1、v1.0可編輯可修改九大幾何模型、手拉手模型旋轉型全等(1)等邊三角形D4【條件】： OABHA OCD均為等邊三角形;【結論】：厶OA3A OBD/ AEB=60 :OE平分/(2 )等腰直角三角形AED【條件】： OABHA OCD均為等腰直角三角形;【結論】： OACA OBD/ AEB=90 :OE平分/ AEDCDE(3 )頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】： OABHA OCD勻為等腰三角形;且/ CODM AOB【結論】：厶OA3A OBD / AEB=M AOB OE平分/ AED:、模型二：手拉手模型(1 )一般情況【條件】：CD/ AB,將厶OCD旋轉至右圖的位置【結論】：

2、右圖中 OC3A OABnA OASA OBD【條件】：CD/ AB, / AOB=90將厶OCD旋轉至右圖的位置【結論】：右圖中 OC3A OABnA OACA OBD延長 AC交BD于點E,必有/ BECN BOA AC OD OBtan / ocd bd丄AC2連接AD BC,必有AD2 BC2 AB三、模型三、對角互補模型BCD : SABCD(1) 全等型-90 【條件】：/ AOB=/ DCE=90 : 0C平分/AOB【結論】： CD=CE OD+OE=2 OC ScE2oc2證明提示:作垂直,如圖 2,證明 CDMA CEN圖2SOCDSAOCE過點C作CF丄0C如圖3,證明

3、ODA FEC當/ DCE的一邊交A0的延長線于 D時(如圖4):以上三個結論：CD=CE OE-OD=；2 0C SAOCESOCD(2) 全等型-120【條件】：/ AOB=N DCE=120 :。平分/ AOBF3I 結論 CD=CE OD+OE=OC Sg s Ss 計。C2證明提示：可參考“全等型 -90。”證法一；如右下圖：在 OB上取一點F,使OF=OC證明 OCF為等邊三角形。9(3) 全等型-任意角a【條件】：/ AOB=2i,/DCE=180-2a;CD=CE【結論】：OC平分/ AOBOD+OE=2OCcos a; DCEOCDOCEOC2 sin a cos a當/ D

4、CE的一邊交AO的延長線于 D時(如右下圖)：原結論變成：；可參考上述第種方法進行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。對角互補模型總結:常見初始條件：四邊形對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線; 初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區別; 注意0C平分/ AOB寸，/ CDEN CED2 COAK COE如何引導四、模型四：角含半角模型90(1)角含半角模型 90 -1【條件】：正方形ABCD/ EAF=45;【結論】：EF=DF+BE厶CEF的周長為正方形 ABCD周長的一半;也可以這樣：(3)角含半角模型 90-3【條件】：Rt ABC/ DAE=45 ;【結論】：BD2

5、CE2 DE2 (如圖1)v1.0可編輯可修改若/ DAE旋轉到 ABC外部時，結論 BD 2 CE2 DE2仍然成立（如圖2）AAAD18/ DAC=/ EAF=45,/ DAH=/ CAE 又 I / ACB玄 ADB=45 ;DAAHACAE AHEA ADC AHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型(1 )倍長中線類模型-1【條件】：矩形ABCDBD=BEDF=EF【結論】：AF丄CF模型提取：有平行線 AD/ BE平行線間線段有中點 DF=EF可以構造“ 8”字全等厶ADFA HEF。(2 )倍長中線類模型-2【條件】：平行四邊形 ABCDBC=2ABAM=DMCEL AB;【結

6、論】：/ EMD=M MEA輔助線：有平行 AB/ CD 有中點 AM=DM延長 EM構造 AMEA DMF連接 CM構造模型六：相似三角形360 旋轉模型(1)相似三角形(等腰直角)360。旋轉模型-倍長中線法【條件】：厶ADE ABC均為等腰直角三角形； EF=CF；【結論】：DF=BF；DFL BF輔助線：延長 DF到點G,使FG=DF連接CG BG BD,證明 BDG為等腰直角三角形;突破點： ABDA CBG難點：證明/ BAO=/ BCG(3)任意相似直角三角形360。旋轉模型-補全法【條件】：厶 OABA ODC / OABM ODC=90 : BE=CE【結論】：AE=DE/

7、AED=2/ ABO輔助線:延長 BA到G,使AG=AB延長 CD到點H使DH=CD補全 OGB OCH構造旋轉模H型。轉化 AE與DE到CG與BH 難點在轉化/ AED(4) 任意相似直角三角形360。旋轉模型-倍長法【條件】：厶 OABA ODC / OAB=/ ODC=90 : BE=CE【結論】：AE=DE/ AED=2/ ABO輔助線：延長 DE至M,使ME=DE將結論的兩個條件轉化為證明厶AMDo ABQ此為難點,模型七：最短路程模型(1 )最短路程模型一(將軍飲馬類)總結：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題,最后都轉化到：“兩點之間，線段最短：解決;特點：動點在直線上；起點，終點

8、固定11I 2（2 ）最短路程模型二（點到直線類1）【條件】：0C平分/ AOBM為0B上一定點；P為0C上一動點； Q為0B上一動點;【問題】：求MP+PQI小時，P、Q的位置輔助線：將作 Q關于0C對稱點Q,轉化PQ =PQ過點M作MHL OA則MP+PQ=MP+PQ MH垂線段最短）(3 )最短路程模型二(點到直線類2)【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n),.5【冋題】：n為何值時，PB -PA最小5；5求解方法：x軸上取C(2,0),使sin / OAC ;過B作BD丄AC交y軸于點E,即為51所求； tan / EBO=tan/ OAC ,2(4 )最短路程模型三(旋

9、轉類最值模型)【條件】：線段OA=4 OB=2OB繞點O在平面內360旋轉;【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少【結論】：以點O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊最大值：OA+OB最小值：OA-OB【條件】：線段0A=4 OB=2以點0為圓心，OB 0C為半徑作圓;點P是兩圓所組成圓環內部（含邊界）一點；【條件】：Rt OBC / OBC=30 ;0C=20A=1;點P為BC上動點（可與端點重合）厶OBC繞點0旋轉【結論】：PA最大值為OA+OB= 2 3 ; PA的最小值為-OB OA 312如下圖，圓的最小半徑為 O到BC垂線段

10、長。v1.0可編輯可修改模型八：二倍角模型【條件】：在厶ABC中，/ B=2/ C;BA 、 CA 、輔助線：以BC的垂直平分線為對稱軸，作點A的對稱點A，連接AA、則BA=AA =CA （注意這個結論）AC20此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。C模型九：相似三角形模型（1 ）相似三角形模型-基本型平行類：DE/BC;字型字型 A字型結論：ADABAEDE注意對應邊要對應）v1.0可編輯可修改B斜交型C B 雙垂型 C(2 )相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖，/ AEDN ACB=90 ;【結論】：AEX AB=AC AD【條件】：如右圖，/ ACEN ABC2【結論】：AC=AEX AB第四個圖還存在射影定理:AEX EC=BC AC;2 2BC=BEX BA CE=AEX BE;圖(1)(3)相似三角形模型-一線三等角型【條件】：(1)圖：/ ABCN ACE=/ CDE=90 ;(2) 圖：/ ABCh ACE=/ CDE=60 ;(3) 圖：/ ABCN ACE=/ CDE=45 ;【結論】： AB3A CDE