1、學習目標 1.掌握空間點、線、面的向量表示. 2.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會用待定系數(shù)法求平面的法向量. 3.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題,題型探究,問題導學,內容索引,當堂訓練,問題導學,知識點一直線的方向向量與平面的法向量,思考,怎樣用向量來表示點、直線、平面在空間中的位置,答案,1)點：在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P的位置就可以用向量 來表示.我們把向量 稱為點P的位置向量. (2)直線：直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量. 對于直線l上的任一點P，存在實數(shù)t，使得 此方程稱為直線的向量參數(shù)方程. (3)平

2、面：空間中平面的位置可以由內兩條相交直線來確定.對于平面上的任一點P，a，b是平面內兩個不共線向量，則存在有序實數(shù)對(x，y)，使得 xayb. 空間中平面的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示,梳理,1)用向量表示直線的位置,一點,方向向量,位置,2)用向量表示平面的位置 通過平面上的一個定點O和兩個向量a和b來確定,通過平面上的一個定點A和法向量來確定,方向向量,3)直線的方向向量和平面的法向量,方向向量n,非零,4)空間中平行關系的向量表示 設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為，v，則,kv(kR,ab,a0,知識點二利用空間向量處理平行問題,思考,1)設v1(

3、a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分別是直線l1，l2的方向向量.若直線l1l2，則向量v1，v2應滿足什么關系,由直線方向向量的定義知若直線l1l2，則直線l1，l2的方向向量共線，即l1l2v1v2v1v2(R,答案,思考,2)若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行,可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進而確定線面是否平行,答案,3)用向量法處理空間中兩平面平行的關鍵是什么,關鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平面平行,答案,梳理,利用空間向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問

4、題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；第二，通過向量的運算，研究平行問題；第三，把向量問題再轉化成相應的立體幾何問題，從而得出結論,題型探究,類型一求直線的方向向量、平面的法向量,例1如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點.ABAP1，AD ，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系， 求平面ACE的一個法向量,解答,因為PA平面ABCD，底面ABCD為矩形， 所以AB，AD，AP兩兩垂直. 設n(x，y，z)為平面ACE的法向量,引申探究 若本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量,解答,即直線PC的一個方向向量. 設平面P

5、CD的法向量為n(x，y，z,利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟 (1)設向量：設平面的法向量為n(x，y，z,反思與感悟,5)賦非零值：取其中一個為非零值(常取1). (6)得結論：得到平面的一個法向量,跟蹤訓練1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB平面ABCD，PAB是邊長為1的正三角形，ABCD是菱形.ABC60，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面DEF的法向量,解答,因為PAPB，F(xiàn)為AB的中點，所以PFAB， 又因為平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB. 所以PF平面ABCD，因為ABBC，ABC60，

6、 所以ABC是等邊三角形，所以CFAB. 以F為坐標原點，建立空間直角坐標系(如圖所示,設平面DEF的法向量為m(x，y，z,類型二利用空間向量證明平行問題,例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證： (1)FC1平面ADE,證明,建立如圖所示空間直角坐標系Dxyz， 則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2,令z12，則y11， 所以n1(0，1，2). 又因為FC1平面ADE， 所以FC1平面ADE,令z22，得y21， 所以n2(0，1，2)， 因為

7、n1n2，所以平面ADE平面B1C1F,2)平面ADE平面B1C1F,證明,反思與感悟,利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關系證明平行問題,跟蹤訓練2如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PB與底面所成的角為45，底面ABCD為直角梯形，ABCBAD90，PA BC AD1，問在棱PD上是否存在一點E，使CE平面PAB？若存在， 求出E點的位置；若不存在，請說明理由,解答,分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系， P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)， E是PD的中點，存在E點，當點E

8、為PD中點時，CE平面PAB,當堂訓練,1.若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為 A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1,答案,解析,2,3,4,5,1,2.已知直線l1的方向向量a(2，3，5)，直線l2的方向向量b(4，x，y)，若l1l2，則x，y的值分別是 A.6和10 B.6和10 C.6和10 D.6和10,所以x，y的值分別是6和10,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,3.若(2，3，1)是平面的一個法向量，則下列向量中能作為平面的法向量的是 A.(0，3，1) B.(2，0，1) C.(

9、2，3，1) D.(2，3，1,能作為平面的法向量的向量與(2，3，1)共線，(2，3，1,答案,解析,2,3,4,5,1,A.4 B.6 C.8 D.8,答案,解析,2,3,4,5,1,5.在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一個法向量為_ _,1，1，1,答案不惟一,答案,解析,不妨設正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系，則各點坐標為A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 設平面ACD1的一個法向量a(x，y，z)， (注：答案不惟一，只要與所給答案共線都對,2,3,4,5,1,規(guī)律與方法,1.應用向量法證明線面平行問題的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. (2)證明直線的方向向量與平面內的