 數(shù)的和都相等。 解：九個分數(shù)排成方陣，使縱、橫、對角線的三個數(shù)和相等， 這已經(jīng)符合幻方的要求了, 因此，可以按幻方的制作方法求解。 這十二個分數(shù)，按從小到大的順序排列是: 把它們按序排列為斜方形：將上、下兩數(shù)， 這樣重新組成的數(shù)陣，便是求得的解了。 1 1 1 11 7 2 _3 12、6、4、3、12、2、12、3、4 左、右兩數(shù)對調(diào)，再把中間四數(shù)向外拉出, 12。 例8將18八個數(shù)

12、字，分別填入下圖O中，使每個小三角形頂點上三數(shù)之和為 解：圖中共有四個小三角形，每個三角形頂點數(shù)字的和若都是12,數(shù)字總和便是12X4 =48，可是18八個數(shù)字總和只有 36。36比48少12。只有靠共用頂角上數(shù)的重復使用， 才能解決。因此，必須把四個公用頂角的數(shù)字和填成12。把18八個數(shù)四個一組，和為12 的有： 6+ 3 + 2 + 1 5+ 4 + 2 + 1 上述兩組中，經(jīng)驗證，只有6+3+ 2+ 1可以作公用頂點的數(shù)字。 例9在下圖五個O內(nèi)，各填入一個自然數(shù)，使圖中八個三角形中頂點的數(shù)字和各不相 同。求能滿足這個條件的自然數(shù)中最小的五個數(shù)。 解：能滿足使八個三角形頂點數(shù)字和各不相同的

13、任意自然數(shù)有很多組，但自然數(shù)中能滿 足這個條件的最小自然數(shù)卻只有一組。最小的一組自然數(shù)中的五個數(shù)，若有兩個相同的，其 中三個數(shù)的和可以多到有 7個不同值，因此，五個數(shù)互不相同。如果這五個數(shù)是1, 2，3， 4，5，則其中三個數(shù)的和有如下組合方式： 1 + 2 + 3 = 6 2 + 3 + 4= 9 3+ 4 + 5 = 12 1 + 2 + 4 = 7 1+ 3 + 4= 8 2+ 3 + 5 = 10 2+ 4 + 5 = 11 這樣，總共只有七種不同的和，而圖中共八個三角形，可知1, 2, 3, 4, 5五個自然數(shù) 不能滿足條件。 例10在下列圖中三個正方形中，每個正方形的四個頂點上，只填入1, 2, 3, 4四數(shù)， 使圖中八個三角形頂點數(shù)字和互不相同。 解：圖中，頂角在大正方形邊上的四個三角形，頂角都分別為兩個三角形共用，只有正 方形的四個角分別只屬于一個三角形，所以，四個三角形頂點數(shù)字的和應等于：(1 + 2+3 + 4) X3= 30 30不是4的倍數(shù)，因而，外面的四個三角形頂點數(shù)字和不可能相等。同理，里面的四 個三角形頂點數(shù)字和也不可能相等。 題中要求，每個三角形頂點數(shù)字和不相同，14四個數(shù)之和最小值是 1+ 1 + 2 = 4,最 大值是4 + 4+