1、智愛高中數學 抽象函數的周期與對稱軸一. 內容：抽象函數的周期與對稱軸二. 重點：抽象函數周期與對稱軸的相關結論。難點：結論的推導證明，利用結論解決問題。三. 具體內容1. 若則的周期為T。2. 若則的周期為證：令 3. 則的周期證：令 令 由得： 4. 若則圖象的對稱軸為證：要證原結論成立，只需證令代入 則 5. 若則的圖象，以為對稱中心。證：方法一：要證原結論成立只需證令代入 則方法二：設它的圖象為C 則P關于點的對稱點 【典型例題】例1 對于，有下列命題。（1）在同一坐標系下，函數與的圖象關于直線對稱。（2）若且均成立，則為偶函數。（3）若恒成立，則為周期函數。（4）若為單調增函數，則（

2、且）也為單調增函數，其中正確的為？解：（2）（3）例2 若函數有求。解：，知的圖象關于對稱而的對稱中心 則例3 設是定義在R上的函數，均有當時，求當時，的解析式。解：由有得設則 時例4 已知是定義在R上的函數且滿足，當時有則（1）是周期函數且周期為2（2）當時，（3）其中正確的是？解：（1）（2）（3）例5 已知滿足，當時，且，若，求、的大小關系？解：由已知得，對稱軸 也為一條對稱軸 由 ， 例6 定義在R上的函數既是偶函數又是周期函數，若的最小正周期是，且當時，求的值。解：例7 設定義在R上，有且當時，（1）求證：且當時， （2）求證：在R上遞減。解： （1）在中，令，得 設，則令，代入條件

3、式有而 （2）設則 令，則代入條件式得即 在R上遞減【模擬試題】一. 選擇1. 已知滿足，且是奇函數，若則（ B ）A. B. C. D. 2. 已知是定義在R上的偶函數，且對任何實數均成立，當時，當時，（ C ）A. B. C. D. 3. 若函數，都有則等于（ D ）A. 0 B. 3 C. D. 3或4. 函數是（ C ）A. 周期為的奇函數 B. 周期為的偶函數 C. 周期為的奇函數 D. 周期為的奇函數5. 的圖象關于y軸對稱的充要條件是（ C ）A. B. C. D. 6. 如果且則可以是（ D ）A. B. C. D. 7. 為偶函數的充要條件是（ B ）A. B. C. D.

4、8. 設是R上的奇函數，當時，則（ B ）A. 0.5 B. C. 1.5 D. 9. 設，有那么（ A ）A. B. C. D. 10. 定義在R上，則與的圖象關于（D ）A. 對稱 B. 對稱 C. 對稱 D. 對稱二. 填空1. 是R上的奇函數，且，則 0 。2. 函數的圖象的對稱軸中最靠近y軸的是 。3. 為奇函數，且當時，則當時 。4. 偶函數的定義域為R，且在上是增函數，則（1） （2） （3） （4）中正確的是 （2） 。三. 解答題1. 設是定義在R上的偶函數，圖象關于對稱，、都有且 （1）求、 （2）證明：是周期函數解：（1） 都有 ， （2）由已知關于對稱 即， 又由是偶函

5、數知， ，將上式中以代換得 是R上的周期函數，且2是它的一個周期2. 如果函數的圖象關于和都對稱，證明這個函數滿足證： 關于和對稱 ， 令，則 即3. 已知對任意實數t都有，比較與的大小。解：由知拋物線的對稱軸是1 而 根據在上是增函數得即4. 定義在實數集上的函數，對一切實數x都有成立，若方程僅有101個不同實根，求所有實根之和。解：設即 有 所有實根之和為注：一個結論：設，都有且有k個實根，則所有實根之和為 練 習一. 選擇1. 已知滿足，且是奇函數，若則（ ）A. B. C. D. 2. 已知是定義在R上的偶函數，且對任何實數均成立，當時，當時，（ ）A. B. C. D. 3. 若函數

6、，都有則等于（ ）A. 0 B. 3 C. D. 3或4. 函數是（ ）A. 周期為的奇函數 B. 周期為的偶函數 C. 周期為的奇函數 D. 周期為的奇函數5. 的圖象關于y軸對稱的充要條件是（ ）A. B. C. D. 6. 如果且則可以是（ ）A. B. C. D. 7. 為偶函數的充要條件是（ ）A. B. C. D. 8. 設是R上的奇函數，當時，則（ ）A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.59. 設，有那么（ ）A. B. C. D. 10. 定義在R上，則與的圖象關于（ ）A. 對稱 B. 對稱 C. 對稱 D. 對稱二. 填空1. 是R上的奇函數，且，則 。2. 函數的圖象的對稱軸中最靠近y軸的是 。3. 為奇函數，且當時，則當時 。4. 偶函數的定義域為R，且在上是增函數，則（1） （2） （3） （4）中正確的是 。三. 解答題1. 設是定義在R上的偶函數，圖象關于對稱，、都有且（1）求、 （2）