1、任意角的三角函數教學設計山西省教育科學研究院薛紅霞一、內容與內容解析三角函數是函數的一個特例，是函數概念的下位概念，與指數函數、對數函數具有相同的地位，但是在具體的定義方式上又有所不同，應該按照概念的體系將之納入到原有的認知結構中，揭示彼此之間的關系，認識新概念的本質屬性。因此本課時的教學重點是：通過概念的同化與精致過程，幫助學生理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，并在這個過程中突出單位圓的作用。二、目標和目標解析1借助單位圓理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。（能根據任意角的三角函數的定義求出具體的角的各三角函數值，能根據定義探究出三角函數值在各個象限的符號。）2在定義

2、的學習過程中滲透數形結合的思想。（根據角的終邊與單位圓的交點的坐標寫出角的各三角函數值，及各三角函數的定義域，利用單位圓的幾何特征寫出正弦、余弦的值域。）3在概念同化和精致的過程中發展學生研究問題的能力。（知道概念所在的體系，知道任意角的三角函數與銳角三角函數、函數、指、對數函數等之間的關系，利用單位圓的幾何特征研究三角函數的方法。）三、教學問題診斷分析在概念教學過程中要注意學生已有知識經驗的作用，發揮其正遷移，防止其負遷移。本課時研究的是任意角的三角函數，學生在初中階段曾經研究過銳角三角函數，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是

3、與本課時不同的，因此在教學過程中要發展學生的已有認知經驗，發揮其正遷移。具體而言要做到：明確研究范圍的變化，開闊學生的視野，并揭示由此帶來的新問題，激發學生的學習興趣；借助單位圓在坐標系中進行研究，要先將銳角的三角函數問題置于坐標系中，幫助學生利用坐標系借助單位圓重新認識銳角三角函數，這樣做激活了學生的已有知識經驗，并且用新的視角認識已有知識經驗，復習了舊知識，同時為新的研究內容做好鋪墊；第三，由于研究范圍的改變，更加突出了任意角的三角函數是為研究客觀世界中大量存在的周期性現象服務的。這些都是在本課時的學習之后應該取得的認知方面的進步。認識一個函數，關鍵是認識函數的三要素。在學生學習過的函數中

4、，一次、二次、反比例或者用圖、表表示的對應法則的函數，其三要素是比較容易找到的，指、對函數的學習就需要一定的基礎，同樣在任意角的三角函數學習過程中也可能在自變量和對應法則上出現問題，應該注意明確任意角的三角函數的三要素，比如正弦函數 y=sin 中自變量是角 ，并且 r，對應法則是一個角與其正弦值對應，至于這個值怎么計算， 在此處是規定為角 終邊與單位圓交點的縱坐標， 通過例 2 可以看出， 也可以利用比值定義。對于一次函數、二次函數也需要將自變量的值進行計算得到函數值，這一點本質上是統一的，要引導學生類比理解。此外，由于學生對角度制的應用已經很熟練，而對弧度制的應用比較陌生，所以在理解函數的

5、定義域是實數集時可能會出現問題，這需要教師的引導，同時也需要時間適應。綜合上述分析，本課時的教學難點是：引導學生將任意角的三角函數的定義同化，幫助學生真正理解定義。四、教學支持條件分析利用幾何畫板改變角的位置，認識角的終邊位于不同象限時如何定義角的三角函數值，充實學生的直觀感知材料，幫助學生形成比較全面的認知。五、教學過程設計問題 1 本章研究的問題是三角函數，函數的研究離不開平面直角坐標系，這在第一節中已經有所感受。現在請你回憶初中學過的銳角三角函數的定義，并思考一個問題： 如果將銳角置于平面直角坐標系中，如何用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數呢？（設計意圖 ：將已有知識坐標

6、化, 分化難點。 用新的觀點再認識學生的已有知識經驗，發揮其正遷移作用，同時使本課時的學習與學生的已有知識經驗緊密聯系，使知識有一個熟悉的起點，扎實的固著點。 ）預計的回答 ：學生可以回憶出初中學過的銳角三角函數的定義，但是在用坐標語言表述時可能會出現困難即使將 角置于坐標系中但是仍然習慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數，需要教師引導學生將之轉換為用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數。解答過程 ：（ 1）再現銳角三角函數的定義 ：如圖 1，在直角 pom中， m是直角，那么。（2）坐標化 ：如圖 2，建立平面直角坐標系，設點p 的坐標為（x， ），那么，y于是。問題 2 回憶弧度制中 1 弧度角

7、的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據是什么？寫出最簡單的形式。（設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。該問題與問題1 結合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）預計的困難 ：由于學生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡，使得分母為 1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。解答過程：單位圓中定義銳角三角函數：如圖 3，線段 op=1，點 p 的坐標為（ x，y），那么銳角 的三角函數可以用坐標表示為

8、：。（說明：單位圓的定義建議在弧度制一節中給出。）依據： 三角形相似，比值與具體的點的位置沒有關系。問題 3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點的坐標給出的，它可以推廣到任意角的三角函數，請你寫出任意角的三角函數的定義。分小組分別寫出角 的終邊位于第二、三、四象限和 x 軸、 y 軸上時的三角函數。（設計意圖： 具體認識任意角的三角函數，突現本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數，請寫出任意角的三角函數的定義。那么學生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設計中再次強調要借助于單位圓，利用坐標，限定學生的思維，

9、以免太發散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數。這樣將問題具體化，學生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現學生用計算器算cos 的現象。 ）活動形式： 由學生分組獨立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認識。學生可能會在寫出任意角的三角函數的定義時出現困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導用坐標表示，并引導學生正確認識三角函數的定義域。預計的答案：如圖4，針對其中的圖（ 1）（2）（3）學生寫出，針對其中的圖（4）學生寫出，針對其中的圖（5）學生寫出， tan 無意義。結論： 給出三

10、角函數的定義：（略）。問題 4：根據上述過程， 你能寫出三角函數的定義域嗎？你能用函數的定義對三角函數進行分析嗎？（設計意圖： 順勢而為形成定義，并將三角函數的定義進行同化，通過這樣的活動強化學生對任意角三角函數定義的理解，達到對概念的初步精致。）預計的困難 ：學生對三角函數的自變量認識可能會存在問題。教師的引導 ：引導學生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預計的答案 ：設 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p（ x, y）。例 1 求的正弦、余弦和正切值。（設計意圖：鞏固對定義的理解。）分析：根據定義求解，先利用銳角三角函數知識求出點p 的坐標，再根據定義求解。解：如圖 5，可知在

11、 rto，cp=，所以點 p 的坐標是。opc中， opc=30，所以 oc=根據定義可得：練習（p15 練習 3）完成下列表格中的前兩列：例 2 已知角 的終邊經過點 p（ 3， 4），求角 的正弦、余弦和正切值。（設計意圖：通過問題的轉化，進一步加深對定義的理解。）分析：通過相似求出角 的終邊與單位圓的交點坐標，之后再根據定義求解。解：如圖 6，由已知可得：|op 0 |=設角 的終邊與單位圓交于點p（ x，y）, 分別過點。p 和 p0 作 x 軸的垂線mp， m 0p0 ，則又 |op|=1 ，根據，可得，即，所以，。所以。（說明： 上述書寫過程基本與例1 統一，這樣可以將該題目的求解

12、思路同化，降低學習難度。）問題 5 通過本課時的學習你有哪些收獲，請從知識、思想方法經驗等方面進行小結。此外你還有哪些需要質疑之處。（設計意圖： 引導學生小結，并進一步思考。通過質疑引導學生全面認識三角函數，雖然在課堂上不研究其他 3 個三角函數，但是可以讓學生有一個全面的認識，培養思維的嚴謹性。通過三角函數定義的一般化，引導學生用辯證的觀點認識事物，理解三角函數。）小結：知識：（略）；思想方法：（略）；經驗：用函數的觀點認識三角函數，用單位圓的幾何特征研究三角函數。拓展 1：3 個數可以形成6 個比值，為什么只對其中的三個比值進行定義和研究，其他3 個比值又能對應什么函數呢？有興趣的同學可以

13、自己查閱資料進行研究。拓展 2：通過求解例 2，你能發現還可以怎么定義任意角的三角函數呢？請閱讀教材的旁白。這是三角函數定義的等價定義。六、目標檢測設計1p15 練習 1， 2，3；（設計意圖 ：初步應用定義和等價定義。）2習題 1.2a 組 2。（設計意圖 ：培養學生類比、對比解決問題能力。）3完成教材p13 的探究，之后完成p15 練習 4，6，把結果填在書上。（設計意圖 ：將作業作為課堂教學的延伸，培養學生自主學習的能力和習慣。）七設計思路1突出單位圓的作用。具體表現在三個方面：第一是將銳角三角函數坐標化，引入單位圓；第二是利用單位圓寫出任意角的三角函數；第三是利用單位圓寫出定義域及正弦

14、、余弦的值域；第四是在例2 的解決過程中建立單位圓與一般定義的關系。2用函數同化三角函數。給出任意角的三角函數的定義之后，用函數的定義對三角函數進行分析，將之納入到已有的認知結構中，并使得原有認知結構發生順應變化。3力求在數學的自然、必要和學生的認知之間尋找平衡點。根據聽課時出現的問題，在本教學設計中采取了下列處理方式。（1）先坐標化再引入單位圓，降低認知臺階。從銳角三角函數到任意角三角函數這一段的處理基本尊重教材，這是因為在聽課過程中發現如果將“坐標化”與“單位圓”兩個問題同時拋給學生，雖然能體現出做這兩個工作的必要性，但是跨度較大，學生感到困難， 解決問題的過程費時費力，不但不能使學生感受到學習的必要性，反而制約了學生的思維。（2）將問題分解、具體化，通過具體認識一般。在形成任意角的三角函數的定義時將問題解剖， 并采取分組合作的組織方式， 旨在將抽象的問題具體化，降低難度。讓學生根據角的不同位置寫出定義，特別是對于象限角也進行了相同的處理辦法，這是因為學生的思維從具體問題開始，而且要形成“初始效應”，在新概念學習伊始就使得它植根于學生的已有認知結構中，并形成強烈的意識用新定義解決問題，而不再用計算器或其他辦法。（3）解題思路求同，強化定義