1、1 場(chǎng)的概念（Field,一、場(chǎng)的概念,場(chǎng)是用空間位置函數(shù)來表征的。若對(duì)全空間或其中,某一區(qū)域 V 中每一點(diǎn) M, 都有一 個(gè)數(shù)量 (或矢量) 與,之對(duì)應(yīng), 則稱在 V 上確定了一個(gè) 數(shù)量場(chǎng) (或矢量場(chǎng),場(chǎng)都是矢量場(chǎng),例如: 溫度場(chǎng)和密度場(chǎng)都是數(shù)量場(chǎng), 重力場(chǎng)和速度,若場(chǎng)中物理量在各點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)值不隨時(shí)間變化,就稱為穩(wěn)定場(chǎng)，否則，稱為不穩(wěn)定場(chǎng),注,引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來,進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì),2.場(chǎng)的性質(zhì)是它本身的屬性, 和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān),場(chǎng)的特點(diǎn)：分布于整個(gè)空間，看不見，摸不著，只能借助儀器 進(jìn)行觀察測(cè)量，靠人腦去想像其分布情況； 具有客觀物質(zhì)的一切特征，有質(zhì)量、動(dòng)量

2、和能量,3、描述方法,函數(shù)表示法：借助一定坐標(biāo)系下的函數(shù)來表示場(chǎng)的分布。對(duì)矢量場(chǎng)，用 ；數(shù)量場(chǎng)常用 表述,幾何表示法，也叫圖示法：用能反映場(chǎng)性質(zhì)和分布的一族曲線或曲面表示場(chǎng)的分布特征，分別稱為矢量線（像電力線、磁力線）；等值面（像等溫面，等位面,二、數(shù)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的描述方法,以下討論中總是設(shè)它對(duì)每個(gè)變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),因此給定了某個(gè)數(shù)量場(chǎng)就等于給定了一個(gè)數(shù)性函數(shù),在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后, 點(diǎn) M 的位置可由坐標(biāo)確定,同理,每個(gè)矢量場(chǎng)都與某個(gè)矢性函數(shù),并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),數(shù)量場(chǎng)的等值面（線）： 是由場(chǎng)中使u取相同數(shù)值的點(diǎn)所組成的曲面,等值線,在某一高度上沿什么方向高度變化最快,直觀表示

3、數(shù)量u在場(chǎng)中的分布,以溫度場(chǎng)為例,熱源,等溫面,等值面舉例,可以看出：數(shù)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的,矢量場(chǎng)的矢量線： 矢量線上每一點(diǎn)處曲線與對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量相切,直觀描述矢量在場(chǎng)中的分布情況,2. 矢量線連續(xù)分布，一般互不相交,圖2 矢量線,l,觀察： 1.在曲線上的每一點(diǎn)M處， 場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上（如圖所示），稱其為矢量線。例：靜電場(chǎng)電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等,矢量線的微分方程： M點(diǎn)位置,矢量線l 微分,場(chǎng)矢量,l,矢量線在這點(diǎn)的切線的方向余弦和矢量線上的 成比例，從而得到矢量線應(yīng)滿足的微分方程,在場(chǎng)矢量 不為零的條件下，由線性微分方程組的理論可知所考

4、慮的整個(gè)場(chǎng)被矢量線所填滿，而通過場(chǎng)中每一點(diǎn)有一條且只有一條這樣的曲線，且過不同的點(diǎn)的兩條矢量線沒有公共點(diǎn),例2 求矢量場(chǎng),的矢量線方程,例1】 設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)M(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為 式中，q、均為常數(shù)， r=xi+yj+zk為M點(diǎn)的位置矢量。求E的矢量線方程并畫出矢量線圖,解題過程,圖 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量線 (P27,2、方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)是數(shù)性函數(shù) 在一點(diǎn)處沿任意方向 對(duì)距離的變化率，它的數(shù)值與所取 的方向有關(guān)， 一般來說，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如圖所示， 為場(chǎng)中的任意方向，M0是這個(gè)方向線上給定的一點(diǎn)，M為同一線上鄰近的一點(diǎn),

5、為M0和M之間的距離，從M0沿 到M的增量為 若下列極限 存在，則該極限值記作 ，稱之為數(shù)量場(chǎng) 在M0處沿 的方向?qū)?shù),例題,例1 求函數(shù),方向的方向?qū)?shù),例3 設(shè),例4 求數(shù)量場(chǎng),方向的方向?qū)?shù),3、梯度 由于從一點(diǎn)出發(fā)，有無窮多個(gè)方向，即數(shù)量場(chǎng),沿某一確定方向取得 在該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)， 則可引進(jìn)梯度概念,在一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)有無窮多個(gè)，其中，若過一點(diǎn),梯度：（場(chǎng)在某點(diǎn)的梯度為一矢量）它的大小等于所有方向?qū)?shù)的最大值，它的方向?yàn)槿〉米畲笾档姆较?梯度(Gradient,當(dāng) ,即 與,方向一致時(shí), 為最大,方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系： 是等值面 上p1點(diǎn)法線方向單位矢量。它指向 增長的方向。 表示過

6、p2 點(diǎn)的任一方向。 易見,所以 即,該式表明： 即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用來表征數(shù)量場(chǎng) 在空間各點(diǎn)沿不同方向變化快慢的程度。 4、 算符（哈密頓算符） 算符既具有微分性質(zhì)又具有方向性質(zhì)。在任意方向 上移動(dòng)線元距離dl， 的增量 稱為方向微,分，即 顯然，任意兩點(diǎn) 值差為,總結(jié)：數(shù)量場(chǎng)梯度的性質(zhì),1）數(shù)量場(chǎng)沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。 （2）數(shù)量場(chǎng)在任一點(diǎn)的梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向場(chǎng)增大的一方。（注意：等值面的法向有兩個(gè)） （3）一個(gè)數(shù)量場(chǎng)的梯度（一旦）確定，則該數(shù)量場(chǎng)也隨之確定，最多相差一個(gè)任意常數(shù),標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于

7、通過該點(diǎn)的等值面（或切平面,數(shù)量場(chǎng)沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影,例1 三維高度場(chǎng)的梯度,圖 三維高度場(chǎng)的梯度,例2 電位場(chǎng)的梯度,圖 電位場(chǎng)的梯度,高度場(chǎng)的梯度,與過該點(diǎn)的等位線垂直,數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù),3 矢量場(chǎng)的通量與散度,1、通量 一個(gè)矢量場(chǎng)空間中，在單位時(shí)間內(nèi)，沿著矢量場(chǎng) 方向通過 的流量是dQ，而dQ是以ds為底，以v cos為高的斜柱體的體積，即 稱為矢量 通過面元 的通量。 對(duì)于有向曲面s，總可以 將s分成許多足夠小的面元 ， 于是,通過曲面s的通量f即為每一面元通量之和 對(duì)于閉合曲面s，通量f為,向量場(chǎng) 沿選定方向的曲面S的面積分,定義,稱為 向曲面指定一

8、側(cè)穿過曲面S的通量,例題,例1 設(shè)由矢徑,圓錐面,曲面S,P55 3. 求矢量場(chǎng),所圍成的封閉,有一由,如果曲面s是閉合的，并規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是,表示有凈的矢量線流入，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源,表示有凈的矢量線流出，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源,表示流入和流出閉合曲面的矢量線相等或沒有矢量線流入、流出閉合曲面,閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉 合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系,若S 為閉合曲面，可根據(jù)凈通量 的大小判斷閉合面中源的性質(zhì),0 (有正源,0 (有負(fù)源,= 0 (無源,2、散度 設(shè)封閉曲面s所包圍的體積為 ，則,就是矢量場(chǎng) 在 中

9、單位體積的平均通量，或者 平均發(fā)散量。當(dāng)閉合曲面s及其所包圍的體積 向 其內(nèi)某點(diǎn) 收縮時(shí)，若平均發(fā)散量的極限值存在， 便記作,稱為矢量場(chǎng) 在該點(diǎn)的散度(div是divergence的縮寫,散度的重要性在于，可用表征空間各點(diǎn)矢量場(chǎng)發(fā)散的強(qiáng)弱程度，當(dāng)div ，表示該點(diǎn)有散發(fā)通量,的正源；當(dāng)div ，表示該點(diǎn)有吸收通量的負(fù)源； 當(dāng)div ，表示該點(diǎn)為無源場(chǎng),的散度為,定理,重 點(diǎn),散度(Divergence)的表達(dá)式,直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場(chǎng) 在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲 面所包含體積中矢量場(chǎng)散度的積分。 上式稱為矢量場(chǎng)的Gauss定理,積分的Gauss定理,注：它能把一個(gè)閉合曲

10、面的面積分轉(zhuǎn)為對(duì) 該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然,推論2 若處處散度為0，則通量為0. 推論3 若某些點(diǎn)（或區(qū)域）上有散度不為0或不存 在，而在其他點(diǎn)上都有散度為0，則穿出包圍這些點(diǎn)（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相等，為一常數(shù)。 電學(xué)上的高斯定理： 穿出任一封閉曲面S的電通量，等于其內(nèi)各點(diǎn)電荷的代數(shù)和。 高斯定理,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度(Rotation,1. 矢量場(chǎng)的環(huán)量,定義：線矢量l: 矢量場(chǎng)A中的 一條封閉的有向曲線 環(huán)量：（圖2） 性質(zhì)： 是標(biāo)量 0，l 內(nèi)有旋渦源 =0，l 內(nèi)無旋渦源,圖2 矢量場(chǎng)的環(huán)量(P56,定義,線積分,向量場(chǎng) 沿空間有向閉曲線 l 的,稱為 沿閉曲線

11、l的環(huán)量,環(huán)量的表達(dá)式,圖3 閉合曲線方向與面元的 方向示意圖 (P59,定義：若 存在，則 稱此極限為矢量場(chǎng) A沿l之正向的環(huán)量 在點(diǎn)P處沿n方向的 環(huán)量面密度,性質(zhì)：l圍成的面元法矢量 旋渦面的方向 矢量R 在任意面元方向上的投影就給出該方向的環(huán)量面密度 方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向；模為最大環(huán)量面密度的值 旋度的定義 定義：固定矢量R為矢量A的旋度，記作 ：rot A=R,R,圖4 旋度及其投影,旋度矢量R在n方向的投影,渦量（或環(huán)量面密度,旋度,矢量場(chǎng)在某點(diǎn)的旋度，其大小為該點(diǎn)渦量的最大值，方向?yàn)槭沟迷擖c(diǎn)渦量取最大值的方向,物理意義：是場(chǎng)在矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強(qiáng)弱,旋度(Rotation

12、or Curl,簡單地說,旋度是個(gè)矢量，它的物理意義 是場(chǎng)在該矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強(qiáng)弱,利用環(huán)量與旋度(它可以從整體上描述場(chǎng)旋,轉(zhuǎn)的強(qiáng)度)，我們可以用向量的形式重寫,Stokes公式,小結(jié),1、散度（流出的量） 發(fā)散源 通量即該矢量(的垂直平面分量)穿過平面的大小 一般點(diǎn)的散度為0 ，散度不為0的點(diǎn)表示該點(diǎn)有提供源 (source) 散度是標(biāo)量，物理意義為通量源密度，可以從Gauss公式理解 散度為零，說明是無源場(chǎng)；散度不為零時(shí)，則說明是有源場(chǎng)（有正源或負(fù)源,矢量場(chǎng),2、旋度（沒有流出的量） 旋渦源 旋度即該矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大小/面積) 旋度不為0表示有量在該平面“逗留

13、” 旋度是矢量；其物理意義為環(huán)量密度，可以從Stokes公式里理解 旋度為零，說明是無旋場(chǎng)；旋度不為零時(shí)，則說明是有旋場(chǎng),一、無旋場(chǎng),5 幾種重要的矢量場(chǎng),無旋場(chǎng),有勢(shì)場(chǎng),保守場(chǎng),空心球體,環(huán)面體,二、無源場(chǎng),矢量管：矢量線構(gòu)成的管形曲線（矢量線與曲面重合,矢量場(chǎng)的Helmholtz定理 空間區(qū)域V上的任意矢量場(chǎng)，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場(chǎng)唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場(chǎng)和一無源矢量場(chǎng)的疊加，即,三、管形場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng),式知道, 此時(shí)沿任何封閉,曲面的曲面積分都等于零,中作一矢量管 (圖2), 即由矢量線圍成的管狀的,若一個(gè)矢量場(chǎng) 的散度恒,為零, 即 我們?cè)?稱 為無源場(chǎng)

14、. 從高斯公,我們又把 稱作管形場(chǎng). 這是因?yàn)? 若在矢量場(chǎng),S. 于是由(1)式得出,這等式說明了流體通過矢量管的任意斷面的流量是,間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于,相同的, 所以把場(chǎng) 稱為管形場(chǎng),若一個(gè)矢量場(chǎng) 的旋度恒為零, 即 我們?cè)?前面稱 為無旋場(chǎng). 從斯托克斯公式知道, 這時(shí)在空,由定理1推得空間曲線積分與路線無關(guān), 且存在,即,個(gè)矢量場(chǎng)是某個(gè)數(shù)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)的充要條件,通常稱v= -u 為勢(shì)函數(shù). 因此若某矢量場(chǎng) 的旋度為零,若一個(gè)矢量場(chǎng)既是管量場(chǎng), 又是有勢(shì)場(chǎng), 則稱這個(gè)矢,量場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng),若 是一個(gè)調(diào)和場(chǎng), 則必有,即必有u 滿足,這時(shí)稱函數(shù) u 為調(diào)和函數(shù).也有v=

15、 -u 為調(diào)和函數(shù),顯然,1)若線積分 的值在G內(nèi)與路徑無關(guān),其中A, B 為G 內(nèi)任意兩點(diǎn),則稱 為保守場(chǎng),2)若在G內(nèi)恒有 ,則稱 為,無旋場(chǎng),有勢(shì)場(chǎng)，并稱 為 的勢(shì)函數(shù),定義6,設(shè)向量場(chǎng),3)若存在G上的函數(shù) ，使 ,則稱 為,定理4,設(shè)G 是單連域,則以下四個(gè)命題等價(jià),是無旋場(chǎng)，即,沿G內(nèi)任意簡單閉曲線 C 的環(huán)量,與路徑無關(guān),是一保守場(chǎng)，即在G內(nèi)線積分,是一有勢(shì)場(chǎng)，即在G內(nèi)存在,作證明.它可以看作是 Green 公式的推論,以下我們只對(duì)定理4的2D空間的情況定理,定理,設(shè)區(qū)域,則以下四個(gè)命題等價(jià),在 內(nèi),處處成立,定理4(及定理 )的重要性在于,給出場(chǎng)論中的一個(gè)具有實(shí)際意義及數(shù)學(xué)意

16、義的重要結(jié)論，即,無旋場(chǎng),有勢(shì)場(chǎng),保守場(chǎng),給出了數(shù)學(xué)上判定保守場(chǎng)的多種方法,特別還給出了求勢(shì)函數(shù)的方法：相當(dāng)于,求某些二元函數(shù)的原函數(shù)的方法，同時(shí),為解全微分方程提供了一種有效的方法,例1,驗(yàn)證矢量場(chǎng),是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù),解,因,所以， 為有勢(shì)場(chǎng),以下介紹兩種求勢(shì)函數(shù)方法,在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇,特殊路徑，用線積分求勢(shì)函數(shù)法,方法1,例4,驗(yàn)證向量場(chǎng),是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù),解,因,所以， 為有勢(shì)場(chǎng),以下介紹兩種求勢(shì)函數(shù)方法,在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇,特殊路徑，用線積分求勢(shì)函數(shù)法,方法1,此例選積分路徑由,即,是 的一個(gè)原函數(shù) ( 力函數(shù),勢(shì)函數(shù)一般表達(dá)式為,用偏積分求勢(shì)函數(shù),要

17、求函數(shù),即,亦即,先對(duì) 式，視 為定數(shù)，兩邊對(duì) 積分,方法2,這個(gè)積分“常數(shù)”當(dāng)然可能是 y 的函數(shù),故記作,將(c)式兩端對(duì) y求導(dǎo), 并與,b)式比較，得,代入 (c) 式,Stokes定理,Stokes定理實(shí)際上將在任一點(diǎn)渦量或旋度定義所反映的與環(huán)量的關(guān)系推廣到任一曲面或閉合回路,方向相反 大小相等 結(jié)果抵消,4、若在空間某一區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)的散度和旋度都給定，則該矢量場(chǎng)確定，最多相差一個(gè)常數(shù)（由邊界條件所決定,0-3 矢量場(chǎng)的旋度 斯托克斯定理 Rotation of Vector Field, Stokes Theorem,1、矢量場(chǎng) 的環(huán)流 在數(shù)學(xué)上，將矢量場(chǎng) 沿一條有向閉合曲線L（

18、即取定了正線方向的閉合曲線）的線積分 稱為 沿該曲線L的循環(huán)量或流量。 2、旋度 設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點(diǎn)附近，那么,以閉合曲線L為界的面積 逐漸縮小， 也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作 即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向 ，且通常L的正方向與 規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，為此定義,稱為矢量場(chǎng) 的旋度（rot是rotation縮寫）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點(diǎn)附近各方向上環(huán)流強(qiáng)弱的程度，如果場(chǎng)中處處rot 稱為無旋場(chǎng)。 3、斯托克斯定理（Stokes Theorem） 它能把對(duì)任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)

19、換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然,0-4 正交曲線坐標(biāo)系中 運(yùn)算的表達(dá)式 Expression of Operation on Orthogonal Curvilinear Co- Ordinates System,1、度量系數(shù) 設(shè)x,y,z是某點(diǎn)的笛卡兒坐標(biāo)，x1, x2, x3是這點(diǎn)的正交曲線坐標(biāo)，長度元的平方表示為 其中,稱度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），正交坐標(biāo)系完全由三個(gè)拉梅系數(shù)h1, h2, h3來描述。 2、哈密頓算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲線坐標(biāo)系下的一般表達(dá)式,其中 為正交曲線坐標(biāo)系的基矢； 是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)； 是一個(gè)矢量函數(shù)，只有在笛卡兒坐標(biāo)系中，

20、，在其它正交坐標(biāo)系中,3、不同坐標(biāo)系中的微分表達(dá)式 a) 笛卡兒坐標(biāo) x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1,b) 圓柱坐標(biāo)系 坐標(biāo)變量: x1= r x2= x3= z 與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系： x=rcos y=rsin z= z 拉梅系數(shù): h1=1 h2=r h3=1,將 應(yīng)用于圓柱坐標(biāo)可得,c) 球坐標(biāo)系,z,坐標(biāo)變量： 與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系： 拉梅系數(shù),其中,0-5 二階微分算符 格林定理 Second-order Differentiation Operator, Greens Theorem,1、一階微分運(yùn)算 將算符 直接作用于標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)，即分別得到梯度、散度和旋度，即 這些都叫一階微分運(yùn)算。