1、復數范圍內實系數一元二次方程（ 19 題）（答案） 1、若實系數一元二次方程的一個根是13 37 i ，則這個方程可以是 8 x 2 2 x 2、復數集內分解 2x2 x 1 2（x 15i)(x 15i 4 3、已知 x1與 x2是方程 : ax2 bx c 列等式成立的是（ C ） （A） x1與 x2共軛（B） 0（a 0） 在復數集中的兩根，則下 b2 4ac 0 (C) x1 x2 bc ,x1x2 aa (D) | x1 x2 |= (x1 x2)2 4x1x2 4、判斷下列命題的真假，并說明理由； （1） 在復數范圍內，方程 ax2 bx c 0（a,b,c R ，且 a 0）

2、總 有兩個根（ ） (2) 若1 2i 是方程 x2 px q 0 的一個根，則這個方程的另 一個根是 1 2i （ （3） 若方程 x2 px q ） 0 有兩個共軛虛根，則 p 、 q 均為實數 ） 5、已知復數 z，解方程 z 3i z 1 3i 解：設 z x yi (x， y R ） ，則方程可化 為 (x 3y) (y 3x)i 1 3i x 5， 由復數相等， 有 x 3y 1，解 得 4 53 z i y 3x 3， y 3. 44 4. 6、 適合方程 2 z z i 0 的復數 z 3 1 i 6 2 7、 適合方程 z 2 5z 6 0的復數 z； 若 z R ，則 z

3、2 5 z 6 0z 2, z 3z 2,z 3 若z為虛數， 設 z a bi(a,b R,b 0)， 則 (a bi)2 5a 2 b2 6 0 22 5 a2 2 6 0 2 2 2 2 a2 b2 2abi 2 5 a2 b2 6 0 a2 b2 b2 2ab 0 a2 b2 5 a2 b 26 0 b2 5 b2 60 b2 5 b 6 0 b 1 a0 所以，方程的解為 2, 2,3, 3,i, i。 8、解方程 x2 ix i 10 (1) x R （2） x C 解：（1） x 1 （2） x 1orx 1i 9、已知復數 Z 滿足 Z Z 8 4i ，且 Z 是關于 x 的實

4、系數一元二次方 程 x2 mx 25 0 的一個根，求 m 的值。 Z 3 4i 10、如果虛數 z 滿足 z3 8 ，那么 z3 z2 2z 2 的值是 分析：若設 z a bi(b 0) ，代入求值，過程復雜，不易求解，但 運用整體代入的思維策略則顯得簡潔明快 解： z3 8， (z 2)(z2 2z 4) 0 z 是虛數， z2 z2 2z 4 0 ，即 z2 2z 2 2 故 z3 z2 2z 2 8 2 6 說明：該題也可通過設 z=x+yi(x 、yR) 求解，但過程繁復 . 可見，從整體出發利用條件，解題思路流暢，運算量小， 14、實系數方程 x2 mx 3 0 的兩虛根為 ，則

5、 11、 已知關于 x的方程 x2 是 p=1 (4 或3 i)x 3 pi 0(p R )有實根，則 p 的值 12、 已知關于 x的方程 x2 (4 i)x 3 pi 0(p R )有純虛根，則 p 的 值是 2 2 13 13、 關于 x的方程 x2 (4 i)x 3 pi 0無實根， 求實數 p 的取值范圍； ( ,1)U(1,3)U(3, ) 15、已知關于 x 的方程 x2 kx 3 0(k R) 有兩個虛根 和 ，且 | | 2 2 ，則 k 的值是2 16、已知關于 x 的方程 x2 5x a 數a 的值是 17or4 2 0的兩根 x1,x2 ，且| x1 x2 | 3，則實

6、 17、已知關于 x 的方程 x2 kx k2 則k 的值是1 2 2k 0(k R) 有一個模為 1的虛根， a2 18、已知關于 x的方程： 2x2 3ax 求實數 a 的值. 【解】 如果 R，則0, a ( , 8U0, )，又 R， 當 =1 時，代入得： a2+2a+2=0 不可能 . 當 = -1 時，代入得： a2-4a+2=0 a 如果 是虛數，則 0 ， a a 0 至少有一個模為 1 的根 ， =1 或-1 則 也是此方程的根，于是： 2 但是 =| | 2=1， a 2 22 ( 8,0) ，并且 | |=1 ， =a2 a 2 a =1，解得： a=2(舍去) 或者

7、a=-1 所以，所求的 a 2 2 ，或者-1 19、已知 m C，關于 x 的方程 x2 mx 3 4i 0有實數根，求復數 m的 模的最小值。 解法一：設 m a bi( a,b R ) ，設方程的實根為 t ，代入方程得： 2 t 2 at 3 0 bt 4 0 (t 1 1t) 25 16 m4 t2 (a bi )t 3 4i 0 t2 at 3 (bt 4)i 0 當且僅當 t 5 時，取等號。即 mmin 4 解 法 設方程 的 實 根為 t 代 入 方程得： 2 34 t2 tm 3 4i 0Q t 0 , m t i tt 2 3 2 4 2 25 2 2 m (t )2 (

8、 )2 tt t2 t2 6 16, m 16 m 4 當且僅當 t 5 時，取等號。 即 m min 4 min 點評：本例將 m 轉化為關于 t 的函數，利用函數的性質從而求出 m 的模 的最小值。 復數范圍內實系數一元二次方程( 19 題) 1 、若實系數一元二次方程的一個根是1 7 i ，則這個方程可以 33 是 2、復數集內分解 2x2 x 1 3、已知 x1與x2是方程: ax2 bx c 0(a 0) 在復數集中的兩根，則下 列等式成立的是 (A) x1 與 x2 共軛(B)b2 4ac 0 (C)x1x2b,x1x2c , (D)| x1x2 |=(x1x2)24x1x2 aa

9、 4、判斷下列命題的真假，并說明理由； (1) 在復數范圍內，方程 ax2 bx c 0(a,b,c R ，且 a 0) 總 有兩個根( ) (2) 若1 2i 是方程 x2 px q 0的一個根，則這個方程的另 一個根是 1 2i ( ) (3) 若方程 x2 px q 0有兩個共軛虛根，則 p 、q 均為實數( ) 5、已知復數 z，解方程 z 3i z 1 3i 6、適合方程 2z z i 0的復數 z ； 7、適合方程 z2 5 z 6 0的復數 z ； 8、解方程 x2 ix i 1 0 （1）x R（2） x C 9、已知復數 Z 滿足 Z Z 8 4i ，且 Z 是關于 x 的實

10、系數一元二次方 程 x2 mx 25 0 的一個根，求 m 的值。 10、如果虛數 z 滿足 z3 8，那么 z3 z2 2z 2的值是 11、已知關于 x 的方程 x2 (4 i)x 3 pi 0(p R )有實根，則 p 的值 12、已知關于 x 的方程 x2 (4 i)x 3 pi 0( p R )有純虛根，則 p 的 值是 13、關于 x 的方程 x2 (4 i)x 3 pi 0無實根，求實數 p 的取值范圍； 14、實系數方程 x2 mx 3 0 的兩虛根為 , ，則 15、已知關于 x 的方程 x2 kx 3 0(k R ) 有兩個虛根和 ，且 | | 2 2，則 k 的值是 16、已知關于 x 的方程 x2 5x a 0的兩根 x1,x2，且| x1 x2 | 3，則實