1、小學奧數知識點及公式總匯（必背）1和差倍問題22年齡問題的三個基本特征：3歸一問題的基本特點：4植樹問題5雞兔同籠問題6盈虧問題37牛吃草問題8周期循環與數表規律9平均數10抽屜原理411定義新運算12數列求和13二進制及其應用514加法乘法原理和幾何計數15質數與合數616約數與倍數17數的整除718余數及其應用19余數、同余與周期20分數與百分數的應用821分數大小的比較922分數拆分23完全平方數24比和比例1025綜合行程26工程問題27邏輯推理1128幾何面積29立體圖形30時鐘問題快慢表問題1231時鐘問題鐘面追及32濃度與配比33經濟問題1333經濟問題34簡單方程35不定方程3

2、6循環小數1411 和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數公式適用范已知兩個數的和，差，倍數關系圍( 和差 ) 2=較小數較小數差 =較大數和 ( 倍數 1)=差 ( 倍數 -1)= 小公式和較小數 =較大數小數數( 和差 ) 2=較大小數倍數 =大數小數倍數 =大數數和小數 =大數小數差 =大數較大數差 =較小數和較大數 =較小數求出同一條件下的關鍵問題和與差和與倍數差與倍數2年齡問題的三個基本特征：兩個人的年齡差是不變的；兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；兩個人的年齡的倍數是發生變化的；3歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量，一般是

3、那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度” 等詞語來表示。關鍵問題：根據題目中的條件確定并求出單一量；4植樹問題在直線或者不封閉在直線或者不封閉的基本類的曲線上植樹， 兩端曲線上植樹，兩端都不型都植樹植樹在直 線或者不封閉 的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹基本公棵數 =段數 1棵數 =段數 1棵數 =段數式棵距段數 =總長棵距段數 =總長棵距段數 =總長關鍵問確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系題5雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為 置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；基本思路：假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：2假設后，發生了和題目條件不同的

4、差，找出這個差是多少；每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。基本公式：把所有雞假設成兔子： 雞數（兔腳數總頭數總腳數）（兔腳數雞腳數）把所有兔子假設成雞： 兔數（總腳數一雞腳數總頭數） （兔腳數一雞腳數）關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的

5、總量基本題型：一次有余數，另一次不足；基本公式： 總份數（余數不足數）兩次每份數的差當兩次都有余數；基本公式：總份數（較大余數一較小余數）兩次每份數的差當兩次都不足；基本公式： 總份數（較大不足數一較小不足數）兩次每份數的差基本特點：對象總量和總的組數是不變的。關鍵問題：確定對象總量和總的組數。7牛吃草問題基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；關鍵問題：確定兩個不變的量。基本公式：生長量 =（較長時間長時間牛頭數 - 較短時間短時間牛頭數）（長時間 -

6、短時間）；總草量 = 較長時間長時間牛頭數-較長時間生長量；8周期循環與數表規律周期現象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。周期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。關鍵問題：確定循環周期。閏年：一年有 366 天；3年份能被 4 整除；如果年份能被100 整除，則年份必須能被400 整除；平年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被400 整除；9平均數基本公式： 平均數 =總數量總份數總數量 =平均數總份數總份數 =總數量平均數平均數 =基準數每一個數與基準數差的和總份數基本算法：求出總數量以及總份數，利用基本公式進行計算 . 基準數法

7、：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最后求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系見基本公式10抽屜原理抽屜原則一：如果把（ n+1）個物體放在 n 個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。例：把 4 個物體放在 3 個抽屜里，也就是把4 分解成三個整數的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2 個或多于 2 個物體，也就是

8、說必有一個抽屜中至少放有2 個物體。抽屜原則二：如果把n 個物體放在 m個抽屜里，其中nm，那么必有一個抽屜至少有: k=n/m +1 個物體：當 n 不能被 m整除時。 k=n/m 個物體：當 n 能被 m整除時。理解知識點： X 表示不超過 X 的最大整數。例 4.351=4 ； 0.321=0 ；2.9999=2 ；關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行運算。11定義新運算基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規律進行

9、運算。關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。注意事項：新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。每個新定義的運算符號只能在本題中使用。124數列求和等差數列：在一列數中，任意相鄰 兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用a1 表示；項數：等差數列的所有數的個數，一般用n 表示；公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d 表示；通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an 表示；數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn 表示基本思路：等差數列中涉及五個量：a1 ,an, d, n, sn,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四

10、個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。基本公式：通項公式：an = a1+（ n 1）d；通項首項（項數一1)公差 ；數列和公式： sn,= ( a1+ an) n 2；數列和（首項末項）項數2；項數公式： n= ( an+ a1) d 1；項數 =（末項 - 首項）公差1；公差公式： d = （ an a1）（ n 1）；公差 =（末項首項）（項數 1）；關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；513二進制及其應用十進制：用 09 十個數字表示，逢 10 進 1；不同數位上的數字表示不同的含義，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=

11、200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-1 10n-2+An-2 10n-3+An-3 10n-4+An-4 10n-5+An-6 10n-7+A3102+A2 101+A1100注意： N0=； N =N（其中 N 是任意自然數）二進制：用 01 兩個數字表示，逢2 進 1；不同數位上的數字表示不同的含義。（ 2）= An2n-1+An-1 2n-2+An-2 2n-3+An-3 2n-4+An-4 2n-5+An-6 2n-7 + +A3 22+A221+A120注意： An 不是 0 就是 1。十進制化成二進制：根據二進制滿 2 進 1 的特點，用 2 連續去除這

12、個數，直到商為 0，然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數的 2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差為 0，按照二進制展開式特點即可寫出。14加法乘法原理和幾何計數加法原理 ：如果完成一件任務有 n 類方法，在第一類方法中有 m1種不同方法，在第二類方法中有 m2種不同方法 ，在第 n 類方法中有 mn種不同方法，那么完成這件任務共有： m1+ m2. +mn種不同的方法。關鍵問題：確定工作的分類方法。基本特征：每一種方法都可完成任務。乘法原理： 如果完成一件任務需要分成n 個步驟進行， 做第 1 步有 m1種方法，不管第

13、 1步用哪一種方法，第2 步總有 m2種方法 不管前面n-1 步用哪種方法，第n 步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1m2.mn種不同的方法。6關鍵問題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務的一部分。直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。線段特點：有兩個端點，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點：只有一個端點；沒有長度。數線段規律：總數 1+2+3+ +（點數一 1）；數角規律 =1+2+3+ +（射線數一 1）；數長方形規律：個數 =長的線段數寬的線段數：數長方形規律：

14、個數 =11+22+3 3+ +行數列數15質數與合數質數：一個數除了 1 和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。合數：一個數除了 1 和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。質因數：如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。分解質因數 ：把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。分解質因數的標準表示形式： N=，其中 a1、a2、a3 an 都是合數 N 的質因數，且 a1a2a3 an。求約數個數的公式： P=(r1+1) (r2+1) (r3+1) (rn+1) 互質數：如果兩個

15、數的最大公約數是 1，這兩個數叫做互質數。16約數與倍數約數和倍數 ：若整數 a 能夠被 b 整除， a 叫做 b 的倍數， b 就叫做 a 的約數。公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。最大公約數的性質 ：1、幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。2、幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。3、幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。4、幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。例如： 12 的約數有 1、2、3、4、6、12；18 的約數有： 1、2、3、6、9、18；那么 12 和

16、 18 的公約數有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公約數是： 6，記作（ 12，18） =6；7求最大公約數基本方法：1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。12 的倍數有： 12、24、 36、48 ；18 的倍數有： 18、36、 54、72 ；那么 12 和 18 的公倍數有： 36、 72、108 ；那么 12 和 18 最小的公倍數是 36，

17、記作 12 ，18=36 ；最小公倍數的性質 ：1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法17數的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數 a，除以一個自然數 b，得到一個整數商 c，而且沒有余數，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，記作 b|a 。2、常用符號：整除符號 “ | ”，不能整除符號 “”；因為符號 “” ，所以的符號 “”；二、整除判斷方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的數字能被 2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末兩位的

18、數字所組成的數能被4、25 整除。3.能被 8、125 整除：末三位的數字所組成的數能被8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各個數位上數字的和能被 3、9 整除。5. 能被 7 整除：末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7 整除。逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11 整除。奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11 整除。7. 能被 13 整除：末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被1

19、3 整除。逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質：81. 如果 a、 b 能被 c 整除，那么（ a+b）與（ a-b ）也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整數，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、 c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍數整除。18. 余數及其應用基本概念：對任意自然數 a、b、 q、r ，如果使得 ab=q r ，且 0rb, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余數， q 叫做 a 除以 b

20、的不完全商。余數的性質：余數小于除數。若 a、b 除以 c 的余數相同，則c|a-b 或 c|b-a 。 a 與 b 的和除以 c 的余數等于 a 除以 c 的余數加上 b 除以 c 的余數的和除以 c 的余數。 a 與 b 的積除以 c 的余數等于 a 除以 c 的余數與 b 除以 c 的余數的積除以 c 的余數。19余數、同余與周期一、同余的定義 ：若兩個整數 a、b 除以 m的余數相同，則稱 a、b 對于模 m同余。已知三個整數 a、 b、 m，如果 m|a-b ，就稱 a、b 對于模 m同余，記作 ab(mod m)，讀作 a 同余于 b 模 m。二、同余的性質 ：自身性： aa(mo

21、dm)；對稱性：若 a b(modm)，則 ba(modm)；傳遞性：若 a b(modm)，bc(modm)，則 a c(modm)；和差性：若 a b(mod m)，cd(mod m)，則 a+cb+d(mod m)， a-c b-d(mod m)；相乘性：若 a b(modm)，cd(modm)，則 a c b d(modm)；乘方性：若 a b(modm)，則 an bn(modm)；同倍性 : 若 a b(mod m) ，整數 c，則 a c b c(modmc) ；三、關于乘方的預備知識：若 A=a b，則 MA=Mab=（ Ma）b若 B=c+d 則 MB=Mc+d=McMd四、

22、被 3、9、11 除后的余數特征：一個自然數 M， n 表示 M的各個數位上數字的和，則 M n(mod 9) 或（ mod 3）；一個自然數 M，X表示 M的各個奇數位上數字的和， Y 表示 M的各個偶數數位上數字的和，則 MY-X 或 M11- （X-Y）(mod 11) ；五、費爾馬小定理 ：如果 p 是質數（素數）， a 是自然數，且 a 不能被 p 整除，則 ap-1 1(mod p) 。20分數與百分數的應用基本概念與性質：9分數：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0 除外），分數的大小不變。分數單位：把單位“

23、 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不

24、論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況： A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。 C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。21分數大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關系比較。基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。分子和分母大小比較法：

25、當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。（具體運用見同倍率變化規律）轉化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比較。倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1 進行比較。大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0 比較。倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。22. 分數拆分將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式：10第一題你要拆 1/12 （也就是 1/A ） 先列出 12 的約（因

26、）數： 1、2、3、4、6、12隨便選兩個約數 分為 a1 a2 這里我選 3、4公式： 1/A=A a1（ a1+a2）/1+ A a2（ a1+a2）/1套入公式： 1/12=12 3（ 3+4）/1+ 12 4（ 3+4）/1最后等于： 1/12=1/28+1/21第二題就像上面的一樣套入公式計算，要把第一題的其中一個答案再拆分就可以了。答案是： 1/21+1/84+1/422311完全平方數完全平方數特征：1. 末位數字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 約數個數為奇數；反之成立

27、。5. 奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。6. 奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。7. 兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（ X+Y）完全平方和公式： （X+Y）222= X+2XY+Y完全平方差公式： （X-Y）2= X2-2XY+Y2費爾馬小定理 ：如果 p 是質數（素數）， a 是自然數，且 a 不能被 p 整除，則 ap-1 1(mod p) 。1224比和比例比：兩個數相除又叫兩個數的比。 比號前面的數叫比的前項， 比號后面的數叫比的后項。比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數

28、（零除外），比值不變。比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積( 交叉相乘 ) ， ad=bc。正比例：若 A 擴大或縮小幾倍， B 也擴大或縮小幾倍（ AB的商不變時），則 A與 B 成正比。反比例：若 A 擴大或縮小幾倍， B 也縮小或擴大幾倍（ AB的積不變時），則 A 與 B 成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系 .基本公式：路程 =速度時間；路程時間 =速度；路程速度 =時間關

29、鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。相遇問題：速度和相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追及時間路程差速度差（寫出其他公式）流水問題：順水行程 =（船速 +水速）順水時間逆水行程 =（船速 - 水速）逆水時間順水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速靜水速度 =（順水速度 +逆水速度） 2水速 =（順水速度 - 逆水速度） 2流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程 （相遇路程、追及路程）、 時間（相遇時間、追及時間）、速度 （速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。26工

30、程問題13基本公式：工作總量 =工作效率工作時間工作效率 =工作總量工作時間工作時間 =工作總量工作效率基本思路：假設工作總量為“ 1”（和總工作量無關）；假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。經驗簡評：合久必分，分久必合。27邏輯推理基本方法簡介：條件分析假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設 a 是偶數成立，在判斷過程中出現了矛盾

31、，那么 a 一定是奇數。條件分析列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。 列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中， 表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規律進行判斷。條件分析圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系， 有連線則表示 “是，有”等肯定的狀態， 沒有連線則表示否定的狀態。例如 A 和 B 兩人之間有認識或不認識兩種狀態，有連線表示認識，沒有表示不認識。邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。簡單歸

32、納與推理：根據題目提供的特征和數據，分析其中存在的規律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。28幾何面積基本思路：在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。3. 大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。4. 利用特殊規律14等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面

33、積）梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29立體圖形名稱圖形特征表面積體積長方體8 個頂點； 6 個面；相對的面相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh12 條棱；相對的棱相等；=Sh正方體8 個頂點； 6 個面；所有面相等；S=6a2V=a312 條棱；所有棱相等；圓柱體上下兩底是平行且相等的圓； 側面S=S側+2S底V=Sh展開后是長方形；S 側=Ch下底是圓；只有一個頂點；l: 母線，側+S底圓錐體S=SV=Sh頂點到底圓周上任意一點的距離；S 側=rl球體圓心到圓周上任意一點的距離是S=4r2V=r3球的半徑。30時鐘問題快慢表問題基本思路：1、

34、按照行程問題中的思維方法解題；2、不同的表當成速度不同的運動物體；3、路程的單位是分格（表一周為60 分格）；4、時間是標準表所經過的時間；5、合理利用行程問題中的比例關系；31時鐘問題鐘面追及基本思路：封閉曲線上的追及問題。關鍵問題：確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；基本方法：分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成 60 小格，每小格我們稱為 1 分格。分針每小時走 60 分格，即一周；而時針只走 5 分格，故分針每分鐘走 1 分格，時針每分鐘走 112 分格。度數方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是 360，分針每分鐘轉 360/60 度，即 6，時針每分鐘轉 360/12*60

35、 度，即 1/2 度。1532濃度與配比經驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質：溶解在其它物質里的物質（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質。溶劑：溶解其它物質的物質（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液重量 =溶質重量 +溶劑重量；溶質重量 =溶液重量濃度；濃度 =（溶質溶液） 100%溶劑 =溶液（ 1- 濃度）理論部分小練習：試推出溶質、溶液、溶劑三者的其它公式。經驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33經濟問題利潤的

36、百分數 =（賣價 - 成本）成本 100%；賣價 =成本（ 1+利潤的百分數）；成本 =賣價（ 1+利潤的百分數）；商品的定價按照期望的利潤來確定；定價 =成本（ 1+期望利潤的百分數）；本金：儲蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息 =本金利率期數；含稅價格 =不含稅價格（ 1+增值稅稅率）；34簡單方程代數式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數字。方程：含有未知數的等式叫方程。列方程：把兩個或幾個相等的代數式用等號連起來。列方程關鍵問題：用兩個以上的不同代數式表示同一個數。等式性質：等式兩邊同時加上或減去一個數，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個數（除 0），等式不變。移項：把數或

37、式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊；移項規則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。加去括號規則：在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“”號，添、去括號，括號里面的運算符號都要改變；括號里面的數前沒有“ +”或“”的，都按有“ +”處理。16移項關鍵問題：運用等式的性質，移項規則，加、去括號規則。乘法分配率： a(b+c)=ab+ac解方程步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；求解；方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟。消元的方法：加減消元；代入消元。35不

38、定方程一次不定方程：含有兩個未知數的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規方法：觀察法、試驗法、枚舉法；多元不定方程：含有三個未知數的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據已知條件確定一個未知數的值，或者消去一個未知數，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識點：列方程、數的整除、大小比較；解不定方程的步驟： 1、列方程； 2、消元； 3、寫出表達式； 4、確定范圍； 5、確定特征； 6、確定答案；技巧總結： A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數表示特征明顯的未知數，同時考慮用范圍小的未知數

39、表示范圍大的未知數； B、消元技巧：消掉范圍大的未知數；36循環小數一、把循環小數的小數部分化成分數的規則純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位都是 9，9 的個數與循環節的位數相同，最后能約分的再約分。混循環小數小數部分化成分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是 9， 9 的個數與一個循環節的位數相同，末幾位是 0， 0 的個數與不循環部分的位數相同。二、分數轉化成循環小數的判斷方法：一個最簡分數，如果分母中既含有質因數 2 和 5，又含有 2 和 5 以外的質因數，那么這個分數化成的小數必

40、定是混循環小數。一個最簡分數，如果分母中只含有 2 和 5 以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是純循環小數。* 1 至30的平方1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=12112*12=14413*13=16914*14=19615*15=22516*16=25617*17=28918*18=32419*19=36120*20=40021*21=44122*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*26=67627*27=72928*28=78429*29=84130

41、*30=90017* 世界上最神奇的數字是 1 除以 7 的循環節： 1428571/7=0.142857 142857 142857.它神奇在哪里呢？1、我們把它從 1 乘到 6 看看142857 X 1 = 142857142857142857 X 2 = 285714285714142857 X 3= 428571428571142857 X 4= 571428 571428142857 X 5= 714285 714285142857 X 6= 857142857142同樣的 6 個數字，只是依此調換了位置，反復出現。2、我們從 1 乘到 6 除以 7 看看1/7=0.142857.2

42、/7=0.285714.3/7=0.428571.4/7=0.571428.5/7=0.714285.6/7=0.857142.1， 3， 5 分別除以 7 所得商的規律是循環節的最高位后移，后面的前移。2，4，6 分別除以 7 所得商的規律是循環節的前兩位后移，后面的前移。3 、那么把它乘以 7 是多少呢？我們會驚人的發現是 9999994、 142 + 857 = 99914 + 28 + 57 = 991+4+2+8+5+7=9+9+95、我們用 142857 乘以 142857=20408122449 前五位 +上后六位的得數是多少呢？20408 + 122449 = 142857“

43、142857”發現于埃及金字塔內，它確實是一組神奇的數字。* 數學小故事：神奇美妙的“ 9 ”九，是我們中華民族所崇拜的數字，在中國古代人們的觀念中，將天稱為“九天”、“九重”、“九霄” ; 將地劃為“九州”、“九域 ”; 將宗廟稱為“九廟” ; 道路謂之“九陌” ; 山有“九崇” ; 水曰“九河” ; 地有“九泉” ; 人分“九級” ; 官為“九品”。在古樂古詩中有九辯、 九喜、九歌、九章等。九在中國人的心中竟擁有如此神奇的地位 ; 作為一個數學愛好者，應該去深入探索它的本質及其它美妙的蘊意。易經上說，九數含有吉祥的意思，如果按照“陰陽”來說，奇數為陽，偶數為陰，而九是陽數中最大的，稱為“極

44、陽數”。十是一個完美的數字，而九接近十而不到18十，具有很強的傾向性，一位數字只有十個，而九是最大的一個，故為數字之極，寓義崇高。也許，就是這個原因，九有其最多的奇妙特點，最多的趣味性質。九有一個非常奇妙的性質，是其它數字所沒有的。如果要求一個自然數除以九的余數，則只要將這個數各位數字相加，其和如果仍是兩位以上的數，則再將這個和的各位數字相加，最后所得的一位數，就是這個自然數除以九的余數。九的這一奇妙特點，總使數學愛好者十分著迷， 許多趣味數學游戲， 都與九的這一規律有關。 數學老師常用“湊九”法驗算學生的算式是否有誤，而“湊九”法就是采納了這一原理。九的倍數的各位數字之和也一定是九的倍數，可

45、知九的倍數是一個非常和諧圓滿的數系。八位數 12345679，如果將它同九相乘，奇怪的很，其積竟是全由 1 組成的數字 111111111; 如再乘 18( 九的 2 倍) ，可得九個 2，乘 27( 九的 3 倍) ，可得九個 3 ，直到乘 81，就可以得到九個 9. 這種整齊統一的特點，給人以多么美妙的印象啊 ! 也許有人要問為什么把 8 去掉，填上會有規律嗎 ?若把 7、8 都去掉，或把 6、7、8 都去掉，仍用九去乘，還有規律嗎 ?答案是肯定的。九這個數字就是這么神奇，我們來看下列算式：縱觀上面九個算式，不僅算式的結果很有規律，且積的數字之和都為九。第一個算式到第九個算式的變化，更能顯

46、示出奇妙無比的秩序美。19如果你隨便找來一個兩位以上的自然數， 比如是 317，將此數打亂， 變成 173、731、 713 吧，我們現在求出新數與原數的差，你猜會有什么結論 ?這些差 144、414、396 竟然全是九的倍數。在這里，無論是定數字，還是打亂所找數字的順序，都是多么的隨心所欲啊 ! 可是在這種繁亂中竟能出現規律，這種規律的主宰者卻是九。假如再隨意找一個兩位以上的數，比方 418，先將它的各位數字之和求出 ; 用原數減去其數字之和(418-18) ，其差 405 也是九的倍數。下列算式的確是種簡明的公式： 100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b ，公式的結果竟然是一個

47、常數，且還是九的倍數，如所選的數是 4 位、5 位，是否還有規律呢 ?我們敢于肯定地說，九的奇妙一定處處再現，無論是多少位，九的統一美的光芒定會時時閃耀。九是一個神奇的反序數 ，在算式 10899=9801 中可知，九乘某一個數字，能使其順序正好顛倒過來。從算式 1234567898+9=987654321中也可知，九加某數也竟能使其順序顛倒 ; 九也是一個神圣的自補數 ，因為 92=81， 1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001， 1+999=103; 又 9947=4658，而 53+47=102， 999 321=320679，而 670+321=103，九又是一個神秘的自生數， 93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一個奇妙的再植數 ，從算式 1098909=989010 中看出， 9 竟然將這個數的最高兩位變成最低兩位。 九還是有趣的勾股數 中不可缺少的成員：2+402=412、92+122=152、而 40+41=92、12+15=33=39. 啊! 九的奇特，操縱著無數數學運算和游戲，它不愧為一位偉大的魔術師。在除法中，九的奇異也使人迷戀。看下列等式： 1/9=0.111 ， 2/9=0.222 ， 8/9=0.888 ，多有規律啊 ! 在化循環小數為分數時， 九又是大顯神